試題試題滄衡八校聯盟高二年級2022～2023學年下學期期中考試數學課試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.甲工廠有80名工人，乙工廠有60名工人，丙工廠有70名工人，現從中選取1人參加技術培訓，則不同的選法有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.270種2.已知數列滿足，若，則（）A.6 B.5 C.4 D.33.已知，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.84.若的展開式中所有項的系數之和為64，則展開式中的常數項為（）A.15 B.20 C.28 D.355.甲、乙、丙3人準備前往A，B，C，D這4個景點游玩，其中甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，若每個人都至少選擇1個景點但不超過3個景點游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A.735種 B.686種 C.540種 D.465種6.已知直線與函數，的圖象分別交于點，，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.167.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國際足聯世界杯，于當地時間2022年11月20日至12月18日在卡塔爾境內5座城市中的8座球場舉行.本屆世界杯的賽制規定：從小組賽晉級的16支球隊將被自動分成8組，每組的2支球隊比賽一場，獲勝的球隊晉級1/4決賽.若從小組賽晉級的16支球隊中選出4支球隊，且恰有2支球隊來自同一組，則不同的選擇方法有（）A.672種 B.728種 C.764種 D.800種8.“楊輝三角”是中國古代數學家楊輝杰出的研究成果之一．如圖，從楊輝三角的左腰上的各數出發，引一組平行線，則在第12條斜線上，最大的數是（）A.35 B.36 C.56 D.70二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在某次數學測試中，學生的成績，則（）A. B.若越大，則越大C D.10.已知，則（）A.B.C.D.展開式中所有項的二項式系數的和為11.已知a為常數，等差數列的前n項和滿足，則的值可能為（）A.4045 B.4046 C.4047 D.404812.已知，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13.函數的圖象在處的切線方程為_________．14.某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對這3類試題的概率分別為，，.若學生甲答對了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.15.一個裝有水圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內放入一個圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6cm，鐵塊底面圓半徑為3cm，放入鐵塊后的水面高度為6cm，若從時刻開始，將鐵塊以1cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時刻，水面下降的速度為______cm/s．16.已知定義域為R偶函數滿足，且當時，，若將方程實數解的個數記為，則_________．四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知數列的前n項和為，且．證明：（1）是等差數列；（2）．18.從1，2，3，4，5，6中任取5個數字，隨機填入如圖所示的5個空格中.（1）若填入的5個數字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？（2）若填入的5個數字中有1和3，且區域，，中有奇數，試問不同的填法有多少種？19.等比數列的前n項和為，已知，且成等差數列．（1）求通項公式；（2）若，數列的前n項和．20.已知函數.（1）求的極值；（2）若恒成立，求的取值范圍.21.某單位組職員上進行排球娛樂比賽，比賽規則如下：比賽實行五局三勝制，任何一方率先贏下3局比賽時比賽結束，每一局比賽獲勝方得2分，失敗方得1分，甲，乙兩隊相互打比賽已知甲隊每一局獲勝的概率均為．（1）求甲、乙兩隊3局結束比賽的概率；（2）記比賽結束時甲隊的得分為，求的分布列和期望．22.已知函數；（1）若無零點，求a取值范圍；（2）若有兩個相異零點，證明：．試題試題滄衡八校聯盟高二年級2022～2023學年下學期期中考試數學課試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.甲工廠有80名工人，乙工廠有60名工人，丙工廠有70名工人，現從中選取1人參加技術培訓，則不同的選法有（）A.180種 B.210種 C.240種 D.270種【答案】B【解析】【分析】根據分類加法計數原理求得正確答案.【詳解】依題意可知，不同的選法有種.故選：B2.已知數列滿足，若，則（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】通過遞推公式逐個求解項，對照選項可得答案.