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文檔簡介
TOC\o"13"\h\u立體幾何1 1動直線 1平行的證明 3垂直的證明 11性質定理的應用 26有等腰三角形必用三線合一 34文檔檢索使用方法:WPS打開本文檔后,點擊右上角“章節導航”,再點擊左上角“目錄”。即可開啟強大的知識點分類檢索功能。本文檔筆者十年持續更新,每一知識點題作者都親自做過。覆蓋所有新高考內容所需,可在WPS打開文檔后點擊查詢“平行的證明”等字樣快速檢索到高考所需題型。是高中數學教師教學必備神器,是高中學生實現快速進步的高中數學統計題型寶典。本專輯每年更新一次,持續更新。如需高考數學教師備課學生備考分類試題庫(2025年版)專輯中的其它文檔,歡迎進入專輯。立體幾何1動直線例1(線面平行性質定理的逆運用):練習1.1:(改編):如圖,在空間幾何體ADE-BCF中,四邊形CDEF是平行四邊形,M是線段AE上的動點。線段AE上是否存在一點M,使得AC∥平面MDF。若存在,請確定點M的位置;若不存在,請說明理由。解:M為線段AE的中點,連接EC使用中位線法。KEY:存在M為線段AE的中點。練習1.2:如圖,在四棱錐P—ABCD中,設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由。KEY:存在F為線段PB的中點。練習1.3:如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D1為A1C1上的點。當eq\f(A1D1,D1C1)_________時,BC1∥平面AB1D1。解:D1為線段A1C1的中點,連接A1B使用中位線法。KEY:1練習2.1(原創):如圖,在四棱錐中,四邊形為梯形,,。在棱上是否存在一點,使得平面。若存在,請確定的位置,并給出證明。若不存在,請說明理由。解:為中點。證明:當為中點時,過作交于點。易證,∴四邊形是平行四邊形。∴,∴平面。KEY:存在為中點。練習2.2(原創):如圖,在四棱錐中,為棱的中點,∥。在棱上是否存在一點,使得∥平面。若存在,請確定的位置,并給出證明。若不存在,請說明理由。解:為中點。證明:取中點,易證:平面∥平面平面。∴∥平面。KEY:存在為線段中點。練習3:如圖,正方體中,為的中點,為上的點,且直線∥平面。則為線段的()A.中點B.三等分點C.四等分點D.五等分點解:連交于點,直線在平面上。由線面平行性質定理得∥。我們將平移出來,先將平移到,再利用中位線平移到。故為四等分點。KEY:C練習4.1(三等分點):如圖,在四棱錐中,∥,。為線段上一點,且∥平面。求的值。解:連交于點,由初中八字形相似得,∴,取為靠近的三等分點,由相似得∥。∴∥平面。KEY:練習4.2:如圖,在四棱錐中,四邊形是平行四邊形。為的中點。側棱上是否存在點,使得平面?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。解:連交于點,由初中八字形相似得,∴,由線面平行的性質定理知,所以。KEY:例2(作平行平面):在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中點,問在棱AB上是否存在一點E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請確定點E的位置;若不存在,請說明理由。解:E為線段AB的中點,取BB1中點F,易證:平面DEF∥平面AB1C1∴DE∥平面AB1C1。KEY:存在E為線段AB的中點。練習1:如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1C的中點。點M在線段A1D上,eq\f(A1M,A1D)=λ。若CM∥平面AEF,則實數λ的值為____________。解:取AD中點N,連,,。容易證明面∥面AEF,故M為與的交點。顯然M為△的重心,2:1。故KEY:練習2:正四棱錐的高為4,底面邊長為4,點E、F、G分別為SD、CD、BC的中點,動點在正四棱錐的表面上運動,并且總保持∥平面,動點的軌跡的周長為()A.B.C.D.解:取線段中點,線段靠近的四等分點。容易證明:平面∥平面,∴在△上運動。即△的周長。KEY:D例3(作垂直平面):正四棱錐的高為2,底面邊長為2,為邊的中點,動點在正四棱錐表面運動,且總保持,則動點的軌跡的周長為。解:記中點為,中點為,易證平面,∴的軌跡的周長即△的周長。