TOC\o"13"\h\u立體幾何1 1動直線 1平行的證明 3垂直的證明 11性質定理的應用 26有等腰三角形必用三線合一 34文檔檢索使用方法：WPS打開本文檔后，點擊右上角“章節導航”，再點擊左上角“目錄”。即可開啟強大的知識點分類檢索功能。本文檔筆者十年持續更新，每一知識點題作者都親自做過。覆蓋所有新高考內容所需，可在WPS打開文檔后點擊查詢“平行的證明”等字樣快速檢索到高考所需題型。是高中數學教師教學必備神器，是高中學生實現快速進步的高中數學統計題型寶典。本專輯每年更新一次，持續更新。如需高考數學教師備課學生備考分類試題庫（2025年版）專輯中的其它文檔，歡迎進入專輯。立體幾何1動直線例1（線面平行性質定理的逆運用）：練習1.1：（改編）：如圖，在空間幾何體ADE－BCF中，四邊形CDEF是平行四邊形，M是線段AE上的動點。線段AE上是否存在一點M，使得AC∥平面MDF。若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由。解：M為線段AE的中點，連接EC使用中位線法。KEY：存在M為線段AE的中點。練習1.2：如圖，在四棱錐P—ABCD中，設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由。KEY：存在F為線段PB的中點。練習1.3：如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D1為A1C1上的點。當eq\f(A1D1,D1C1)_________時，BC1∥平面AB1D1。解：D1為線段A1C1的中點，連接A1B使用中位線法。KEY：1練習2.1（原創）：如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，。在棱上是否存在一點，使得平面。若存在，請確定的位置，并給出證明。若不存在，請說明理由。解：為中點。證明：當為中點時，過作交于點。易證，∴四邊形是平行四邊形?！啵嗥矫?。KEY：存在為中點。練習2.2（原創）：如圖，在四棱錐中，為棱的中點，∥。在棱上是否存在一點，使得∥平面。若存在，請確定的位置，并給出證明。若不存在，請說明理由。解：為中點。證明：取中點，易證：平面∥平面平面。∴∥平面。KEY：存在為線段中點。練習3：如圖，正方體中，為的中點，為上的點，且直線∥平面。則為線段的（）A.中點B.三等分點C.四等分點D.五等分點解：連交于點，直線在平面上。由線面平行性質定理得∥。我們將平移出來，先將平移到，再利用中位線平移到。故為四等分點。KEY：C練習4.1（三等分點）：如圖，在四棱錐中，∥，。為線段上一點，且∥平面。求的值。解：連交于點，由初中八字形相似得，∴，取為靠近的三等分點，由相似得∥?！唷纹矫?。KEY：練習4.2：如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形。為的中點。側棱上是否存在點，使得平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。解：連交于點，由初中八字形相似得，∴，由線面平行的性質定理知，所以。KEY：例2（作平行平面）：在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由。解：E為線段AB的中點，取BB1中點F，易證：平面DEF∥平面AB1C1∴DE∥平面AB1C1。KEY：存在E為線段AB的中點。練習1：如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BC，A1C的中點。點M在線段A1D上，eq\f(A1M,A1D)＝λ。若CM∥平面AEF，則實數λ的值為____________。解：取AD中點N，連，，。容易證明面∥面AEF，故M為與的交點。顯然M為△的重心，2:1。故KEY：練習2：正四棱錐的高為4，底面邊長為4，點E、F、G分別為SD、CD、BC的中點，動點在正四棱錐的表面上運動，并且總保持∥平面，動點的軌跡的周長為（）A．