高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省瀘州市龍馬潭區2023-2024學年高一下學期期末考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，所以，所以.故選：D.2.已知是第二象限角，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.故選：A.3.在平行四邊形中，為邊的中點，記，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，可得，所以.故選：D．4.如果函數的一個零點是，那么可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，解得，對比選項可知只有，符合題意.故選：D.5.在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由余弦定理可得：，由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A.6.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，解得或，又，則，，.故選：B.7.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.8.已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知：，由勾股定理可得，當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，，則，當時，有最大值，當點位于直線同側時，設，則：，，則，當時，有最大值，綜上可得，的最大值為.故選：A.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復數z，下列說法正確的是（）A.若，則z為實數 B.若，則C.若，則的最大值為2 D.若，則z為純虛數【答案】AC【解析】設，則，若，即，即，則z為實數，故A正確；若，即，化簡可得，即，即，當時，，，此時不一定滿足，當時，，，此時不一定滿足，故B錯誤；若，即，所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點，且表示圓上的點到原點的距離，所以的最大值為2，故C正確；若，即，，即，化簡可得，則且，此時可能為實數也可能為純虛數，故D錯誤.故選：AC.10.已知a，b，c滿足，且，則下列選項中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】∵，且，∴，而b與0的大小關系不確定，∴，，均恒成立，而與的大小關系不確定.故選：ABC.11.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】依題意，將沿直線翻折至，連接，由翻折性質可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面，平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角，對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示，設，中，，，在中，，，所以，設直線與平面所成角為，則，當且僅當時取等號，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.一個水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則原平面圖形的面積為___________.【答案】【解析】在直觀圖等腰梯形，，且，如下圖所示：分別過點、作，，垂足分別為點、，由題意可知，所以，，同理可得，因為，，，則四邊形為矩形，所以，故，將直觀圖還原為原圖形如下圖所示：由題意可知，梯形為直角梯形，，，，，，因此，梯形的面積為.故答案為：.13.已知，則______．【答案】或【解析】因為，所以，所以或，當時，，；當時，，.故答案為：或.14.已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為_________．【答案】【解析】，向左平移個單位長度后得到的圖象，則，，，，則在上的值域為.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當為何值時，．解：（1）因為，，與的夾角為，則，所以，.（2）因為，則，解得.16.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因為，所以，∴.17.已知函數的一段圖象過點，如圖所示．（1）求函數的表達式；（2）將函數的圖象向右平移個單位，得函數的圖象，求在區間上的值域；（3）若，求的值.解：（1）由圖知，，則，由圖可得，在處最大值，又因為圖象經過，故，所以，故，又因為，所以，函數又經過，故，得，所以函數的表達式為．（2）由題意得，，因為，所以，則，所以，所以在區間上的值域為.（3）因為，所以，即，又因為，所以，由，所以，所以，所以.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設，所以，設為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，解得，又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G，作，垂足為點F，連結，則，因為平面，所以平面，為二面角的平面角，因為，所以，由已知得，故，又，所以，因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據題意，得，對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得，①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得，②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得，如圖可知，即有，根據三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．19.已知為坐標原點，對于函數，稱向量為函數的伴隨向量，同時稱函數為向量的伴隨函數.（1）設函數，試求的伴隨向量的坐標；（2）記向量的伴隨函數為，當且時，求的值；（3）設向量，的伴隨函數為，