高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省朔州市懷仁市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色里水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答親答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本試卷主要命題范圍：選擇性必修第二冊第五章一元函數的導數及其應用，選擇性必修第三冊第六章計數原理.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.下列求導數的運算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：，故A錯誤；B：，故B錯誤；C：，故C錯誤；D：，故D正確；故選：D.2.已知函數（是的導函數），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，又因為，當時，，解得，所以.故選：D.3.重慶市高考綜合改革實施方案中規定：高考考試科目按照“”的模式設置，“3”為語文、數學、外語3門必選科目；“1”為由考生在物理、歷史2門科目中選考1門作為首選科目；“2”為由考生在思想政治、地理、化學、生物4門科目中選2門作為再選科目.現由甲、乙2位同學選科，若他們的首選科目相同，再選科目恰有一門相同的不同選法的種數為（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】C【解析】第一步：甲乙首選科目相同，有種方法；第二步：從思想政治、地理、化學、生物4門科目中選一科中選一科作為甲乙的相同科目，有種方法；第三步：甲從剩下的三科中選一科，有種方法；第四步：乙從剩下的兩科中選一科，有種方法.所以共有種不同方法.故選：C4.函數在區間上的最大值是，則的值為()A.3 B.1C.2 D.－1【答案】B【解析】由題意可知，，令，解得或（舍）.當時，；當時，；所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以,,，則最大，所以當時，函數取得最大值為.由題意可知，，解得,所以的值為.故選：B.5.已知函數有三個零點，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，由得，或；由得，，則當或時單調遞增；當時單調遞減.則時取得極大值；時取得極小值.函數有三個零點，即函數與直線圖像有3個不同的交點，則實數m的取值范圍是故選：A6.如圖1，現有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當時，，即圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.故選：C7.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，，，而，當時，，單調遞減，∵，所以，即.故選：B.8.若函數=有大于零的極值點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】原命題等價于有大于零的零點，顯然在上單調遞增，又因為時，，所以，所以故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】令，可得，故A正確；含的項為，故，B錯誤；令，，又，故，C正確；令，，又，故，D正確.故選：ACD.10.設函數的導函數為，的部分圖象如圖所示，則（）A.函數在上單調遞增 B.函數在上單調遞減C.函數在處取得極小值 D.函數在處取得極大值【答案】AB【解析】有的圖象可得當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；所以函數在上單調遞增，故A正確；函數在上單調遞減，故B正確；函數在處無極值，故C錯誤；函數在處取得極小值，故D錯誤.故選：AB.11.設函數則下列說法正確的是（）A.當時，的圖象位于x軸下方 B.存在單調遞增區間C.有且僅有兩個極值點 D.在區間上有最大值【答案】AB【解析】因為函數，可得函數的定義域為，且，令，可得，當時，；當時，，當時，，由，所以，即，所以在上單調遞減，因為時，，當時，的圖象在軸的下方，所以A正確；當時，，所以，又因為，所以存在使得，所以當時，；當時，，所以上單調遞減，在上單遞增，當時，函數取得極小值，無極大值，所以函數只有一個極值點，且在區間上先減后增，沒有最大值，所以C、D錯誤.故選：AB.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】，則，又，故切線方程為，即.故答案為：.13.甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產生，有______種不同的冠軍獲得情況.【答案】64【解析】由題意可知數學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍各有4種情況，故有種情況.故答案為：14.已知函數，則的最小值是____________.【答案】【解析】由函數，則函數的最小正周期為，又由，可得函數為奇函數，只需考慮在上的最值即可，又由，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以函數在上的最大值為，因為函數為奇函數，所以函數的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中，所有二項式系數的和為32．（1）求的值；（2）若展開式中的系數為，求的值．解：（1）∵所有二項式系數的和為32，∴，∴．（2）二項式展開式的通項公式為，令，∴展開式中的系數為，∴，解得．16.6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.（1）6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？（3）若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？解：（1）根據題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個項目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；甲參加項目同時乙參加項目共有種，根據題意減去不滿足題意的情況共有種.17.已知函數.（1）若在處取得極小值，求實數的值；（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍.解：（1）因為，所以，得，此時，所以在上，單調遞減，在上，單調遞增，所以在處取得極小值，符合題意，故實數的值為.（2）由（1）知，，因為在上單調遞增，所以在上恒成立.因，所以在上恒成立，即在上恒成立.因為在上單調遞減，所以，故實數的取值范圍為.18.已知函數.（1）求函數的單調性與極值；（2）若關于的方程有兩個解，求實數的取值范圍.解：（1）依題意，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減故當時，函數的極大值為，無極小值；（2）令，得.當時，，則在上單調遞增.因此函數至多只有一個零點，不符合題意，當時，由，得，因此在上是單調遞增，在上是單調遞減，所以.一方面，當從右邊趨近于0時，趨向于；當x趨向于時，，因此，趨向于；另一方面，由，得，即，因此，，很明顯在上是單調遞增且，根據題意得：，所以.即方程有且只有一個大于1的正實根.設，由（開口向下）且，對稱軸為，得，解得.所以實數的取值范圍是；綜上，在單調遞增，單