B．C．D．解：取線段中點，線段靠近的四等分點。容易證明：平面∥平面，∴在△上運動。即△的周長。KEY：D例3（作垂直平面）：正四棱錐的高為2，底面邊長為2，為邊的中點，動點在正四棱錐表面運動，且總保持，則動點的軌跡的周長為。解：記中點為，中點為，易證平面，∴的軌跡的周長即△的周長。KEY：練習1：在棱長為的正方體中，，分別是，的中點，點在正方體的表面上運動，則總能使與垂直的點所構成的軌跡的周長為。解：取中點，中點，則容易證明平面，將平面抬升使其經過點，則抬升后的平面與正方體的截口曲線與矩形的周長相等，故點的軌跡即矩形的周長。KEY：平行的證明例1（移入平面平行四邊形法）：，是的中點，且。證明：平面。證明：方法一：取中點，連接。易證平行四邊形。方法二（構造平面）：取AB中點E，BC中點F。連接EF，先正,Q,E,F四點共面，再證面∥面。證畢。練習1.1：如圖，已知四棱錐，，，為的中點。證明：平面。證明：取中點，易證。用平行四邊形法將線移進去了。證畢。練習1.2：如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，為的中點，求證：平面。證明：取中點，易證。用平行四邊形法將線移進去了。證畢。練習1.4：已知四棱錐的底面是平行四邊形，，分別是，的中點。求證：直線平面。證明：取中點，易證。證畢。練習1.5（24年全國高考甲卷理科第3道大題第1小題）：如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，四邊形ABCD為梯形，，，，為的中點。證明：平面。證明：因為平行等于，所以四邊形是平行四邊形。所以。所以平面。證畢。練習1.6：如圖，在平行四邊形ABCD中。E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE，F為線段A’C的中點。求證：BF∥平面A’DE。證明：取中點，則，∴四邊形為平行四邊形。∴?！郆F∥平面A’DE。證畢。練習1.7：如圖，四棱錐中，，且，為的中點，求證：平面。證明：方法一（線面平行）：取中點，則，∴四邊形是平行四邊形。故∴?！嗥矫?。方法二（面面平行）：證畢。練習1.8：如圖，在四面體中，是的中點，是的中點。點在線段上，且。證明：平面。證明：方法一（線面平行）：取中點，且是中點，所以；取的四等分點，使，且，所以，∴，∴四邊形為平行四邊形?！??！嗥矫?。方法二（面面平行）：證畢。練習1.9：如圖是一個正三棱柱和三棱錐的組合體，其中平面，，。求證：平面。證明：方法一（幾何法）：取線段的中點，連，?！撸ㄕ庵！嗨倪呅问瞧叫兴倪呅??！唷！嗥矫?。方法二（向量法）：證畢。練習2：如圖，DC平面ABC，EB∥DC，EB=2DC=2,ACB=120°，P,Q分別為AE，AB的中點。證明：PQ∥平面ACD。證明：由中位線知PQ∥平面ACD。證畢。練習3.1：在正方體中，點在上，點在上，且，求證：平面。證明：過作交于點，過作交于點，連。因為，所以，故，又，所以四邊形是平行四邊形。故，所以平面。證畢。練習3.2：在正方體ABCD－A’B’C’D’中，點E在A’B上，點F在B’D’上，且BE=B’F，求證EF∥平面BCC’B’。證明：過F作FM⊥B’C’交B’C’于M，過E作EN⊥BB’交BB’于N，就將EF移入平面，使用了方法一中的平行四邊形法。證畢。練習4：如圖，四棱臺中，底面是邊長為的正方形，平面ABCD，。證明：平面。證明：方法一（幾何法）：取中點，由四棱臺知：四邊形是平行四邊形，故。所以平面。方法二（向量法）：證畢。練習5：如圖所示，在三棱柱中與四棱錐的組合體中，四邊形是平行四邊形，是線段的中點，求證：平面。證明：取中點，易證，∴四邊形是平行四邊形。∴?！嗥矫?。證畢。練習6.1（小題）：已知三棱柱中，，分別為，的中點，，分別為，的中點。則直線與直線、平面的位置關系分別為（）A.平行、平行B.異面、平行C.平行、相交D.異面、相交解：①直線與平面相交于點，直線平面，但直線不過點，故直線與直線異面。