洛陽強基聯盟高一5月聯考數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格.工人師傅運用的數學原理是（）A.兩條相交直線確定一個平面B.兩條平行直線確定一個平面C.四點確定一個平面D.直線及直線外一點確定一個平面【答案】A【解析】【分析】利用平面的基本性質求解.【詳解】解：由于連接對“腳”的兩條線段，看它們是否相交，就知道它們是否合格，所以工人師傅運用數學原理是“兩條相交直線確定一個平面”.故選：A2.已知直線與平面沒有公共點，直線，則與的位置關系是（）A.平行B.異面C.相交D.平行或異面【答案】D【解析】【分析】根據空間線面、線線的位置關系直接判斷即可.【詳解】依題意可知，而，所以a，b沒有公共點，a與b可能異面或平行.故選：D3.下列說法中錯誤的是（）A.棱臺的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形B.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺C.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線【答案】C【解析】【分析】由棱臺圓臺和旋轉體的結構特征，圓柱母線的定義，對選項進行判斷.【詳解】由棱臺的結構特征可知，A選項中說法正確；由圓臺的結構特征可知，B選項中說法正確；直角三角形繞斜邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體，不是圓錐，是由兩個同底圓錐組成的幾何體，C選項中的說法錯誤；在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓柱的母線，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線，D選項中說法正確.故選：C4.某城市有學校700所.其中大學20所,中學200所,小學480所,現用分層抽樣方法從抽取一個容量為70的樣本,則應抽取中學數為(

)A.70B.20C.48D.2【答案】B【解析】【分析】根據所給的總體數和樣本容量求出每個個體被抽到的概率，根據中學所有的數目求出要抽取的數目．【詳解】∵某城市有學校700所，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為70的樣本，∴每個學校被抽到的概率是，∵中學200所，∴要抽取200×=20故選B．【點睛】本題考查分層抽樣方法，本題解題的關鍵是在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，這是解題的依據．5.如圖所示，在直角坐標系中，已知，，，，則四邊形的直觀圖面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，作出的直觀圖，再計算面積得解.【詳解】依題意，四邊形是平行四邊形，，如圖，是的直觀圖，，所以四邊形的直觀圖面積為.故選：D6.在長方體中，為的中點，在中，，，，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】設，利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理列式計算即可.【詳解】如圖，連接，由為的中點得，設，則，，，因為，所以，即，解得（負值舍去）.故選：B7.某商業集團董事長想了解集團旗下五個超市的銷售情況，通知五個超市經理把最近一周每的銷售金額統計上報，要求既要反映一周內每天銷售金額的多少，又能反映一周內每天銷售金額的變化情況和趨勢，則最好選用的統計圖表為（）A.頻率分布直方圖B.折線統計圖C.扇形統計圖D.統計表【答案】B【解析】【分析】根據折線統計圖的顯著特點即得結果．【詳解】折線統計圖的一個顯著特點就是能反映統計量的變化趨勢，所以既要反映一周內每天銷售金額的多少，又能反映一周內每天銷售金額的變化情況和趨勢，則最好選用的統計圖表為折線統計圖．故選：B．【點睛】本題考查最理想的統計圖表的判斷，考查頻率分布直方圖、折線統計圖、扇形統計圖、統計表等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是基礎題．8.圖1是唐朝著名的風鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體（如圖2）．設這種酒杯內壁的表面積為，半球的半徑為，若半球的體積不小于圓柱體積，則S的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設圓柱的高為，由條件結合體積公式列不等式求的范圍，再結合球的表面積公式和圓柱的側面積公式求酒杯內壁的表面積解析式及其范圍.【詳解】設圓柱的高為，因為半球的體積不小于圓柱體積，所以，解得，即．所以．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注這八個數字，抽獎者從中任取一個球，事件A表示“取出球的編號為奇數”，事件B表示“取出球的編號為偶數”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件D表示“取出球的編號小于5”，則（）A.事件A與事件C不互斥B.事件A與事件B互為對立事件C.事件B與事件C互斥D.事件C與事件D互為對立事件【答案】AB【解析】【分析】分別求出樣本空間和事件、、、即可根據互斥事件和對立事件的概念去進行判斷.【詳解】由題意抽獎者從中任取一個球的樣本空間為，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件B為對立事件，事件B與事件C不互斥，事件C與事件D互斥但不對立，故A，B正確，C，D錯誤.故選：AB.10.為了研究“同時處理多任務時男女的表現差異”課題，研究組隨機抽取男、女志愿者各150名，要求他們同時完成“解題、讀地圖、接電話”等任務，志愿者完成任務所需時間的分布如圖所示，則下列表述正確的是（）A.總體上女性處理多任務平均用時較短B.處理多任務能力存在性別差異C.男性的用時中位數比女性用時中位數大D.女性處理多任務的用時為正數，男性處理多任務的用時為負數【答案】ABC【解析】【分析】根據志愿者完成任務所需時間的分布圖逐項判斷即可.