KEY:練習1:在棱長為的正方體中,,分別是,的中點,點在正方體的表面上運動,則總能使與垂直的點所構成的軌跡的周長為。解:取中點,中點,則容易證明平面,將平面抬升使其經過點,則抬升后的平面與正方體的截口曲線與矩形的周長相等,故點的軌跡即矩形的周長。KEY:平行的證明例1(移入平面平行四邊形法):,是的中點,且。證明:平面。證明:方法一:取中點,連接。易證平行四邊形。方法二(構造平面):取AB中點E,BC中點F。連接EF,先正,Q,E,F四點共面,再證面∥面。證畢。練習1.1:如圖,已知四棱錐,,,為的中點。證明:平面。證明:取中點,易證。用平行四邊形法將線移進去了。證畢。練習1.2:如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,為的中點,為的中點,求證:平面。證明:取中點,易證。用平行四邊形法將線移進去了。證畢。練習1.4:已知四棱錐的底面是平行四邊形,,分別是,的中點。求證:直線平面。證明:取中點,易證。證畢。練習1.5(24年全國高考甲卷理科第3道大題第1小題):如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,四邊形ABCD為梯形,,,,為的中點。證明:平面。證明:因為平行等于,所以四邊形是平行四邊形。所以。所以平面。證畢。練習1.6:如圖,在平行四邊形ABCD中。E為線段AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE,F為線段A’C的中點。求證:BF∥平面A’DE。證明:取中點,則,∴四邊形為平行四邊形。∴。∴BF∥平面A’DE。證畢。練習1.7:如圖,四棱錐中,,且,為的中點,求證:平面。證明:方法一(線面平行):取中點,則,∴四邊形是平行四邊形。故∴。∴平面。方法二(面面平行):證畢。練習1.8:如圖,在四面體中,是的中點,是的中點。點在線段上,且。證明:平面。證明:方法一(線面平行):取中點,且是中點,所以;取的四等分點,使,且,所以,∴,∴四邊形為平行四邊形。∴。∴平面。方法二(面面平行):證畢。練習1.9:如圖是一個正三棱柱和三棱錐的組合體,其中平面,,。求證:平面。證明:方法一(幾何法):取線段的中點,連,。∵,(正三棱柱)。∴四邊形是平行四邊形。∴。∴平面。方法二(向量法):證畢。練習2:如圖,DC平面ABC,EB∥DC,EB=2DC=2,ACB=120°,P,Q分別為AE,AB的中點。證明:PQ∥平面ACD。證明:由中位線知PQ∥平面ACD。證畢。練習3.1:在正方體中,點在上,點在上,且,求證:平面。證明:過作交于點,過作交于點,連。因為,所以,故,又,所以四邊形是平行四邊形。故,所以平面。證畢。練習3.2:在正方體ABCD-A’B’C’D’中,點E在A’B上,點F在B’D’上,且BE=B’F,求證EF∥平面BCC’B’。證明:過F作FM⊥B’C’交B’C’于M,過E作EN⊥BB’交BB’于N,就將EF移入平面,使用了方法一中的平行四邊形法。證畢。練習4:如圖,四棱臺中,底面是邊長為的正方形,平面ABCD,。證明:平面。證明:方法一(幾何法):取中點,由四棱臺知:四邊形是平行四邊形,故。所以平面。方法二(向量法):證畢。練習5:如圖所示,在三棱柱中與四棱錐的組合體中,四邊形是平行四邊形,是線段的中點,求證:平面。證明:取中點,易證,∴四邊形是平行四邊形。∴。∴平面。證畢。練習6.1(小題):已知三棱柱中,,分別為,的中點,,分別為,的中點。則直線與直線、平面的位置關系分別為()A.平行、平行B.異面、平行C.平行、相交D.異面、相交解:①直線與平面相交于點,直線平面,但直線不過點,故直線與直線異面。②記中點為,容易證明,∴平面。KEY:B練習6.2(24年9月四川學考第14道單選題):如圖,在四面體中,,,分別是線段,,的中點,則下列結論中一定正確的是()A.平面B.平面C.平面D.平面KEY:C例2(線面平行性質定理逆運用):已知斜三棱柱中,中點為。求證:直線∥平面。證明:連接交的中點為,則為對應的中位線。證畢。練習1.1(中位線,):如圖,在四棱錐中,,分別為,的中點。證明:平面。證明:∵。∴平面。證畢。練習1.2:在正方體中,,分別是分別為,的中點,求證:平面。證明:方法一(平行四邊形法):取中點,中點,容易證明。方法二(中位線法):連,。由中位線知。證畢。練習1.3(改編):如圖,已知四棱錐的底面為平行四邊形,為棱的中點,求證:∥平面。