2025屆高三二輪復習微專題2025412（立體幾何二：外接球鞏固，空間角復習，空間的垂直關(guān)系及定理定義）【復習鞏固】外接球問題基本原理：兩定理一公式（過不共線三點有且只有一個圓，過不共面四點有且只有一個球，）.外接球問題類型及解法：1.基本型：（1）旋轉(zhuǎn)體的外接球：圓錐，圓錐，圓臺的外接球（注：常取軸截面進行計算）；（2）長方體的外接球半徑（為長方體的長寬高）.2.補形類：（1）直棱錐（有側(cè)棱垂直于底面）直棱柱圓柱；例1.如圖，三棱錐中平面，，則三棱錐的外接球的半徑為.（圖1）（圖2）（圖3）解：如下，“圖1”的三棱錐補形成“（圖1）（圖2）（圖3）用公式“”，在“圖3”中，，，∴.（2）“墻角”或“鱉臑”補形成長方體：例2.填空：（1）如圖1（“墻角”），三棱錐中平面，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為.（例（例2圖1，“墻角”）（例2圖2，“鱉臑”）（2）如圖2（“鱉臑”），三棱錐中平面，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為.（3）“正四面體”補形成“正方體”例3.已知正四面體的棱長為2，其外接球半徑為.解：如下圖（左），補形成正方體后，正方體的棱長為，體對角線長為，外接球的半徑為.變式：已知正四面體的棱長為2，取各棱的中點連成一個八面體，其體積為.（例（例3圖）3.一般型：雷達定位，“雷達”即小圓面，一個雷達能確定球心的方向，兩個雷達能確定球心的位置.小圓常常是一個三角形的外接圓.上圖右，已知球的小圓與小圓，則過作小圓的垂線必經(jīng)過球心，過的小圓的垂線必經(jīng)過球心，與的交點即為球心.例4.已知三棱錐中，平面平面，且與都是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐的外接球的半徑為.（例4圖1）（例4圖2）（例4圖3）解：如下圖2，的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過與分別作平面與平面的垂線與（例4圖1）（例4圖2）（例4圖3）如圖3，取中點，連、，則、分別過、，因為平面平面，易知平面，所以//，四邊形是矩形，，連，則，外接球半徑.（注：此題不能補形成圓柱，但可補形成圓臺）變式1.把“平面平面”改成“二面角為”，則外接球半徑為；變式2.把“與都是邊長為2的等邊三角形”改成“是邊長為2的等邊三角形，是等腰直角三角形，”，則外接球半徑為.【空間中的夾角鞏固】例5．如圖，正四面體的棱長為2，是棱的中點.（1）與的夾角的余弦值為；（2）與的夾角的余弦值為；（3）直線與平面所成角的余弦值為；（4）二面角的夾角的余弦值為.AABCDEABCDE例6．如圖正方體棱長為2，、分別為、的中點.（1）直線與的夾角為；（2）直線與平面的夾角為；（3）直線與平面的夾角為.【空間中的垂直關(guān)系及證明】③③線面線線面面①②④1.三個垂直：A根據(jù)所給圖形，寫出相應定理或定義的符號語言：A①：；②：；③：；④：.2.常見的垂直：（1）在正方體中，我們稱、等為面對角線，、等為體對角線，①直線平面（填頂點連成的正方體的截面）；②直線平面（填頂點連成的正方體的截面）；③直線平面（填頂點連成的正方體的截面）. （2）如圖，在三棱錐中，，，則.（3）例7.如右圖，在正三棱柱中.①求證：平面；②若，求證：.3.投影法觀察線線垂直：如下圖，直線平面，直線平面，作平面，作平面，稱為直線在平面上的投影，則例8.（2021年新高考2卷）（多選題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A．B．C．D．4.已知面面垂直，必得線面垂直（如有必要，作輔助線）.例9．如右圖，在四棱錐中，，，，平面平面.（1）求證