6.2.4向量的數量積【學習目標】1.通過分析和解決物理中的做功問題，理解向量數量積的代數和實際意義，提高數學應用意識，發展數學建模素養；2.通過合作探究，了解投影向量的含義，并能推導和驗證數量積的運算律，提升數學抽象和邏輯推理的核心素養；3.通過典例分析，會運用向量數量積的定義求模長和夾角的問題，發展數學運算和邏輯推理的核心素養．【學習重難點】1.通過分析和解決物理中的做功問題，理解向量數量積的代數和實際意義，提高數學應用意識，發展數學建模素養；2.通過合作探究，了解投影向量的含義，并能推導和驗證數量積的運算律，提升數學抽象和邏輯推理的核心素養；【評價任務】1.完成問題1，問題2，問題3：檢測目標（1）是否達成；2.完成問題4，問題5：檢測目標（2）是否達成；3.完成例1，例2：檢測目標（3）是否達成．【學習過程】環節一創設情境，提出問題一只猴子撿到一把鈍刀，連小樹也砍不斷．于是它向砍柴人請教，砍柴人說“把刀放到石上磨一磨”．于是猴子高興地飛奔回去，立刻把刀放在一塊石頭上拼命地磨．直到它發現刀口和刀背差不多厚了，便停下來…結果當然是失敗的．難道猴子沒有做功嗎？不！難道猴子沒有用心嗎？不！但是做功≠成功．物理學當中的做功在數學中叫做什么，是如何表示的呢？【想一想】當力與運動方向成某一角度時，力對物體所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？環節二小組合作，探索交流1.向量的夾角【問題1】如圖,一個物體在力F的作用下產生了位移s,其中力、位移分別是矢量還是標量?它們的夾角是什么？【提示】力、位移都是矢量,夾角為.已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點，作，∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角，記作.“同起點”原則顯然，當θ=0時，a與b同向；當θ=π時，a與b反向.如果a與b的夾角是，我們就說a與b垂直，記作a⊥b. 定義：已知非零向量，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫作的數量積（或內積），記作，即規定a·b＝|a||b|cosθ規定：零向量與任意向量的數量積為0.說明：(1)兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，符號由夾角決定.(2)中間的“·”在向量的運算中不能省略，也不能寫成(3)在運用數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°,180°]．【做一做1】若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是()A．60°B．120°C．30° D．150°2.向量的數量積【問題2】力F所做的功應當怎樣計算?決定功大小的量有哪幾個?功是矢量還是標量?定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積(或內積)記法記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ規定零向量與任一向量的數量積均為0特別提醒：(1)“·”是數量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”;(2)數量積的結果為數量,不再是向量;【做一做2】已知向量a，b滿足|a|=2,|b|=,且a與b的夾角為30°,那么a·b等于()A.1B.C.3D.33.投影向量【問題3】如圖，已知線段AB和直線l，過線段AB的兩個端點A，B，分別作直線l的垂線，垂足分別為A1，B1，得到線段A1B1，那么線段A1B1叫做什么？【提示】線段A1B1叫做線段AB在直線l上的投影線段.【問題4】如圖,是兩個非零向量，，的夾角為，你能在圖中做出的幾何圖形嗎?我們稱這種變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．投影向量的定義:我們可以在平面內任取一點O，作，.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量在向量上的投影向量.思考:向量在向量上的投影向量是向量，它的大小和方向如何確定呢？探究：如圖，設與方向相同的單位向量為與的夾角為θ，那么與,θ之間有怎樣的關系？當θ為銳角時，?=O當θ為直角時，?=當θ為鈍角時，?=-當θ=0時，?=O當θ=π時，?=-O從上面的討論可知，對于任意的θ∈[0,π]，都有O【做一做3】已知非零向量a與b的夾角為45°，|a|=2，與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量為c,則c=.環節三例題練習，鞏固理解例1：在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→)).【類題通法】向量數量積的求法求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵．例2：已知|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為eq\f(2π,3)，則向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．【類題通法】向量a在向量b上的投影向量的求法將已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cosθe(e是與b方向相同的單位向量，且e＝eq\f(b,|b|))中計算即可．環節四小結提升，形成結構1.本節課學習了哪些數學知識？2.在學習過程中我們學習了哪些數學思想方法呢？3.通過本節課的學習，你發展了哪些數學素養呢？【反饋練習】A組1．已知向量滿足，則（）A．4 B．3 C．2 D．02.已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a與b的夾角為120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．3.已知|a|＝4，|b|＝6，a與b的夾角為60°，則向量a在向量b上的投影向量是________．4.已知|a|＝4，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(2π,3)，求：(1)a·b；(2)(a－2b)·(a＋b).B組已知在邊長為6的等邊三角形ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．24B．6C．18D．－242．已知平面向量a，b滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，a·(a－b)＝5，則向量a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)3．設非零向量a，b，c是滿足a＋b＋c＝0，a⊥b，(2a－b)⊥c，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(2)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝________．4．已知向量a，b滿足(2a＋b)·(a－2b)＝2，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2.(1)求a與b的夾角θ；(2)求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b)).【學后反思】1.通過本節課的學習你學到了哪些知識？2.你體會到了哪些數學思想、解題方法？3.需要老師提供什么幫助？4.你有什么好的經驗可以和大家一起分享？你對本學歷案有什么建議和意見，都可以寫在最后的空白區域.________