【詳解】因為，所以，，，，；因，所以.故選：D.3.已知，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根據二項分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【詳解】由題設，，則，所以.故選：C4.若的展開式中所有項的系數之和為64，則展開式中的常數項為（）A.15 B.20 C.28 D.35【答案】A【解析】【分析】先根據所有項的系數之和求出，再利用通項公式可得常數項.【詳解】因為的展開式中所有項的系數之和為64，所以，解得；的通項公式為，令得，所以常數項為.故選：A.5.甲、乙、丙3人準備前往A，B，C，D這4個景點游玩，其中甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，若每個人都至少選擇1個景點但不超過3個景點游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A.735種 B.686種 C.540種 D.465種【答案】B【解析】【分析】先確定甲乙的選擇，再確定丙的選擇利用分步計數原理和組合知識可求答案.【詳解】因為甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，所以兩人可以從B，C，D這3個景點中，選擇1個，2個或3個去游玩，兩人的選擇方法均為：（種）；而丙的選擇方法有：（種）；所以3人可組成的不同的游玩組合有：（種）.故選：B.6.已知直線與函數，的圖象分別交于點，，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】由題設可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由題設，，，且，所以，當且僅當，即時等號成立，綜上，的最小值為.故選：C7.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆國際足聯世界杯，于當地時間2022年11月20日至12月18日在卡塔爾境內5座城市中的8座球場舉行.本屆世界杯的賽制規定：從小組賽晉級的16支球隊將被自動分成8組，每組的2支球隊比賽一場，獲勝的球隊晉級1/4決賽.若從小組賽晉級的16支球隊中選出4支球隊，且恰有2支球隊來自同一組，則不同的選擇方法有（）A.672種 B.728種 C.764種 D.800種【答案】A【解析】【分析】首先考慮恰有2支球隊來自同一組的選法，再確定另外2支不同組的選法，利用分步計數乘法原理求出結果.【詳解】因為小組賽晉級的16支球隊自動分成8組，從中選4支，2支球隊來自同一組，所以要先從8組中選一組，有種選法，這組兩支球隊全選，保證2支球隊來自同一組；再從剩余7組中選2組，每一組選1支球隊，這2支球隊來自不同組，有種選法，所以不同的選擇方法有種.故選：A.8.“楊輝三角”是中國古代數學家楊輝杰出的研究成果之一．如圖，從楊輝三角的左腰上的各數出發，引一組平行線，則在第12條斜線上，最大的數是（）A.35 B.36 C.56 D.70【答案】C【解析】【分析】根據楊輝三角的規律再向下寫出4行，找出第12條斜線上的數，比較大小可得答案.【詳解】楊輝三角第8行的數據為：172135352171，第9行的數據為：18285670562881，第10行的數據為：193684126126843691，第11行的部分數據為：11045……，第12條斜線上的數為：1103656356，所以最大的數是56.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在某次數學測試中，學生的成績，則（）A. B.若越大，則越大C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據正態曲線的對稱性結合選項逐個分析可得答案.【詳解】因為，所以，A正確；當時，，當時，，B不正確；因為，所以，C正確；根據正態曲線的對稱性，D不正確.故選：AC.10.已知，則（）AB.C.D.展開式中所有項的二項式系數的和為【答案】ABD【解析】【分析】采用賦值法，分別令和可以判斷選項A、C；根據二項式展開式的通項求得x的系數，可以判斷選項B；直接由展開式中所有項的二項式系數的和的知識就可以判斷選項D.【詳解】令，得，所以A正確；展開式的通項為，令，得，所以B正確；令，得，又，所以，所以C不正確；展開式中所有項的二項式系數的和為，所以D正確.故選：ABD.11.已知a為常數，等差數列的前n項和滿足，則的值可能為（）A.4045 B.4046 C.4047 D.4048【答案】AB【解析】【分析】根據等差數列的前n項和滿足，將前n項和公式和通項公式代入，求得首項和公差即可.【詳解】解：因為a為常數，等差數列的前n項和滿足，所以，則，解得或所以或所以或4045，故選：AB12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】設，，利用導數研究函數的單調性，再結合作差法和不等式性質逐一驗證各選項.【詳解】設，，則恒成立，則在單調遞減，可得，即.令，則，且，即，故；因為，則，又因為，則，所以，即.因為，則，即，即.綜上所述：故選：BC.【點睛】利用導數比較大小問題方法點睛：根據已知中式子的外形結構特征與導數結合起來，合理構造出相關的可導函數，然后利用該函數的性質解決問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13.