②記中點為，容易證明，∴平面。KEY：B練習6.2（24年9月四川學考第14道單選題）：如圖，在四面體中，，，分別是線段，，的中點，則下列結論中一定正確的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面KEY：C例2（線面平行性質定理逆運用）：已知斜三棱柱中，中點為。求證：直線∥平面。證明：連接交的中點為，則為對應的中位線。證畢。練習1.1（中位線，）：如圖，在四棱錐中，，分別為，的中點。證明：平面。證明：∵。∴平面。證畢。練習1.2：在正方體中，，分別是分別為，的中點，求證：平面。證明：方法一（平行四邊形法）：取中點，中點，容易證明。方法二（中位線法）：連，。由中位線知。證畢。練習1.3（改編）：如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，為棱的中點，求證：∥平面。證明：連接交于點，易證。證畢。練習1.4：如圖，在三棱柱中，為棱的中點，求證：平面。證明：連接交于點，由中位線知。所以平面。證畢。練習1.5：已知三棱柱，為棱的中點，求證：平面。證明：連接交于點，則。證畢。練習1.6（原創）：已知三棱柱，為中點，求證：平面。證明：取中點，∵平行四邊形，∴為的中點。在△中是中位線?！?。∴平面。證畢。練習1.7（25年3月成都二模第2道大題第1小題改編）：如圖，在四棱錐中，底面是正方形，是的中點。求證：平面。證明：連交與，由中位線知。所以平面。證畢。練習2.1（相似，21年杭州二模第2道大題第1小題）：如圖，在四棱錐中，，，，點，分別在線段和上，且。求證：平面。證明：連交于點。由八字形相似知△∽△。所以。故。所以。故平面。證畢。練習2.2：如圖，三棱錐中，，，，分別為，，，的中點，證明：平面。證明：方法一：取中點，則①，②。由①②得：平面平面?！嗥矫?。方法二：取中點。方法三：連與線段交于點，由重心的性質知，而，故。所以平面。證畢。練習2.3（角平分線第二性質定理，略難）：如圖，△是直角三角形，，，角的角平分線交于點，分別交，于點，，現沿將△翻折，形成三棱錐，為的中點。求證：平面。（方法二簡單）證明：方法一：記，∴，一眼看出，。而，∴，。∴，，?！??！?。∴平面。方法二（角平分線第二性質定理）：∵是角的角平分線，，而容易計算得。∴。∴。∴平面。證畢。例3（面面平行）：已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面。若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2KEY：D練習1：如圖，矩形和梯形，，求證：平面。證明：，?！嗥矫妗纹矫??！嗥矫?。證畢。練習2：如圖，在三棱柱中，，分別為棱，的中點，求證：平面平面。證明：①，②。由①②得平面平面。證畢。練習3：如圖，四面體中，為線段的中點，為線段的中點，在線段上，。求證：∥平面。證明：取中點，連，。由中位線知∥?！巍！嗥矫妗纹矫??！唷纹矫?。證畢。練習4（22年全國高考2卷第4道大題第1小題）：如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點。證明：OE//平面PAC。證明：記線段的中點為，由兩次勾股定理得，故，又，故①；又②。由①②得平面平面。故平面。證畢。練習5：如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點，，求證：平面。證明：，，故平面平面。∴平面。證畢。練習6.1（邊長搞事情）：在四棱錐中，，，若點為的中點，求證：平面。證明：取中點，由中位線知①，由△是等邊三角形知，，又在△中易知。所以。故②。由①②得：平面平面。故平面。證畢。練習7.1：如圖，在三棱錐中，點、、分別是棱、、的中點，是線段的中點。求證：直線∥平面。證明：取中點，連、。由中位線知∥①，∥∥②。由①②得平面∥平面。∴直線∥平面。證畢。練習7.2：如圖，四棱錐中，分別為的中點，。求證：平面。證明：取中點，連，。由中位線知∥①，∥②。