高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省攀枝花市2025屆高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學試題1.已知，則z的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】因為，所以，所以z的虛部為.故選：A2.拋物線上一點P和焦點F的距離等于6，則點P的橫坐標（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】拋物線的準線方程為，設點的橫坐標為，到焦點的距離等于，故.故選：B.3.設集合，則滿足且的集合S的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由，則，所以集合的個數(shù)為.故選：D.4.已知平面向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則有，解得或，所以“”是“”的不充分條件；若，則，，所以，所以“”是“”的必要條件，綜上，”是“”的必要不充分條件，故選：B.5.已知分別為曲線和直線上的點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因，則，故曲線和直線無交點，，則，令，解得，則曲線上的點到直線的距離，則的最小值為.故選：A6.男、女各3名同學排成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一性別的兩名同學不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A.36 B.72 C.144 D.288【答案】B【解析】若第一排有2名男生，1名女生，則第一排女生只能站中間，第二排男生只能站中間，不同的排法種數(shù)為；同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法種數(shù)為.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為.故選：B.7.已知函數(shù)的圖象與y軸的交點為，與x軸正半軸最靠近y軸的交點為，軸右側(cè)的第一個最高點與第一個最低點分別為（B位于M與N之間），若的面積為10（其中O為坐標原點），則函數(shù)的最小正周期為（）A.6 B. C.12 D.【答案】C【解析】由題意，作圖如下：因，所以，所以，因為圖象與y軸的交點為，所以，即，因為，所以，所以，又因為圖象最靠近y軸的與x軸正半軸的交點為，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.【答案】C【解析】由題意知，且，當時，，解得，當時，，整理可得，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則.對于選項A，因為，故A錯誤；對于選項B，因為是等差數(shù)列，故B錯誤；對于選項C，因為，故C正確；對于選項D，因為，，故D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校高三年級共有1000名學生，為了解學生的身體發(fā)育情況，隨機抽取了100名學生的體重數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.B.樣本的眾數(shù)估計值為55C.樣本的第75百分位數(shù)約為61.25D.該校高三年級學生中體重高于65千克的學生大約為200人【答案】AC【解析】對于A，，解得，故A正確；對于B，由圖可知體重在的樣本最多，則樣本眾數(shù)的估計值為，故B錯誤；對于C，由，，則設第百分位數(shù)為，，解得，故C正確；對于D，由圖可得學生體重高于千克的概率，則該校高三年級學生中體重高于65千克的學生大約為人，故D錯誤.故選：AC.10.在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.若，點P為雙紐線C上任意一點，則（）A.C關(guān)于x軸對稱 B.點在C上C.直線與C有且僅有兩個交點 D.C上存在點P，使得【答案】ABD【解析】由題知，點到定點的距離之積為1，可得，整理得，即曲線的方程為，對于A，用代換，方程沒變，可知曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，將點代入曲線方程，等式成立，所以點在上，故B正確；對于C，聯(lián)立，解得或或，所以直線與有三個交點，故C錯誤；對于D，原點滿足曲線的方程，即原點在曲線上，而，所以曲線上存在點與原點重合時，滿足，故D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為分別為的中點，P為正方體的內(nèi)切球O上任意一點，則（）A.與所成角的范圍是 B.球O被截得的弦長為C.三棱錐體積的最大值為 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】因為正方體的棱長為2，所以面對角線為，體對角線，對于A，易知當三點共線時，與所成的角最小為，取截面如下圖所示，

易知，當與球相切時，與所成的角最大，設最大角為，則，所以，得到，故A錯誤；對于B，易知內(nèi)切球的半徑，且球心在正方體的中心，易得，設球被截得的弦長為，在中，易得，如下圖所示，在中，

由對稱性可知，，且，由余弦定理知，，在中，，解得或（舍），則弦長，所以B正確；對于C，因為到面的距離為，所以正方體的中心到面的距離為，所以點到面的距離的最大值為，因為，所以，故C正確；對于D，不妨設的中點為，則，由選項B知，，，所以，，，當共線且同向時，，當共線且反向時，，所以，的范圍為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等差數(shù)列的前n項和為，，則_______.【答案】7【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，由，可得，解得，所以.故答案為：713.已知，則____________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故答案為：.14.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】因為，定義域為，，即，所以關(guān)于直線對稱，又，當時，，，，所以，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因為不等式對任意恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，為的中點，E為的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，因為，所以，為的中點，所以為的中位線，所以，因為為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，則，由于平面，所以平面，又因為，所以平面；（2）解：由（1）可知：兩兩垂直，如圖，以為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，在中，由余弦定理可得：，則，，于，則，設平面的一個法向量為于是，即，令，則，所以則，設平面的一個法向量為，于是，即，令，則，所以，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．16.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，當時，，，令，得，當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，，無極大值；（2），因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，當時，，符合題意；當時，令，得或，若，則，所以當時恒成立，符合題意；若，則，則當時，，不合題意；若，則當時恒成立，符合題意；若，則當時，，不合題意，綜上，實數(shù)a的取值范圍為.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求A.（2）已知.（i）若的面積為，求c；（ii）若邊上一點P滿足，點Q是的中點，求的最小值.解：（1）由，可得：，所以.因為，所以，則，解得.（2）（i）根據(jù)三角形面積公式，可得，即，得.再根據(jù)余弦定理，可得，即.由可得，代入得，即，解得，則.（ii），且，點Q是的中點，在中，由余弦定理，可得，即，如圖，在中，設，則，，，令，則代入得，解得，代入，設，，則，令解得，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；故當時，，又，故的最小值為.18.國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧海》憑借其獨特的藝術(shù)魅力與深刻的故事情節(jié)吸引了無數(shù)觀眾的目光，電影中的人物哪吒也深得觀眾喜愛.某公司適時推出20種款式不同的哪吒玩偶隨機購活動，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式是等可能的.小王特別喜歡20種款式中的一種.（1）若20種款式玩偶各有一個.（ⅰ）求小王第二次才買到特別喜歡的款式的概率；（ⅱ）設小王買到特別喜歡的款式所需次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望.（2）若每種款式的玩偶數(shù)量足夠多，每次玩偶被買后公司都會補充被買走的款式.為了滿足客戶的需求，引進了保底機制：在購買前指定一個款式，若前6次未買到指定款式，則第7次必定買到指定款式.設Y為小王買到某指定款式所需的次數(shù)，求Y的數(shù)學期望.（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）解：（1）（i）設小王第次買到特別喜歡的款式為事件.則小王第二次才買到特別喜歡的款式的概率為；（ii）的可能取值為，則，所以的分布列為121920則；（2）記的可能取值為.因為前6次（包含第6次）沒有保底，則，其中，，所以的分布列為1267則.記，則，兩式相減，得，所以.19.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，焦點在x軸上的橢圓C的上頂點為，線段的中垂線交C于兩點，且.（1）求橢圓C的標準方程；（2）點E為橢圓C上位于直線上方（不與點重合）的動點，過點B作直線的平行線交橢圓C于點F，點M為直線與的交點，點N為直線與的交點.（i）證明：直線與直線的斜率之積為定值；（ii）求的取值范圍.解：（1）由題意可設橢圓，由橢圓的上定點為，則，易知的中垂線為直線，由，則，將代入橢圓，可得，解得，所以橢圓.（2）（i）由題意可知