2024年牡丹江地區共同體高一期末聯考數學試題考試時間：120分鐘分值：150分命題人：劉賢昭審題人：于海珍一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據特殊角函數值即可得答案.【詳解】由特殊角的函數值，易知.故選：A2.函數的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據正切函數性質，求函數最小正周期.【詳解】由正切型函數的性質，知的最小正周期.故選：C3.若是第四象限角，則點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據的符號確定正確答案.【詳解】由于是第四象限角，所以，所以在第二象限.故選：B4.在扇形OAB中，已知弦，，則扇形OAB的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據扇形的面積公式計算直接得出結果.【詳解】由題意知，設扇形的圓心角為，半徑為r，則扇形的面積為.故選：B5.已知，且.則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】整體法應用誘導公式求三角函數值.【詳解】.故選：D6.函數與圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數函數與一次函數的性質分類討論分析選項即可.【詳解】易知在R上單調遞增，可排除C、D選項；對于A、B選項，為單調遞減函數，則，又過點，過點，則可知兩個函數在縱軸上的交點一次函數在下方，即A選項正確，B選項錯誤.故選：A7.已知，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式，根據正弦函數、指對數函數的性質比較大小即可.【詳解】由，綜上，.故選：D8.若角，滿足，，且，，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據已知可得，，，，則，應用余弦倍角公式可得、，再應用正弦和角公式求，即可確定角的大小.【詳解】由，，則，，由，，則，，所以，，，，而，故.故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正余弦倍角公式、差角正切公式及和角正弦公式判斷各項的正誤.【詳解】A：，錯；B：，對；C：由，所以，即，對；D：，錯.故選：BC10.已知函數，則（）A.在單調遞減 B.的圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱 D.的定義域為【答案】AC【解析】【分析】根據函數解析式確定定義域，再應用對數復合函數單調性判斷區間單調性判斷A，根據關系判斷B、C，根據對數函數、正弦函數的性質有，即可判斷D.【詳解】由解析式知，函數定義域為，且，令，則在上單調遞增，在上單調遞減，而在定義域上單調遞增，結合復合函數的單調性，故在上單調遞增，在上單調遞減，A對，，即的圖象關于對稱，B錯，C對；對于及以上分析，只需，則，顯然的定義域不為，D錯.故選：AC11.設函數，將函數圖象上的所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，將函數圖象上的所有的點的橫坐標變成原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，將函數圖象上的所有的點的縱坐標變成原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖象.下列四個選項中正確的是（）A.當時，函數最小正周期為B.當時，函數是偶函數，則的最小值為C.當時，D.若在有且僅有5個零點，的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據圖象平移得，結合各項條件及正弦型函數性質依次判斷正誤即可.【詳解】由圖象上的所有的點向左平移個單位長度，得，把所有的點的橫坐標變成原來的倍（縱坐標不變），得，把所有的點的縱坐標變成原來的2倍（橫坐標不變），得，綜上，，當，則的最小正周期為，A對；當時，函數是偶函數，則，，可得，故的最小值為，B錯；當時，的周期為2，且，所以，C對；由，則，又在有且僅有5個零點，所以，則，D對.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若函數為奇函數，則________.【答案】1【解析】【分析】利用奇函數的性質求參數，注意驗證即可.【詳解】由解析式知，函數定義域為R，結合奇函數性質有，可得，此時，則，滿足題設.所以.故答案：113.函數在一個周期內的圖象如圖所示，此函數的解析式為_______________．【答案】【解析】【分析】根據所給的圖象，可得到，周期的值，進而得到，根據函數的圖象過點可求出的值，得到三角函數的解析式．【詳解】由圖象可知，，，，三角函數的解析式是函數的圖象過,，把點的坐標代入三角函數的解析式，，又，，三角函數的解析式是.故答案為：.14.對于非空集合，定義，若，，且存在，，則實數的取值范圍是_____________.【答案】##或【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合，依題意，則時一定滿足，再考慮時，求出時參數取值范圍，即可得解.【詳解】因為，所以，因為，，所以，所以，因為，所以，所以，此時區間長度時一定滿足，故下研究時，此時，因此滿足題意的反面情況或，解得或，因此滿足題意的范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于考慮時，求出時參數的取值范圍.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）求值：；（2）已知，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用指對數的運算性質化簡求值；（2）應用誘導公式化簡函數式，進而代入自變量求值即可.【詳解】（1）；（2）由，所以.16.在平面直角坐標系中，已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點的坐標為，且.（1）求的值；（2）若角的終邊與角的終邊關于原點中心對稱，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據角終邊上點得，由弦化切求函數值；（2）根據對稱性有，應用倍角正余弦公式，化弦為切求函數值.【小問1詳解】由題設，又，則，故，所以.【小問2詳解】由角的終邊與角的終邊關于原點中心對稱，則，則.17.函數的一個對稱中心是.（1）求以及函數的單調遞減區間、最大值；（2）用“五點法”畫出函數在上的簡圖.【答案】（1），單調遞減區間，，最大值為2；（2）作圖見解析.【解析】【分析】（1）根據已知有求參數，結合正弦型函數性質求最大值和單調減區間；（2）應用五點法畫出區間函數圖象即可.【小問1詳解】由題設，則，，故，，，則，所以，其最大值為2，令，，則，，所以函數單調遞減區間為，.【小問2詳解】0200在上的簡圖如下，18.如圖所示，立德中學植物園為矩形區域，其中為植物園入口.已知有三條路、、，路上點處為植物園的物品管理站，其中，路上有一個地標建筑L，其中.現要修建兩條路，，修建，費用成本分別為，.設.（1）當，時，求張角的正切值；（2）當時，求當取多少時，修建，的總費用最少，并求出此時的總費用.【答案】（1）（2）時，總費用最少為【解析】【分析】（1）根據已知得、，再由及差角正切公式求值即可；（2）根據題設有修建費用且，應用平方關系、倍角正弦公式及二次函數性質求最小值，并確定對應，即可得答案.【小問1詳解】由題知，，，即，故，所以.【小問2詳解】由題知，，則，且，所以修建費用，且，即，而，由，則，故，所以在上單調遞增，所以，故，即，此時，總費用最少為.19.定義除原點外的點的“相伴函數”為，點稱為函數的“相伴點”.（1）設函數，，求函數的“相伴點”M的坐標；（2）已知點滿足條件：，且的“相伴函數”在時取得最大值，當點M運動時，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用二倍角正余弦公式、和角正弦公式整理函數式，結