證明:連接交于點,易證。證畢。練習1.4:如圖,在三棱柱中,為棱的中點,求證:平面。證明:連接交于點,由中位線知。所以平面。證畢。練習1.5:已知三棱柱,為棱的中點,求證:平面。證明:連接交于點,則。證畢。練習1.6(原創):已知三棱柱,為中點,求證:平面。證明:取中點,∵平行四邊形,∴為的中點。在△中是中位線。∴。∴平面。證畢。練習1.7(25年3月成都二模第2道大題第1小題改編):如圖,在四棱錐中,底面是正方形,是的中點。求證:平面。證明:連交與,由中位線知。所以平面。證畢。練習2.1(相似,21年杭州二模第2道大題第1小題):如圖,在四棱錐中,,,,點,分別在線段和上,且。求證:平面。證明:連交于點。由八字形相似知△∽△。所以。故。所以。故平面。證畢。練習2.2:如圖,三棱錐中,,,,分別為,,,的中點,證明:平面。證明:方法一:取中點,則①,②。由①②得:平面平面。∴平面。方法二:取中點。方法三:連與線段交于點,由重心的性質知,而,故。所以平面。證畢。練習2.3(角平分線第二性質定理,略難):如圖,△是直角三角形,,,角的角平分線交于點,分別交,于點,,現沿將△翻折,形成三棱錐,為的中點。求證:平面。(方法二簡單)證明:方法一:記,∴,一眼看出,。而,∴,。∴,,。∴。∴。∴平面。方法二(角平分線第二性質定理):∵是角的角平分線,,而容易計算得。∴。∴。∴平面。證畢。例3(面面平行):已知m,n,l1,l2表示直線,α,β表示平面。若m?α,n?α,l1?β,l2?β,l1∩l2=M,則α∥β的一個充分條件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2KEY:D練習1:如圖,矩形和梯形,,求證:平面。證明:,。∴平面∥平面。∴平面。證畢。練習2:如圖,在三棱柱中,,分別為棱,的中點,求證:平面平面。證明:①,②。由①②得平面平面。證畢。練習3:如圖,四面體中,為線段的中點,為線段的中點,在線段上,。求證:∥平面。證明:取中點,連,。由中位線知∥。∥。∴平面∥平面。∴∥平面。證畢。練習4(22年全國高考2卷第4道大題第1小題):如圖,PO是三棱錐P?ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點。證明:OE//平面PAC。證明:記線段的中點為,由兩次勾股定理得,故,又,故①;又②。由①②得平面平面。故平面。證畢。練習5:如圖,在四棱錐中,,分別是,的中點,,求證:平面。證明:,,故平面平面。∴平面。證畢。練習6.1(邊長搞事情):在四棱錐中,,,若點為的中點,求證:平面。證明:取中點,由中位線知①,由△是等邊三角形知,,又在△中易知。所以。故②。由①②得:平面平面。故平面。證畢。練習7.1:如圖,在三棱錐中,點、、分別是棱、、的中點,是線段的中點。求證:直線∥平面。證明:取中點,連、。由中位線知∥①,∥∥②。由①②得平面∥平面。∴直線∥平面。證畢。練習7.2:如圖,四棱錐中,分別為的中點,。求證:平面。證明:取中點,連,。由中位線知∥①,∥②。由①②得:平面∥平面。∴平面。證畢。練習8:如圖,四棱錐中,底面是梯形,。,分別是,的中點。求證:平面。證明:取中點,由中位線可證明:平面平面。∴平面。證畢。練習9.1:如圖,在三棱柱中,為的中點,證明:平面。證明:方法一(中位線):連交于點,連,在△中,是中位線,故∥。∴平面。方法二(構造平面法):取中點,連,。容易證明平面平面。故平面。證畢。練習9.2(21年杭州一模第3道大題第1小題):在三棱錐中,點,分別是線段,的中點,點在線段上,且。求證:平面。證明:方法一(作平面):取中點,則,。∴平面平面。∴平面。方法二(移入平面):連與交于點,由重心的性質得,又,故。所以平面。證畢。練習10:在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,,為的中點,平面,。求證:平面平面。證明:∵菱形,,為的中點。∴①。又∵平面,∴②。由①②得平面③。∵,。∴平面④。由③④得平面平面。證畢。垂直的證明例1:已知多面體中,,,,M為PB中點。求證:。證明:取中點,∵∥∥,∴,,,四點共面。(三線合一);,∴平面。∴。證畢。練習2.1(線面垂直線線垂直):如圖,在三棱錐A-BCD中,△ABD,△BCD均為正三角形,求證:AC⊥BD。證明:取中點,則,。所以平面,故。證畢。練習2.2如圖,四棱錐,四邊形是邊長為的菱形,,△是等邊三角形。求證:。證明:取線段中點,連,。