百師聯盟高二五月大聯考數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從含有3件次品的8件新產品中，任意抽取5件進行檢驗，抽出的5件產品中恰好有2件次品的抽法種數為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用分步乘法計數原理，第一步從3件次品中選2件次品，第二步從5件正品中選3件正品，由此可得．【詳解】根據題意，先從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，再從5件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有種.故選：C.2.已知等差數列前項和為，若，則（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據等差數列前項和公式計算．【詳解】，故選：C．3.在直角坐標系內，圓，若直線繞原點順時針旋轉后與圓存在公共點，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先得出旋轉后的直線為，然后由直線與圓的位置關系列出不等式即可求解.【詳解】連接，設（即以軸正方向為始邊，為終邊的角），由題意對于直線上任意一點，存在，使得，則直線繞原點順時針旋轉后，點對應點為，即，因為在直線上，所以滿足設，所以，即所在直線方程為，而圓圓心，半徑分別為，若直線繞原點順時針旋轉后與圓存在公共點，所以圓心到直線的距離，解得.故選：A.【點睛】關鍵點睛：關鍵是求出旋轉后的直線，從而即可順利得解.4.正四面體中，與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據題意作出線面角的平面角，利用三角形重心性質和勾股定理即可求出正弦值.【詳解】正四面體，高為，則為底面正三角形的重心，設為，就是與平面所成的角，在中，設正四面體棱長為，由為底面正三角形的重心，有，，所以.故選：A.5.先后投擲兩個完全相同的骰子，已知兩個骰子的點數之和為10，則第一個骰子擲出的點數為5的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用列舉法，分別求和，結合條件概率運算求解.【詳解】記“兩個骰子的點數之和為10”為事件A，“第一個骰子擲出的點數為5”為事件B，事件A包含，共有個基本事件，即，事件包含，共有1個基本事件，即，所以所求概率為.故選：C.6.已知變量，的5對樣本數據為，，，，，用最小二乘法得到經驗回歸方程：，過點，的直線方程為：，則（）A.B.樣本數據的殘差為C.D.【答案】D【解析】【分析】對于A，由回歸方程必過樣本中心點可知，只需求出樣本中心就可以求出，進一步由直線方程的知識求出即可判斷；對于B，由殘差的定義即可判斷；對于CD，由最小二乘法的意義即可判斷.【詳解】對于A選項，由已知可得，，，根據經驗回歸方程，可知，所以.根據已知，可求出，則直線的方程為，整理可得，所以，故A選項錯誤；對于B項，由已知，經驗回歸方程為，樣本數據的預測值為，所以樣本數據的殘差為，故B項錯誤；對于C、D選項，根據最小二乘法的意義，可知，故D項正確.故選：D.7.拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的焦點與雙曲線的右焦點及及漸近線方程，設，由導數求得點處切線的斜率，得出的關系，再根據三點共線的斜率性質構造方程即可得解.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，且；雙曲線右焦點的坐標為，漸近線方程為，由題意可知，在點M處的切線平行的漸近線應為，設，則，得，又點共線，即點共線，所以，解得，所以故選：D.【考點定位】本題考查拋物線和雙曲線的概念、性質和導數的意義，進一步考查運算求解能力．這一方程形式為導數法研究提供了方便，本題“切線”這一信號更加決定了“求導”是“必經之路”．根據三點共線的斜率性質構造方程，從而確定拋物線方程形式，此外還要體會這種設點的意義所在．8.若關于的方程存在三個不等的實數根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】方程轉化為，令，利用導數求函數單調性和極值，確定關于的方程存在三個不等實數根的條件，求出實數的取值范圍.【詳解】關于的方程存在三個不等的實數根，等價于方程存在三個不等的實數根，令，，解得，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且時，時，當時，有極大值，方程，，方程有兩個不等的實數根，且兩根之積為，則方程有一正根一負根，且正根位于區間上，此時關于的方程存在三個不等的實數根，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.下列說法正確的是（）A.設隨機變量等可能取，如果，則B.若隨機變量的概率分布為，且是常數，則C.設隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率D.已知隨機變量，則【答案】ACD【解析】【分析】根據隨機變量的分布列的性質逐項進行分析即可求解.【詳解】A.設隨機變量等可能取，則，所以，則，故A正確；B.若隨機變量的概率分布規律為，則，其中是常數，則，故B錯誤；C.根據題意可得，又因為聯立即可解得，故C正確；D.因為隨機變量，所以，則，故D正確.故選：ACD.10.如圖所示，設，分別是正方體的棱上兩點，且，與，兩點均不重合，且，，其中正確的命題為（）A.三棱錐的體積為定值B.異面直線與所成的角為C.平面D.直線與平面所成的角為【答案】AD【解析】【分析】，通過計算判斷選項A；定義法求異面直線所成的角判斷選項B；建立空間直角坐標系，向量法求線面角判斷選項CD.【詳解】以為原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，設，則，（），A選項，為定值，故A對；B選項，正方體中，，即有，異面直線與所成角與直線與所成的角為同一個角，即異面直線與所成的角的平面角為，故B錯；C選項，，，，，，，則，，平面的法向量為，設直線與平面所成的二面角的平面角為，則，則，故C錯；D選項，由C選項可知直線與平面所成的角為，故D對.故選：AD.11.定義在上的函數，其導函數為，且滿足，若，且，則下列不等式一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用的單調性及不等式的同向同正可乘性即可判斷；對于B，利用的單調性及基本不等式判斷；對于C，由選項的不等式兩邊同時除以，可以看出構造()，借用的單調性即可判斷；對于D，結合選項C，借助不等式，運用不等式的傳遞性判斷.