函數的圖象在處的切線方程為_________．【答案】【解析】【分析】求得切點坐標為，切線的斜率，由點斜式即可得切線方程.【詳解】解：因為，，所以切點坐標為，又因為，所以，所以切線的斜率，所以切線方程為：，即.故答案為：14.某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道類試題，8道類試題，12道類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對這3類試題的概率分別為，，.若學生甲答對了所選試題，則這道試題是類試題的概率為_____________.【答案】【解析】【分析】利用全概率公式及條件概率公式計算可得.【詳解】設學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，學生選道類試題為事件，設學生答對試題為事件，則，，，，，，所以，所以.故答案為：15.一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯內放入一個圓柱形鐵塊后，水面剛好和鐵塊的上底面齊平，如圖所示．已知該水杯的底面圓半徑為6cm，鐵塊底面圓半徑為3cm，放入鐵塊后的水面高度為6cm，若從時刻開始，將鐵塊以1cm/s的速度豎直向上勻速提起，在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面將______（填“勻速”或“非勻速”）下降；在時刻，水面下降的速度為______cm/s．【答案】①.勻速②.【解析】【分析】由圓柱形鐵塊豎直向上勻速提起，可得水面勻速下降；根據已知得出水面高度H與時刻的函數關系，通過導數求瞬時速度.【詳解】設在鐵塊沒有完全離開水面的過程中，水面高度為H，鐵塊離開水面的高度為h，則水和鐵塊的體積為，即①．鐵塊距離杯底的高度為②．由①②可得．令函數，則．故水面將勻速下降，下降的速度為．故答案為：勻速；.16.已知定義域為R的偶函數滿足，且當時，，若將方程實數解的個數記為，則_________．【答案】【解析】【分析】由條件分析得函數的周期性，結合對稱性作出草圖，分析兩函數的交點個數，得出數列通項，裂項相消求和即可.【詳解】由題意可得，方程的實數解個數，即兩函數的交點個數，不難發現也是偶函數，所以兩函數的交點是關于縱軸對稱的，這里只分析的情況.結合條件作出兩函數簡要圖象如下：當時，此時有兩個交點，即，當時，此時有4個交點，即，當時，此時有6個交點，即，以此類推，可知，故，即，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.已知數列的前n項和為，且．證明：（1）是等差數列；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據的關系得出的關系，再利用等差數列的定義證明；（2）先求出，再利用裂項相消法進行證明.【小問1詳解】證明：因為，當時，；兩式相減可得，整理可得，又，故是以3為首項和公差的等差數列.【小問2詳解】證明：由（1）可知，所以，則，所以，因為，所以，即.18.從1，2，3，4，5，6中任取5個數字，隨機填入如圖所示的5個空格中.（1）若填入的5個數字中有1和2，且1和2不能相鄰，試問不同的填法有多少種？（2）若填入的5個數字中有1和3，且區域，，中有奇數，試問不同的填法有多少種？【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）應用分步計數，從其余4個數選3個數全排，再把1和2插入其中求結果.（2）應用間接法，先求出有1和3且區域，，中無奇數的填法數，再求出所有可能的填法數，然后作差即可得結果.【小問1詳解】首先從其它4個數中任選3個并作全排有種，3個數中共有4個空，將1和2插入其中兩個空有種，所以共有種填法.【小問2詳解】若區域，，中無奇數，則其它三個數只能為2、4、6且在區域，，上，所以，共有種，從2、4、5、6任選3個數有種，再把5個數全排有種，共有種，綜上，填入的5個數字中有1和3且區域，，中有奇數，共有種.19.等比數列的前n項和為，已知，且成等差數列．（1）求的通項公式；（2）若，數列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據等差中項可得公比，利用等比數列的通項公式可得答案；（2）先通過求出，再利用錯位相減法求和，可得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，因為成等差數列，所以，因，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，所以，即；，，兩式相減可得；所以20.已知函數.（1）求的極值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為1，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求導，利用導數求解單調性即可求解極值，（2）將恒成立問題轉化成求函數最值問題，構造函數，利用導數求解最值.【小問1詳解】由得，令，故在單調遞增，令，故在單調遞減，故當時，取極小值，且極小值為，故極大值，【小問2詳解】由恒成立可得恒成立，記，則，令，則，由（1）知：在處取極小值也是最小值，且最小值為1，故，因此在上單調遞增，且，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，