則,。∴平面。∴。證畢。練習2.3:在正方體中,,分別是分別為,的中點,求證:。證明:取中點,可證明平面。所以。故。證畢。練習2.4(20年紹興一模第2道大題第1小題):如圖,四棱錐中,底面是正方形,。求證:。證明:只需證明平面即可。證畢。練習2.5(原創):如圖,四邊形為矩形,,求證:。證明:只需證明平面即可。證畢。練習2.6:如圖,在三棱錐中,,為的中點,⊥平面,垂足落在線段上。證明:⊥。證明:①;②。由①②得平面。∴⊥。證畢。練習2.7:如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,,。求證:。證明:取棱中點。易證四邊形是矩形,故①。由等邊三角形知②。由①②得:平面。故。證畢。練習2.8(勾股定理):如圖,四棱錐的底面是矩形,側面是正三角形,,,,是棱中點,求證:。證明:由勾股定理得,又,故平面。所以①。由三線合一知②。由①②得平面。所以。證畢。練習2.9:如圖,在多面體中,∥,∥,,,。若為中點,求證:。證明:①,②。由①②得平面。∴。證畢。練習2.10:如圖,在七面體中,四邊形是菱形,其中,△是等邊三角形,且,證明:。證明:取中點,設,,由已知容易證明。故①,又,故②,由①②得平面,故③。由△是等邊三角形三線合一知④。由③④得平面。故。所以。證畢。練習2.11(21年浙江高考第2道大題第1小題):如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,,。為的中點,。證明:。證明:由,,得。由①;②得平面。故平面。所以。證畢。練習2.12(原創):已知在四棱錐中,為中點。記平面與平面的交線為。求證:直線。證明:因為平面,所以,又因為,所以平面,故。證畢。練習2.13(與線面平行結合,24年全國高考1卷第3道大題第1小題):如圖,四棱錐中,底面,,,。若,證明:平面。證明:由勾股定理知。又底面,故①;又②。所以平面。故。又因為平面,所以。故平面。證畢。練習3.1(邏輯分析):如圖,在四棱錐中,四邊形的邊長均相等,,證明:。證明:由菱形得①,又②。由①②得平面。證畢。練習3.2:如圖,在三棱錐中,,,△是等邊三角形,點是邊上靠近的三等分點。求證:。證明:取中點,連,。∵,,,所以①。由三線合一知②。由①②得平面。所以。證畢。練習3.3(25年3月成都二模第2道大題第2小題):如圖,正方形所在的平面,,為的中點,于點,求證:平面。證明:∵,(面)。∴平面。∴①,②。由①②得平面。證畢。(如有需要,請聯系文檔作者微信號:2539542373)練習4.1(兩次線面垂直):如圖,在直三棱柱中,,,求證:平面。證明:方法一(幾何法):因為,,所以平面,所以①。又因為正方形,所以②。由①②得平面。方法二(向量法):證畢。練習4.2(隔空垂直):已知三棱柱,在底面上的射影恰為的中點,,。求證:平面。證明:因為平面,所以,又因為,故平面。所以①,又因為②。故平面。證畢。練習5:如圖,在四棱錐中,平面,,。求證:平面。證明:∵,。∴,都在線段的中垂線上。由兩點確定一條直線得就是線段的中垂線。∴①;∵平面,∴②。由①②得平面。證畢。練習6:如圖,在三棱柱中,,在底面的射影為的中點,為的中點。證明:平面。證明:取中點,去證⊥平面即可。證畢。練習7.1(勾股定理):如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側棱,。求證:平面。證明:利用兩次勾股定理得,。所以平面。證畢。練習7.2:如圖,三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形,側棱,,,設點,分別為,的中點,求證:平面。證明:由等腰三角形三線合一得①。由勾股定理的逆定理得②。由①②得平面。證畢。練習7.3:如圖,在三棱錐中,,,,,為中點,求證:平面。證明:連,顯然①(三線合一)。容易計算得:,,,由勾股定理逆定理得:②。由①②得平面。證畢。練習7.4(略難):如圖,在三棱錐P-ABC中,G是棱PA的中點,PC⊥AC,且PB=AB=AC=BC=2,PC=1。求證:直線BG⊥平面PAC。(方法一簡單)證明:方法一(勾股定理):連,∵是棱PA的中點,PB=AB,∴①;,,。由勾股定理逆定理得②。由①②得:直線BG⊥平面PAC。方法二:取中點,由中位線知,由三線合一得。∴平面,∴①,②。由①②得:直線BG⊥平面PAC。證畢。練習7.5:如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2。