由①②得：平面∥平面。∴平面。證畢。練習8：如圖，四棱錐中，底面是梯形，。，分別是，的中點。求證：平面。證明：取中點，由中位線可證明：平面平面?！嗥矫?。證畢。練習9.1：如圖，在三棱柱中，為的中點，證明：平面。證明：方法一（中位線）：連交于點，連，在△中，是中位線，故∥。∴平面。方法二（構造平面法）：取中點，連，。容易證明平面平面。故平面。證畢。練習9.2（21年杭州一模第3道大題第1小題）：在三棱錐中，點，分別是線段，的中點，點在線段上，且。求證：平面。證明：方法一（作平面）：取中點，則，?！嗥矫嫫矫??！嗥矫?。方法二（移入平面）：連與交于點，由重心的性質得，又，故。所以平面。證畢。練習10：在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，為的中點，平面，。求證：平面平面。證明：∵菱形，，為的中點。∴①。又∵平面，∴②。由①②得平面③。∵，。∴平面④。由③④得平面平面。證畢。垂直的證明例1：已知多面體中，，，，M為PB中點。求證：。證明：取中點，∵∥∥，∴，，，四點共面。（三線合一）；,∴平面。∴。證畢。練習2.1（線面垂直線線垂直）：如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD，△BCD均為正三角形，求證：AC⊥BD。證明：取中點，則，。所以平面，故。證畢。練習2.2如圖，四棱錐，四邊形是邊長為的菱形，，△是等邊三角形。求證：。證明：取線段中點，連，。則，?！嗥矫??！?。證畢。練習2.3：在正方體中，，分別是分別為，的中點，求證：。證明：取中點，可證明平面。所以。故。證畢。練習2.4（20年紹興一模第2道大題第1小題）：如圖，四棱錐中，底面是正方形，。求證：。證明：只需證明平面即可。證畢。練習2.5（原創）：如圖，四邊形為矩形，，求證：。證明：只需證明平面即可。證畢。練習2.6：如圖，在三棱錐中，，為的中點，⊥平面，垂足落在線段上。證明：⊥。證明：①；②。由①②得平面?！唷汀ＷC畢。練習2.7：如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，，。求證：。證明：取棱中點。易證四邊形是矩形，故①。由等邊三角形知②。由①②得：平面。故。證畢。練習2.8（勾股定理）：如圖，四棱錐的底面是矩形，側面是正三角形，，，，是棱中點，求證：。證明：由勾股定理得，又，故平面。所以①。由三線合一知②。由①②得平面。所以。證畢。練習2.9：如圖，在多面體中，∥，∥，，，。若為中點，求證：。證明：①，②。由①②得平面?！?。證畢。練習2.10：如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，△是等邊三角形，且，證明：。證明：取中點，設，，由已知容易證明。故①，又，故②，由①②得平面，故③。由△是等邊三角形三線合一知④。由③④得平面。故。所以。證畢。練習2.11（21年浙江高考第2道大題第1小題）：如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，。為的中點，。證明：。證明：由，，得。由①；②得平面。故平面。所以。證畢。練習2.12（原創）：已知在四棱錐中，為中點。記平面與平面的交線為。求證：直線。證明：因為平面，所以，又因為，所以平面，故。證畢。練習2.13（與線面平行結合，24年全國高考1卷第3道大題第1小題）：如圖，四棱錐中，底面，，，。若，證明：平面。證明：由勾股定理知。又底面，故①；又②。所以平面。故。又因為平面，所以。故平面。證畢。練習3.1（邏輯分析）：如圖，在四棱錐中，四邊形的邊長均相等，，證明：。證明：由菱形得①，又②。由①②得平面。證畢。練習3.2：如圖，在三棱錐中，，，△是等邊三角形，點是邊上靠近的三等分點。求證：。證明：取中點，連，。∵，，，所以①。由三線合一知②。由①②得平面。所以。證畢。練習3.3（25年3月成都二模第2道大題第2小題）：如圖，正方形所在的平面，，為的中點，于點，求證：平面。