【詳解】對于A，由圖可知，女性處理多任務平均用時集中在2~3分鐘，男性處理多任務平均用時在3~4分鐘，A正確；對于B，由A的分析可知B正確；對于C，根據分布的特點，可知男性的用時中位數比女性用時中位數大，C正確；對于D，女性和男性處理多任務的用時均為正數，D錯誤.故選：ABC.11.如圖，在直三棱柱中，，，，是邊的中點，過點A，B，D作截面交于點E，則（）A.B.平面平面C.平面D.點到截面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】由棱柱的性質得到平面，再由線面平行的性質判斷A；由判斷C；首先證明平面，得到，即可證明平面，從而判斷B；設與交于點，則平面，利用等面積法求出，即可判斷D.【詳解】如圖，在直三棱柱中，，平面，平面，則有平面，平面，平面平面，可得，故A正確；∵是的中點，，，∴，又，∴，∴，則，∴，∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；因為，平面，所以與平面不平行，故C錯誤；設與交于點，則平面，又因為為的中點，所以點到截面的距離等于點到截面的距離.在中，，由等面積法可得，所以點到截面的距離為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數據為47，48，51，54，55，則該組數據的標準差是______．【答案】【解析】【分析】求出給定數據組的平均數，再利用標準差的定義，列式計算作答.【詳解】數據47，48，51，54，55的平均數為，方差，所以該組數據的標準差.故答案為：13.在正方體中，直線與所成角的大小為___________．（用角度表示）【答案】【解析】【分析】構造兩條異面直線所成的角，再求角的大小.【詳解】如圖：連接，，易知，所以即為與所成的角或其補角，易知為等邊三角形，所以.故答案為：14.如圖，在中，，為的中點．將沿翻折，使點移動至點，在翻折過程中，當時，三棱錐的內切球的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】設內切球半徑為，三棱錐表面積為，根據三棱錐體積求出，然后由球的表面積公式可得.【詳解】因為，，所以，，當時，，因為，，所以平面，，，，則三棱錐的表面積為，設內切球半徑為，則由等體積法知，解得，所以內切球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.同時擲紅、藍兩顆質地均勻的正方體骰子，用表示結果，其中x表示紅色骰子向上一面的點數，y表示藍色骰子向上一面的點數.（1）寫出該試驗的樣本空間；（2）指出所表示的事件；（3）寫出“點數之和不超過5”這一事件的集合表示.【答案】（1）答案見解析（2）擲紅、藍兩顆骰子，擲出的點數相同（3）【解析】【分析】（1）用列舉法把基本事件一一列舉即可.（2）明確基本事件的表示方法即可.（3）列舉法列出滿足條件的基本事件.【小問1詳解】該試驗的樣本空間Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}【小問2詳解】所表示的事件為“擲紅、藍兩顆骰子，擲出的點數相同”.【小問3詳解】事件“點數之和不超過5”就是集合.16.如圖，已知在正四棱錐中，，.（1）求四棱錐的表面積；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）84（2）【解析】【分析】（1）根據表面積公式即可求解，（2）根據體積公式即可求解.【小問1詳解】連接相交于，連接過點作于點，連接，則是斜高，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，．所以正四棱錐的表面積為84．【小問2詳解】，所以正四棱錐的體積為；17.如圖，在三棱錐中，是線段的中點，是線段上的一點.（1）若平面，試確定在上的位置，并說明理由；（2）若，證明：.【答案】（1）是的中點，理由見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據線面平行的性質定理得，從而根據是線段的中點即可確定點E的位置；（2）通過等腰三角形的性質證得，，從而利用線面垂直的判定定理得平面，最后利用線面垂直的性質定理即可證明.【小問1詳解】是的中點，理由如下：若平面，由平面，平面平面，得.又是中點，在上，∴是的中點.小問2詳解】取的中點，連接，，∵，為中點，∴，，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.18.為了估計一批產品的質量狀況，現對100個產品的相關數據進行綜合評分（滿分100分），并制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.（1）求圖中a的值，并求綜合評分的平均數；（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層隨機抽樣的思想，先在該條生產線中隨機抽取5個產品，再從這5個產品中隨機抽取2個產品記錄有關數據，求這2個產品中最多有1個一等品的概率；（3）已知落在的平均綜合評分是54，方差是3，落在的平均綜合評分為63，方差是3，求落在的總平均綜合評分和總方差.【答案】（1），平均數為81（2）（3），【解析】【分析】（1）根據頻率和為1求得，結合加權平均數運算求解；（2）根據分層抽樣求各層人數，利用列舉法結合古典概型運算求解；（3）根據題意利用分層抽樣的平均數和方差公式運算求解.【小問1詳解】由頻率和為1，得，解得；設綜合評分的平均數為，則，所以綜合評分的平均數為81.【小問2詳解】由題意，抽取5個產品，其中一等品有3個，非一等品有2個，一等品記為a、b、c，非一等品記為D、E；從這5個產品中隨機抽取2個，試驗的樣本空間，；記事件“抽取的這2個產品中最多有1個一等品”，則，，所以所求的概率為.【小問3詳解】由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，所以，.19.如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，，點E，F分別是線段，的中點.（1）證明：平面；（2）求點C到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理可，然后利用線面垂直的判