證明:平面。證明:方法一(勾股定理):容易求得,由勾股定理逆定理知①;容易求得,。∴由勾股定理逆定理知②。由①②得平面。方法二(向量法):在線段中點建系,為軸,為軸,豎起來為軸。,,,。可求得。證畢。練習7.6:在三棱錐中,,,,為棱的中點,。證明:。(由簡到難:方法一、三、二)證明:方法一(平移):取中點,連,。。由勾股定理得,。由勾股定理逆定理得:。方法二(線面垂直):過作交于。則由相似三角形得:,。在△中使用余弦定理得,在△中對使用余弦定理計算得。∴。∴,又∵。∴面,∴。方法三(向量法):以為原點,為軸,為軸,豎起來為軸。∵,∴的橫坐標為。∵,∴的縱坐標為。設,。∴。而,,。,。∴。證畢。練習7.7:如圖,在直角三角形中,,,是平面外一點,且,求證:平面平面。證明:取中點,連,。。。∴。由勾股定理逆定理得①。又由三線合一得②。由①②得,平面。∴平面平面。證畢。練習7.8(略難):如圖,在四棱錐中,四邊形的邊長均為,△是等邊三角形,。點為棱的中點,,證明:平面。證明:連。由菱形得①,②。由①②得平面。又,∴平面,∴③,∴在△中可求得:。在△中求得,∵,在△中由勾股定理的逆定理得④。由③④得平面。證畢。練習7.9(有等腰三角形必用三線合一):如圖,已知四棱錐中,底面是矩形,,,。求證:平面平面。證明:如圖,記,的中點為,。連接,,。容易求得,。由勾股定理的逆定理得:,。∴平面。∴平面平面。證畢。練習7.10(略難):如圖,三棱柱中,,,,,證明:平面平面。證明:取中點,連,。設,則,∵,∴。∵,,∴平面,∴①。由三線合一知。∴△是等邊三角形。∴。由勾股定理得②。由①②得平面,∴平面平面。證畢。練習8.1(面面垂直):如圖,在四棱錐中,底面是矩形,。證明:平面平面。證明:,。∴平面。∴平面平面。證畢。練習8.2:如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側棱,。(1)求證:平面平面;(2)平面平面。證明:(1)利用兩次勾股定理得,。所以平面。故①,②。由①②得平面。故平面平面;(2)因為③,④。由③④得平面。故平面平面。證畢。練習8.3:在四棱錐中,底面是菱形,,是的中點,底面。求證:平面平面。證明:因為底面是菱形,,是的中點,所以①,又因為②。由①②得平面。故平面平面。證畢。練習8.4(直角梯形):在四棱錐中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD。證明:平面PAB⊥平面PBD。證明:∵∠BAD=∠BDA=45°,∴AB⊥DB,易證DB⊥面PAB。證畢。練習8.5(直角梯形):在四棱錐中,平面,,∥,,為棱上一點。證明:平面平面。證明:∵平面,∴①。由底面梯形邊長之間的關系容易證明②。由①②得平面。∴平面平面。證畢。練習8.6(直角梯形):如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,BC=2AD=2AB。AB⊥平面BEC,EC⊥CB,證明:BD⊥平面DEC。證明:∵BD⊥CD,BD⊥CE。故垂直面DEC。證畢。練習8.7(20年臺州二模第2道大題第1小題):如圖,△與等邊△所在的平面互相垂直,,為線段的中點,。求證:平面平面。證明:∵平面平面,。∴平面,∴①。又∵等邊△,為線段的中點,∴②。由①②得平面,∴平面平面。證畢。練習8.8:如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為平行四邊形,,,,垂足為。求證:平面平面。證明:方法一:∵,,,∴。又∵,∴平面。∴①,又∵②,由①②得平面。∴平面平面。方法二:只需證明平面。證畢。練習8.9:如圖,在平行六面體中,,,四邊形為矩形。求證:平面平面。證明:,①,四邊形為矩形得②。由①②得平面。∴平面平面。證畢。練習8.10(隔空垂直):在三棱柱中,∠BAC=90°,BC1⊥AC。證明:點C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上。證明:∠BAC=90°,BC1⊥AC平面。所以平面平面。所以點C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上。證畢。練習8.11(隔空垂直,勾股定理):如圖,在三棱柱中,,,,,求證:平面平面。證明:設,取中點,連,。因為,,所以平面。所以①。計算得,。因為。