高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市2025屆高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，則，所以.故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.3.若直線：與直線：平行，則（）A.4 B. C.1或 D.或4【答案】D【解析】若直線：與直線：平行，則，整理可得，解得或，若，直線：與直線：平行，符合題意；若，直線：與直線：平行，符合題意；綜上所述：或.故選：D.4.若數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，則“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】數(shù)列中，，數(shù)列為等比數(shù)列，令其公比為，則，，為常數(shù)，因此數(shù)列為等差數(shù)列；反之，為等差數(shù)列，令其公差為，則，即為常數(shù)，因此數(shù)列為等比數(shù)列，所以“為等比數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C5.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，則焦點(diǎn)為，故選：B．6.已知函數(shù)則的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；且當(dāng)時(shí)，，所以為奇函數(shù)，易知為上的遞減函數(shù)，則，所以原不等式的解集為.故選：A7.已知圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，側(cè)面積為4π，則圓臺(tái)上下底面面積之差的絕對(duì)值為（）A.π B.2π C.4π D.8π【答案】B【解析】如圖：設(shè)展開圖小圓半徑和大圓半徑分別為，則圓臺(tái)側(cè)面積，即，上底面半徑，下底面半徑，圓臺(tái)上下底面面積之差的絕對(duì)值為.故選：B.8.已知，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋顣r(shí)，，因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，且區(qū)間對(duì)應(yīng)每一個(gè)值都使得，所以；當(dāng)時(shí)，，，且區(qū)間對(duì)應(yīng)每一個(gè)值都使得，所以；綜上則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即，故D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了驗(yàn)證牛的毛色（黑色、紅色）和角（有角、無角）這兩對(duì)相對(duì)性狀是否相關(guān)，某學(xué)院進(jìn)行了一次數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)形成的2×2列聯(lián)表，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值為的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則（）附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635A.若，則認(rèn)為“毛色”和“角”無關(guān)B.若，則認(rèn)為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過10%C.若，則認(rèn)為“毛色”和“角”無關(guān)D.若，則認(rèn)為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過1%【答案】BC【解析】對(duì)AB，若，因?yàn)椋瑒t認(rèn)為“毛色”和“角”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過10%，故A錯(cuò)，B對(duì)；對(duì)CD，若，因?yàn)椋瑒t認(rèn)為“毛色”和“角”無關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C.內(nèi)切圓半徑的最大值為 D.外接圓半徑的最小值為1【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由三角形中位線得，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)在第二三象限時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，所以，所以，所以，所以由三角形相似可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，又，所以內(nèi)切圓半徑的最大值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可得，故D正確.故選：ACD11.已知遞增數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A，在原式中令，則，故A正確；對(duì)B，若，單調(diào)遞增，則，則，即矛盾，舍去，故，故B正確；對(duì)C，由得，則，則，，，原式中令，令，因?yàn)檫f增數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)D，由，令，由單調(diào)遞增，，令，令則，則時(shí)，，且，則時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在原式中令，同理由，D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.將兩個(gè)1，兩個(gè)3，一個(gè)5排成一行，則不同的排法種數(shù)為________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】第一步選2個(gè)空給兩個(gè)1有種選法，第二步選剩下的3個(gè)空給兩個(gè)3有種選法，最后剩一個(gè)空排5即可，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有種排法，故答案為：.13.函數(shù)的最小值為________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以，作出函數(shù)圖像：所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí).故答案為：.14.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，用所有這樣的點(diǎn)P構(gòu)成的平面截正四面體，則所得截面的面積為________.【答案】【解析】建立正四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)為，每條棱長(zhǎng)均為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，，，，，，因?yàn)椋裕此袧M足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面為平面（平面），而為正方體的頂點(diǎn)（如圖所示），且該正方體的中心為原點(diǎn)，由對(duì)稱性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于，截面四邊形的頂點(diǎn)為，在平面上形成一個(gè)菨形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度為，故面積為2.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某公司升級(jí)了智能客服系統(tǒng)，在測(cè)試時(shí)，當(dāng)輸入的問題表達(dá)清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為，當(dāng)輸入的問題表達(dá)不清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為.已知輸入的問題表達(dá)不清晰的概率為.（1）求智能客服的回答被采納的概率；（2）在某次測(cè)試中輸入了3個(gè)問題（3個(gè)問題相互獨(dú)立），設(shè)表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求的分布列、期望及方差.解：（1）設(shè)“智能客服的回答被采納”，“輸入的問題表達(dá)不清晰”，依題意，，，因此，所以智能客服的回答被采納的概率為.（2）依題意，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望；.16.如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點(diǎn)在線段上.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求.（1）證明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，過點(diǎn)作，則，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知兩兩互相垂直，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則有，設(shè)，則，設(shè)，則有，解得，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得或，所以或.17.已知雙曲線：離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)的直線交的右支于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）過P作直線的垂線，垂足為N.（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求面積的最小值.解：（1）由題設(shè)且，則，由軸時(shí)，，不妨令，代入雙曲線得，所以，則所求方程為；（2）（i）設(shè)，則，由斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得，則，所以，由，直線，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，直線所過定點(diǎn)必在軸上，令，則，因?yàn)椋裕瑒t，所以過定點(diǎn)；（ii）由，由（i），，可得，令，則，由，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，的最小值為.18.已知，函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若存在零點(diǎn).（i）當(dāng)時(shí)，求取值范圍；（ii）求證：.解：（1）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值.當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值是，無極大值.（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，故有解，若，此時(shí)無解，所以，有解，，①若單調(diào)遞增，此時(shí)不存在零點(diǎn)；②若，令，，，由零點(diǎn)存在定理可知存在，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，解得，故.（ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，，所以，時(shí)，要證，只需證，即證.令，則，令，，故在上為增函數(shù)，故.即在上為增函數(shù)，故，故，即成立.19.如圖，已知給定線段長(zhǎng)為2，以為底邊作頂角為的等腰三角形，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形……依次類推，取的腰的三等分點(diǎn)，（靠近），以為底邊向外部作頂角為的等腰三角形，得到三角形列.（1）用表示出的外接圓半徑；（2）當(dāng)時(shí)，證明：各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部；（3）若各頂點(diǎn)均在外接圓上或其內(nèi)部，求的取值范圍.解：（1）設(shè)的外接圓半徑為，由題意知，，，又，故.故的外接圓半徑為.（2）設(shè)的外心為，外接圓半徑為，的中點(diǎn)為，，則，，.注意到的中點(diǎn)也為，故的中垂線與中垂線重合.由題意知，，均在的中垂