【詳解】對于A，因為，可知在上單調遞增，且，則，所以，故A正確；對于B，因為，且，則，即，因為在上單調遞增，所以，故B正確；對于C，令()，則，可知在上單調遞增，因為，所以，即，所以，故C正確；對于D，由C可知，且，所以，令，則，在上單調遞增，，所以，所以，即，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數為______.【答案】12【解析】【分析】根據二項式的展開式，當時，可求得的系數.【詳解】根據二項式的展開式(，)可知，令，得，，所以的系數為.故答案為：12.13.已知函數()存在兩個極值點，，且，則的取值范圍為______；的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】求出函數的導函數，和在上有2個不同的交點，即可求出的取值范圍；再由正弦函數的對稱性得到，，即可得到，看作關于的函數，可令，，利用導數說明函數的單調性，即可求出函數的值域，從而得解.【詳解】∵，，∴，∵存在兩個極值點，，且，∴在上有2個不相等的實數根，∴和在上有2個不同交點，所以，即；當時，函數的圖象關于直線對稱，∴，，，，∴，令，，則，∴在上單調遞減，所以，∴的取值范圍為.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題的難點在于第二個空，關鍵是根據正弦函數的對稱性，把化作關于一個未知數的函數，再借助導數求解單調性，得到原函數的值域.14.設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，為雙曲線上一點，且為等腰三角形，頂角為120°，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】通過解三角形知識得出，將其代入雙曲線方程，結合離心率公式即可得解.【詳解】如圖所示，，，過點作軸，垂足為，則，在中，，，即有，，故點的坐標為，代入雙曲線方程得，即為，的離心率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知正項數列前項和為，且滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）()（2）【解析】【分析】（1）根據與之間的關系分析可知數列是等差數列，結合等差數列通項公式運算求解；（2）把（1）中數列的通項公式代入，利用裂項相消法運算求解.【小問1詳解】∵①，當，時，有②，由①－②得，即，∵正項數列，，∴，，∴數列是首項為2，公差為3的等差數列，∴（）.【小問2詳解】由（1）得，則（），∴.16.某汽車生產企業對其生產的四款新能源汽車進行市場調研，從購買者中選取50名車主對車輛進行性能評分，每款車都有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，各評分的相應人數統計結果如下表所示.評分款式1分2分3分4分5分基礎版基礎122310基礎244531豪華版豪華113541豪華200353（1）約定當得分不小于4時，認為該款車型性能優秀，否則認為性能一般，根據上述樣本數據，完成以下列聯表，取顯著性水平，能否認為汽車的性能與款式有關，說明理由；汽車性能汽車款式合計基礎版豪華版一般優秀合計（2）為進一步提升產品品質，現從樣本評分不大于2的基礎版車主中，隨機抽取3人征求意見，設隨機變量表示其中基礎版1車主的人數，求的分布列和期望附：；，，，.【答案】（1）表格見解析，能，理由見解析（2）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據題意寫出列聯表，再結合公式求解判斷即可；（2）根據超幾何分布計算概率，進而求得分布列和期望.【小問1詳解】由題意，列聯表如下：汽車性能汽車款式合計基礎版豪華版一般201232優秀51318合計252550零假設：汽車的性能與款式無關，則，我們推斷不成立，即認為汽車的性能與款式有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.【小問2詳解】樣本評分不大于2的基礎版車主共有12人，其中基礎版1車主有4人，由題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為：0123則.17.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質定理來證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，然后利用向量發求線面角；（3）先利用向量法求點到面的距離，然后利用體積公式求解棱錐體積.【小問1詳解】因為是等邊三角形，是的中點，所以．平面，又平面平面，平面平面，所以平面；【小問2詳解】記的中點為，易知兩兩互相垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，所以，設平面的一個法向量為，則令，此時．設直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角為；【小問3詳解】設點到平面的距離為，，則．由平面幾何知識，易知在直角梯形中，所以．18.設橢圓左?右焦點分別為，過的直線與橢圓相交于兩點.已知橢圓的離心率為的周長為8.（1）求橢圓的方程；（2）判斷軸上是否存在一點，對于任一條與兩坐標軸都不垂直的弦，使得為的一條內角平分線？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用給定的離心率及三角形周長求出即得.（2）假定存在符合題意的點并設出坐標，設直線的方程，與橢圓方程聯立借助韋達定理、斜率坐標公式，結合已知列式計算即得.【小問1詳解】依題意，得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設軸上存在一點符合題意，由題意，設直線，由消去得，，，顯然直線的斜率存在，且為，同理，直線的斜率為，于是，由為的一條內角平分線，得，即，顯然此式對任意非零的實數都成立，因此，解得，所以軸上存在一點，對于任一條與兩坐標軸都不垂直的弦，使得為的一條內角平分線.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設直線方程為，再與圓錐曲線方程聯立結合已知條件探求k，m的關系，然后推理求解.19.設函數在區間上的導函數為，且在上存在導函數（其中）.定義：若在區間上恒成立，則稱函數在區間上為凸函數.已知，（）.（1）判斷函數在區間上是否為凸函數，說明理由；（2）已知函數為上的凸函數，求的取值