在直角三角形中,容易求得。所以。由勾股定理得:②。由①②得平面。所以平面平面。證畢。練習9.1(三棱臺):如圖,在三棱臺中,,,求證:。證明:取中點,中點,∵三棱臺,,∴四邊形是等腰梯形,∴①,再由三線合一得②。由①②得平面(∵∥,∴四點共面),∴。證畢。練習9.2:如圖,在三棱臺中,已知平面平面,,,,求證:平面。證明:∵四邊形為等腰梯形,取中點,易證:。∴①。又由面面垂直得AC⊥面BCFE,∴AC⊥BF②,由①②得平面。證畢。練習10.1(梯形):四棱錐PABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB⊥平面ADP,且AB=AD=PD=2CD,E為PB中點。證明:CE⊥平面ABP。證明:取中點,易證∥,由三線合一得①。∵AB⊥平面ADP,∴②。故由①②得平面。∴CE⊥平面ABP。證畢。練習10.2:如圖,在四棱錐中,,,,,點在棱上,且,平面。求證:平面。證明:連,由初中知識求得,∴,又∵,∴平面。∴①;又∵平面,②。∴平面。證畢。練習10.3:如圖,已知直角梯形和正方形,,∥,⊥,點是線段的中點,求證:⊥平面。證明:通過直角梯形的邊長關系容易證明AC⊥BC,且,由三線合一知CH⊥AE①;又容易證明BC⊥面ACE,∴BC⊥CH,∴CH⊥BC,∴CH⊥EF②。由①②得⊥平面。證畢。練習10.4(略難):如圖,在四棱錐中,平面,,,為邊的中點,與交于點。求證:平面。證明:在梯形中,容易證明,又因為平面所以。故平面,所以①。設,則在梯形中,容易求得,又因為,在△中,容易求得,故由三線合一得②。由①②得平面。證畢。練習11.1(改編):如圖,在三棱錐中,,。為中點,求證:平面。證明:AE⊥CD①,,,由勾股定理逆定理得AE⊥BE②。故由①②得AE⊥面BCD。證畢。練習11.2:如圖,在三棱錐中,,。求證:。證明:取中點,連,,由全等容易證明,再由三線合一容易證明:,。∴平面。∴。證畢。練習14.1(菱形):如圖,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長均為1,A1C1⊥B1C。求證:。證明:由菱形對角線垂直得。又因為,故平面,所以①。又②,由①②得平面。所以。證畢。練習14.2:如圖,在平行六面體中,,。求證:直線平面。證明:方法一(基底法):以向量,,為基底,則,,。,。故直線平面。方法二(幾何法):容易證明四邊形是菱形,故①。四邊形是菱形,故②。由①②得平面。方法三(建系法,四心):記線段與的交點為,以為軸,為軸,豎起來為軸建系。因為正四面體,故在底面上的射影為△的中心。即可求出的坐標了。(也可以根據三個邊長暴力計算)。證畢。(由易到難:方法二,一,三)練習14.3(改編):如圖,三棱柱ABC—A1B1C1所有的棱長均為2,,。求證:平面⊥平面;(2)求證:∠;(3)求證:平面⊥平面。證明:(1)∵,,平面,∴平面⊥平面。(2)方法一:在△中使用勾股定理可求得。在菱形內使用勾股定理可求得另一條對角線。在菱形內使用勾股定理可求得另一條對角線。在△中使用勾股定理的逆定理得∠。方法二:由第1小題知平面,故①;由菱形知②。由①②得平面。故,故。(3)取中點,則,由,得面①。在△中使用勾股定理得。在△中使用勾股定理逆定理得②。由①②得面,故平面⊥平面。證畢。練習14.4(21年浙江高考第6題):如圖已知正方體,M,N分別是,的中點,則()A.直線與直線垂直,直線平面B.直線與直線平行,直線平面C.直線與直線相交,直線平面D.直線與直線異面,直線平面解:容易證明平面。故。故選A。KEY:A例2(全等與相似):練習1.1(改編):如圖,在側棱垂直底面的四棱柱中,,,是的中點,是的中點,平面與直線的交點。,,證明:平面。證明:△∽△①;∵,棱錐垂直底面,∴平面。∴②。由①②得:平面。證畢。練習1.2:如圖,在側棱垂直底面的四棱柱中,,,是的中點。是平面與直線的交點。,,證明:平面。證明:①,②(柱體)。由①②得:平面平面。∴。∴是的中點。△∽△①;∵,棱錐垂直底面,∴平面。∴②。由①②得:平面。證畢。練習2:如圖,在三棱錐中,,,求證:。證明:過作①交于點,連,由△≌△得②。由①②得平面,∴。證畢。練習3:如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CD,AB=BD。證明:平面ACD⊥平面ABC。證明:取AC中點F,連BF。由△ABD≌△BCD得AD=CD。