高級中學名校試題PAGEPAGE1湘豫名校聯考2025屆高三下學期第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，【答案】D【解析】含有一個量詞的命題的否定的做法為“換量詞，否結論”，所以“，”的否定為“，”.故選：D.2.已知，則在復平面內，復數對應的點位于（）A.實軸上 B.虛軸上C.直線上 D.直線上【答案】C【解析】因為，所以所以復數所對應的點坐標為，位于直線上.故選：C.3.某中學有初中生600名，高中生200名，為保障學生的身心健康，學校舉辦“校園安全知識”了競賽.現按比例分配的分層隨機抽樣的方法，分別抽取初中生名，高中生名，經統計：名學生的平均成績為74分，其中名初中生的平均成績為72分，名高中生的平均成績為分，則（）A.74 B.76 C.78 D.80【答案】D【解析】由題意，得可得，解得.故選：D.4.已知，，，設與的夾角為，則（）A.240° B.225° C.135° D.90°【答案】C【解析】由得：因為，，所以，即，因為，所以，故選：C.5.已知函數為上的奇函數，若函數與的圖象關于點對稱，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】根據題意，函數為上的奇函數，所以，則，所以，函數與的圖象關于點對稱，則，即，所以.故選：B6.若函數在區間內沒有最小值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則且，所以在上沒有最小值，若，可得，若且，可得，，所以，綜上，.故選：D7.已知集合，曲線上的點構成集合，則曲線上的點到直線的最大距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，曲線上的點構成集合，設曲線C上點，則，所以，所以，即，所以設，所以曲線上的點到直線的最大距離為，因為，所以，當且僅當，即時取等號，曲線上的點到直線的最大距離為.故選：A.8.已知函數，則滿足的實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，則，故，所以的圖象關于對稱，當，有，則，所以在上單調遞增，故在上單調遞減，對于，則，可得，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數列的通項公式為，則（）A.B.中的最小項為C.從第三項起，的每一項都大于它的前一項D.數列為等差數列【答案】ABD【解析】，對于A，，則，故A正確；對于B，當時，中的最小項為，故B正確；對于C，由上計算得，顯然從第三項起，的每一項不一定大于它的前一項，故C錯誤；對于D，由，顯然，所以是公差為4的等差數列，故D正確.故選：ABD.10.如圖，在三棱柱中，是與的交點，，，則（）A. B.C.平面 D.到平面的距離為【答案】BC【解析】設，，，對于A，，故A錯誤；對于B，因為，所以，則，故B正確；對于C，因為，所以，同理，可得，又，平面，所以平面，故C正確；對于D，因為，由選項C知，平面，所以為平面的一個法向量，所以點到平面的距離，故D錯誤.故選：BC.11.已知曲線，，，設是上任意一點，為坐標原點，則（）A.曲線關于原點對稱B.曲線上所有的點都在橢圓內部C.曲線在由直線和所圍成的矩形框里（含邊界）D.存在點，使得為鈍角【答案】AC【解析】對于上任意點，關于原點對稱的點為，所以，即，所以也在曲線上，A對；曲線可化為，所以，得，同理可得，所以曲線在由直線和所圍成的矩形框里（含邊界），C對；又可化為，所以，所以，則，所以曲線上所有的點都在橢圓外部（含邊界），B錯；顯然在曲線上，此時，結合B結論，易知，D錯.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某同學收集了第一屆全國學生（青年）運動會吉祥物“壯壯”和“美美”的卡片各一張，第19屆亞運會吉祥物“宸宸”“琮琮”和“蓮蓮”的卡片各一張.現該同學準備將這5張卡片貼在墻上，若將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，則不同的貼法種數為______________.（用數字作答）【答案】8【解析】先將“壯壯”和“美美”的卡片貼在“宸宸”和“蓮蓮”之間，有種貼法，再將這4張卡片看成一個整體，與“琮琮”一起貼在墻上，有種貼法，由分步乘法計數原理可得，不同的貼法種數為種.故答案為：8.13.已知拋物線的焦點為，過點且不與軸垂直的直線與交于兩點，過的中點作軸的平行線交于點，則_________________.【答案】4【解析】如圖，由題意可知，直線的斜率存在且不等于0，因為拋物線的焦點為，設直線的方程為，聯立方程可得，設，則，設，則代入拋物線方程可得，由拋物線的定義可知，.所以.故答案為：4.14.在中，角，，所對邊分別為，，，邊上的高為.若，，則的最小值為________________；若，則的最大值為________________.【答案】①.6②.4【解析】若，由，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為6.若，，解得,由余弦定理得，整理得，，當時，取得最大值4.故答案為：6，4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的80只小鼠隨機均分為兩組：對照組（不含藥物）和實驗組（添加藥物），飼養相同時間后，分別測量這兩組小鼠的體重增加量（單位：g），并對數據進行分析，得到如下頻率分布直方圖：（1）估計實驗組小鼠體重增加量的80%分位數；（2）將這兩組小鼠的體重增加量，從低到高分為三個等級：體重增加量/g等級較輕中等較重假設對照組和實驗組小鼠體重增加量的等級結果相互獨立.根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.現從實驗組和對照組中各隨機抓取一只小鼠，求抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率.解：（1）因為的頻率為，且的頻率為，所以在內，所以，所以.（2）對照組較輕的概率為，中等的概率為，較重的概率為；實驗組較輕的概率為，中等的概率為，較重的概率為；設抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級為事件，則.所以抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率為.16.已知數列的各項均為正數，前項和為，且，是與的等差中項.（1）證明：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.（1）證明：因為是與的等差中項，所以，所以，因為數列的各項均為正數，所以，所以，所以，所以數列是公差為1，首項為的等差數列；（2）解：因為數列是公差為1，首項為的等差數列，所以，所以，當時，，當時，，所以,所以，17.已知雙曲線的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，點在上，四邊形的周長為.（1）求的標準方程；（2）過點的直線與交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點，證明：.（1）解：由題可得，解得，所以C的方程為；（2）證明：設直線，，，由（1）得，聯立得，韋達定理得，，所以直線，令，得，同理可得,，代入得，所以為，中點，所以.18.已知函數.（1）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個零點，，且.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.解：（1）設，則，令，則，所以在上單調遞增，從而.①當，即時，，則在上單調遞增，從而，符合題意；②當，即時，，則一定存在，使得當時，，則在上單調遞減，從而，合題意．綜上所述，的取值范圍為．（2）（i）由題意知，的定義域為．當時，，所以在上單調遞增，從而在上至多有一個零點．7分當時，令，得．當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增．所以是的極小值點，也是最小值點，即．，則．所以當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，所以是的極大值點，也是的最大值點．即，從而．一方面，由（1）可知，取，當時，，即，即，易知當時，也成立．所以當時，．所以，即，從而．因為，所以在內有一個零點.另一方面，由（1）知，．又，所以，所以在區間內有一個零點．綜上所述，的取值范圍是．（ii）證明：由，得，

所以，即．要證成立，只需證，即證，即證．令，則．即證，即證．設，則，所以區間上單調遞增，所以，即式成立．所以不等式成立.19.已知四面體.（1）若該四面體為正四面體，球與其四個面都相切，證明：該四面體與球的體積之比等于它們的表面積之比；（2）設點是滿足，過點的平面分別與直線，，交于點，，，且，，，證明：；（3）若空間內一點滿足（，，，均實數，且全不為0），證明：.證明：（1）設正四面體的棱長為，其內切球的半徑為，如圖：過作底面，則為