高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省聊城2025屆市高三一模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，故，故選：C2.已知復數，則共軛復數A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，則其共軛復數.本題選擇B選項.3.曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對函數求導得，故所求切線斜率為，切點坐標為，所以，曲線在處的切線方程為，該切線交軸于點，交軸于點，因此，曲線在處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：D.4.已知角，向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，向量，，若，則，可得，故.故選：B.5.已知等比數列的公比為，則“”是“是遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】先分析充分性：在等比數列中，，所以假設，，所以，等比數列為遞減數列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數列的公比為，且是遞增數列，所以恒成立，即恒成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不恒成立，當，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.6.設是橢圓的左焦點，，是上的任意兩點，周長的取值范圍為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令橢圓右焦點為，則，所以周長：當且僅當共線時取等號，則，即，又，因此，則，解得，所以C的離心率為.故選：A.7.已知函數是定義域為的奇函數，當時，，若是增函數，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使奇函數是增函數，則需要在上單調遞增，且，當時，恒成立，因為，此時的對稱軸，所以只需即可，即.故選：B8.在四棱錐中，，、分別為、的中點，經過、、三點的平面交于點，為上一點，且平面，為等邊三角形，，，則經過、、、四點的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，設平面的一個法向量為，，直線的一個方向向量為，則，取，可得，設，所以，，因為平面，則，解得，所以，，即點，設經過、、、四點的球的球心為，由可得，解得，故球半徑為，因此，經過、、、四點的球的表面積為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.直線是曲線的一條對稱軸D.將的圖象向右平移個單位得到的圖象【答案】BD【解析】因為，對于A選項，函數的最小正周期為，A錯；對于B選項，當時，，所以，在上單調遞增，B對；對于C選項，因為，故直線不是曲線的一條對稱軸，C錯；對于D選項，將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，D對.故選：BD.10.將四個不同的小球，放入四個編號為、、、的盒子中，每個小球放入各個盒子的可能性都相等，設表示空盒的個數，表示號盒子中小球的個數，則（）A.每個盒子中恰有球的概率為B.事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立C.隨機變量的方差為D.隨機變量的均值為【答案】BCD【解析】對于A選項，每個盒子中恰有球的概率為，A錯；對于B選項，記事件號是空盒，事件號是空盒，則，，所以，，故事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立，B對；對于C選項，由題意可知，故，C對；對于D選項，由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，，因此，，D對.故選：BCD.11.設動直線與拋物線相交于，兩點，分別過，作的切線，設兩切線相交于點，則（）A.直線經過一定點 B.拋物線的焦點為C.點到坐標原點的距離不小于 D.的面積的最小值為【答案】ACD【解析】對于A：化簡為，無論為何值時，令，可得定點為，A選項正確；對于B：的焦點在軸且，所以，所以拋物線的焦點為，B選項錯誤；對于C：設，與拋物線方程聯立有，設，，有，，由，所以的斜率分別為，又因為,則兩切線，，聯立兩直線方程解得，所以，點到坐標原點的距離為，當時點到坐標原點的最小距離為，所以C正確；對于D：P到l的距離為，所以，當時，此時取最小值，故D正確；故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設實數，函數為奇函數，則______________.【答案】【解析】實數，且函數為奇函數，則，由奇函數的定義可得，即，整理可得，則，因為，解得，所以，，故.故答案為：.13.在中，已知，，，則的面積為______________.【答案】【解析】因，故，如圖，過點作射線交線段于點，使，則，則，在中利用余弦定理得，，解得，在中利用余弦定理得，，則，則.故答案為：.14.在一塊黑板上共有10個點，其中任意3點都不共線，現將任意兩點用紅色線段或綠色線段連結起來，在所得到的圖形中三邊同色的三角形至少有______________個.【答案】20【解析】拉姆齊數基礎：拉姆齊數

表示在6個點的完全圖中，無論如何用兩色著色邊，必然存在一個同色三角形.但本題涉及10個點，需進一步分析.Goodman定理的應用：Goodman定理指出，對于偶數

，雙色完全圖中同色三角形的最少數目為：,當

時，，代入得：這表明無論如何著色，至少存在20個同色三角形。構造性驗證：將10個點分為兩組（每組5個），組內邊全紅，組間邊全綠,此時同色三角形僅來自組內，每組有

個紅色三角形，共

個。這說明存在一種著色方式使得同色三角形恰為20個。根據Goodman定理，無論何種著色，同色三角形數量下限即為20。結論：在所得到的圖形中，三邊同色的三角形至少有20個。故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程、演算步驟.15.某學校為了調動學生學習數學的積極性，在高二年級舉行了一次數學有獎競賽，對考試成績優秀（即考試成績不小于分）的學生進行了獎勵.學校為了掌握考試情況，隨機抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數為.（1）求的值和樣本容量；（2）估計所有參賽學生的平均成績；（3）假設在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎率為，填寫下列列聯表，并依據小概率值的獨立性檢驗，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？性別獎勵合計獲獎未獲獎男女合計附：，解：（1）由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得，解得，樣本容量為.（2）所有參賽學生的平均成績為：.（3）由題意可知，獲獎人數為人，由題意可得如下列聯表：性別獎勵合計獲獎未獲獎男女合計所以，，所以，依據小概率值的獨立性檢驗，男生與女生的獲獎無差異.16.在三棱錐中，為等邊三角形，，，為的中點，為線段上一點，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因，，，所以，所以，在中，根據正弦定理得，又，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以為中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）解：取中點，連接，因為為的中點，所以，，因為，即，所以，因為為等邊三角形，且，所以，，又，所以，所以，以為原點，分別以為軸的正向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個不同的極值點，，且，求實數的取值范圍.解：（1）的定義域為.

求導可得：.令，其判別式.

當，即時，因為，所以，則，所以在上單調遞增.

當，即或時，方程的兩根為，.(根同號)，.因為，當時，，則，，此時，，在上單調遞增.當時，，則，，且，此時在和上，，，單調遞增；在上，，，單調遞減.

綜上所得，當時，在上單調遞增.當時，在和上單調遞增；在上，單調遞減.（2）因為有兩個不同的極值點，所以且，解得.由韋達定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，對求導得.因為，所以，在上單調遞增.又，所以的解集為，即實數的取值范圍是.18.已知圓，圓，動圓與、都外切.（1）求圓心的軌跡方程；（2）設，、是圓心軌跡上的不同兩點，過點作，垂足為，若直線與的斜率之積等于，求動點軌跡的長度.解：（1）設圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓、圓都外切，則，，所以，所以點的軌跡是以點、為焦點的雙曲線的右支，設雙曲線的標準方程為，則，可得，，則，所以，，所以，圓心的軌跡方程為.（2）若直線與軸垂直，則直線與曲線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，聯立可得①，則且，可得且，由韋達定理可得，，整理可得，即，整理可得，若，此時，方程①為，由于，解得，此時直線與點的軌跡只有一個公共點，不合乎題意，所以，，所以，直線的方程為，故直線過定點，因為，取線段的中點，則，所以點在以點為圓心，半徑為的圓上運動，由題意可得，可得，易知直線的方程為，聯立可得，直線交軸于點，交圓于、兩點，，則，所以，，易知點的軌跡為劣弧（不包括端點），其長度為.19.若各項為正數的無窮數列滿足：對于都有，其中為非零常數，則稱數列為“平方等差數列”.（1）判斷無窮數列和是否是“