故DF⊥AC①;∵等腰直角△ACD得DF=AF,故△ABF≌△DFB,故∠DFB=∠AFB=90°。故DF⊥BF②。由①②得DF⊥面ABC。∴平面ACD⊥平面ABC。證畢。練習4:如圖,在三棱柱中,底面△是正三角形,。求證:四邊形是矩形。證明:方法一:∵,∴點在底面的射影在的角平分線上。記線段中點為,故,。∴平面,∴四邊形是矩形。方法二:由全等知△≌△,∴,。∴平面。證畢。練習5(難):如圖,在四棱錐中,,,,,平面,是線段靠近的三等分點。求證:平面。證明:在直角梯形中,容易求出,∴△是等邊三角形,∴。∴,而容易證明,∴①。又,,∴△≌△。故,∴②。由①②得平面。證畢。例3(有等腰三角形必用三線合一):如圖,已知三棱錐,△和△都是等邊三角形。求證:。證明:取邊的中點,連,。由等腰三角形三線合一知:,,所以平面,所以。證畢。練習1:如圖,已知四棱錐P–ABCD,,∥,且,。求證:平面⊥平面。證明:取CD中點E,BE⊥CD,易證四邊形ABED為矩形,易證CD⊥面PAD,故平面⊥平面。證畢。練習2:如圖,在三棱錐中,,,為中點,求證:。證明:取中點,連。由中位線與三線合一容易證明:平面,∴。證畢。練習3:如圖,在三棱柱中,各棱長均相等,且,求證:平面平面。證明:方法一:連交于點,連。由兩次三線合一得,。∴平面。∴平面平面。方法二:(菱形),(三線合一)。∴平面。∴平面平面。證畢。例4(難算):如圖,已知圓錐OO1和圓柱O1O2的組合體(它們的底面重合),圓錐的底面圓O1半徑為r=5,OA為圓錐的母線,AB為圓柱O1O2的母線,D,E為下底面圓O2上的兩點,且O2在∠BDE內,DE=6,AB=6。4,AO=5eq\r(2),AO⊥AD。求證:平面ABD⊥平面ODE。證明:。∴。點D位置固定,圓內等于8的弦BD只有兩條,一條使∠BDE為直角,一條使∠BDE為銳角。由于圓心位于∠BDE內,故BD⊥DE①;DE⊥AB②;由①②得DE⊥面ABD。∴面ABD⊥面ODE。證畢。例5:已知四面體中,,。求證:。證明:過A作平面交平面于點。容易證明,。∴為底面三角形的垂心。∴①,又。由①②得面。∴。證畢。性質定理的應用例1(平行):已知過正方體對角線的平面分別與棱,相交于,兩點,求證:四邊形是平行四邊形。證明:用兩遍面面平行的性質定理即可。證畢。練習1.1:如圖,已知四棱錐,平面。求證:。證明:∵平面。,,,四點共面。∴。證畢。練習1.2:如圖,在四棱柱中,,是棱上一點。是平面與直線的交點。證明:。證明:①,②(柱體)。由①②得:平面平面。∴。證畢。練習2.1:如圖,為平行四邊形所在平面外一點,平面與平面的交線為直線,求證:∥。證明:∵∥,∴∥平面。∴∥。練習2.2:如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形。設平面與平面的交線為,求證:。證明:因為,所以側面。又因為側面與的交線為,所以。證畢。練習3.1:如圖,在四棱錐中,底面是正方形,平面,證明:是的中點。證明:如圖,連接交于點O,連接,因為是正方形,所以O是的中點,又平面,平面,平面平面,所以,因為O為的中點,所以E是的中點。證畢。練習3.2(原創):如圖,在四棱錐中,四邊形為梯形,,。點是棱上一點,平面。求證:點是棱的中點。證明:過作交于點。則①,∴,,,四點共面。又∵平面,∴②。由①②得:四邊形是平行四邊形。∴。∴點是棱的中點。證畢。練習3.3(改編):如圖,在四棱錐中,,,點在棱上,平面。求證:是棱的中點。證明:過作交于點。∴①,∴,,,四點共面。又平面,∴②。由①②得:四邊形是平行四邊形。∴。∴點是棱的中點。證畢。練習4(略難):已知平面與平面交于直線,直線,,求證:。證明:過直線作兩個平面。用三遍線面平行的性質定理即可。證畢。練習5.1:如圖,在四面體中,,,,點,,,分別在棱,,,上,若直線,都平行于平面,(1)證明:四邊形是矩形;(2)求四邊形面積的最大值。解:(1)證明:∵,都平行于平面,∴∥GH∥EF,CD∥FH∥GF。∴。取AB中點O,連接CO,DO。由三線合一定理得AB⊥CO,AB⊥DO,∴AB⊥平面OCD,∴AB⊥CD,∴是矩形。(2)設BG=x,由相似得∴(也可利用“四面體截面性質”直接得是中點)KEY:(1)見解析(2)1。練習5.2:在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=8,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于點D,E,F,H。直線SB∥平面DEFH,直線AC∥平面DEFH。(1)求證:四邊形DEFH是矩形。(2)求四邊形DEFH面積的最大值。KEY:(1)同練習3。1;(2)12練習5.3:在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分別與AB,BC,SC,SA交于點D,E,F,H。D,E分別是AB,BC的中點,如果直線SB∥平面DEFH,那么四邊形DEFH的面積為________。KEY:eq\f(45,2)練習6.1:已知平面α與平面β交于直線,A,C是平面α內不同兩點,B,D是平面β內不同的兩點,且A,B,C,D不在直線上,M,N分別是線段AB,CD的中點。且,求證:A,B,C,D四點共面。證明:連AN并延長交β于O,∵MN∥l,∴MN∥β∴MN∥BO∴AN=ON∴△NAC≌NDO∴∠NAC=∠NOD∴AC∥OD∴AC∥β∴AC∥l,∴AC∥MN,∴A,B,C,D四點共面。證畢。練習6.2:如圖,已知異面直線,都平行于平面,且,位于的兩側。若,分別交于點,,求證:。證明:連交于點。連、。則∵∥,∴∥。∴①。又∵∥,∴∥,∴②。由①②得。證畢。練習6.3:如圖,∥∥,直線與分別交,,于點,,和點,,,求證:。證明:平移直線至分別交,,于點,,。則直線與共面。由面面平行的性質定理知∥。∴。證畢。練習7:如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側棱長均為,點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH。(1)證明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積。解:(1)∵BC∥面GEHF∴BC∥EF,BC∥GH。∴GH∥EF連BD交EF于Q,連AC交BD于O,連PO,GQ。∵四條側棱長均相等,由等腰三角形三線合一定理知PO⊥AC,PO⊥BD,故PO⊥面ABCD。又∵面GEFH⊥面ABCD,∴PO∥面GEFH∴PO∥GQ。由八字形相似知BQ:DQ=1:3。∴BQ=OQ∴GQ是△BOP的中位線。∴GH=4,EF=8,GQ=3。KEY:(1)證明見解析;(2)18練習8:如圖,四棱錐中,,為線段的中點,直線與平面交于點,求證:為線段的中點。解:∵,∴平面,由線面平行性質定理得,由公理4得,∴是線段的中點。證畢。練習9:平面過正方體的頂點,平面//平面,平面平面,平面平面,則、所成角的正弦值為_________________。解:記平面與平面的交線為。由面面垂直性質定理得∥,再由面面平行的性質定理得∥。∴∥。記平面與平面的交線為,由面面平行的性質定理得∥,再由面面平行性質定理得∥。∴∥。即求與的夾角正弦值。KEY:例2(面面垂直):如圖,在三棱柱中,平面ABC,平面平面。求證:。證明:過A作AD⊥交于點。由面面垂直得AD⊥面,∴BC⊥AD,BC,∴BC⊥面。證畢。練習1.1(簡單):如圖,平面⊥平面,,證明:⊥平面。證明:由面面垂直的性質定理得:⊥平面。證畢。練習1.2(21年全國高考1卷第4道大題第1小題):如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點。證明:。證明:由三線合一得:,由面面垂直的性質定理得:平面,所以。證畢。練習2:如圖,在四棱錐中,平面平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,。證明:平面。證明:在直角梯形中,由,得,,由,則,即,又平面平面,從而平面,所以,又,從而平面。證畢。練習3(邏輯分析):如圖,已知三棱柱,平面平面,,。,分別是棱,的中點。求證:。證明:,又平面平面。∴平面①,②。由①②得平面。證畢。練習4:如圖,已知三棱錐,,∠,是的中點,平面⊥平面,求證:⊥平面。證明:由等腰三角形三線合一與面面垂直性質定理知⊥面。∴⊥①,又⊥②,由①②得:⊥平面。證畢。練習5:如圖,在四面體中,平面⊥平面,∠,△為等邊三角形,求證:⊥平面。證明:取中點,連,則,又∵平面⊥平面,∴平面,∴①,又∵②。由①②得⊥平面。證畢。練習6:如圖,已知平面,平面平面,求證:。證明:∵平面,∴①。過作交于點。∵平面平面,∴平面,∴。②。由①②得平面,∴。證畢。練習7:如圖,在多面體EF-ABCD中,∥∥,。。平面DCEF⊥平面ABCD。
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