證明：∵，（面）?！嗥矫??！啖?，②。由①②得平面。證畢。（如有需要，請聯系文檔作者微信號：2539542373）練習4.1（兩次線面垂直）：如圖，在直三棱柱中，，，求證：平面。證明：方法一（幾何法）：因為，，所以平面，所以①。又因為正方形，所以②。由①②得平面。方法二（向量法）：證畢。練習4.2（隔空垂直）：已知三棱柱，在底面上的射影恰為的中點，，。求證：平面。證明：因為平面，所以，又因為，故平面。所以①，又因為②。故平面。證畢。練習5：如圖，在四棱錐中，平面，，。求證：平面。證明：∵，。∴，都在線段的中垂線上。由兩點確定一條直線得就是線段的中垂線?！啖?；∵平面，∴②。由①②得平面。證畢。練習6：如圖，在三棱柱中，，在底面的射影為的中點，為的中點。證明：平面。證明：取中點，去證⊥平面即可。證畢。練習7.1（勾股定理）：如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側棱，。求證：平面。證明：利用兩次勾股定理得，。所以平面。證畢。練習7.2：如圖，三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，側棱，，，設點，分別為，的中點，求證：平面。證明：由等腰三角形三線合一得①。由勾股定理的逆定理得②。由①②得平面。證畢。練習7.3：如圖，在三棱錐中，，，，，為中點，求證：平面。證明：連，顯然①（三線合一）。容易計算得：，，，由勾股定理逆定理得：②。由①②得平面。證畢。練習7.4（略難）：如圖，在三棱錐P－ABC中，G是棱PA的中點，PC⊥AC，且PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC＝1。求證：直線BG⊥平面PAC。（方法一簡單）證明：方法一（勾股定理）：連，∵是棱PA的中點，PB＝AB，∴①；，，。由勾股定理逆定理得②。由①②得：直線BG⊥平面PAC。方法二：取中點，由中位線知，由三線合一得?！嗥矫?，∴①，②。由①②得：直線BG⊥平面PAC。證畢。練習7.5：如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2。證明：平面。證明：方法一（勾股定理）：容易求得，由勾股定理逆定理知①；容易求得，?！嘤晒垂啥ɡ砟娑ɡ碇凇Ｓ散佗诘闷矫?。方法二（向量法）：在線段中點建系，為軸，為軸，豎起來為軸。，，，?？汕蟮谩ＷC畢。練習7.6：在三棱錐中，，，，為棱的中點，。證明：。（由簡到難：方法一、三、二）證明：方法一（平移）：取中點，連，。。由勾股定理得，。由勾股定理逆定理得：。方法二（線面垂直）：過作交于。則由相似三角形得：，。在△中使用余弦定理得，在△中對使用余弦定理計算得。∴?！?，又∵。∴面，∴。方法三（向量法）：以為原點，為軸，為軸，豎起來為軸。∵，∴的橫坐標為。∵，∴的縱坐標為。設，。∴。而，，。，?！唷ＷC畢。練習7.7：如圖，在直角三角形中，，，是平面外一點，且，求證：平面平面。證明：取中點，連，。。?！唷Ｓ晒垂啥ɡ砟娑ɡ淼芒?。又由三線合一得②。由①②得，平面?！嗥矫嫫矫?。證畢。練習7.8（略難）：如圖，在四棱錐中，四邊形的邊長均為，△是等邊三角形，。點為棱的中點，，證明：平面。證明：連。由菱形得①，②。由①②得平面。又，∴平面，∴③，∴在△中可求得：。在△中求得，∵，在△中由勾股定理的逆定理得④。由③④得平面。證畢。練習7.9（有等腰三角形必用三線合一）：如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，。求證：平面平面。證明：如圖，記，的中點為，。連接，，。容易求得，。由勾股定理的逆定理得：，?！嗥矫?。∴平面平面。證畢。練習7.10（略難）：如圖，三棱柱中，，，，，證明：平面平面。證明：取中點，連，。設，則，∵，∴?！撸?，∴平面，∴①。由三線合一知。∴△是等邊三角形?！?。由勾股定理得②。由①②得平面，∴平面平面。證畢。練習8.1（面面垂直）：如圖，在四棱錐中，底面是矩形，。證明：平面平面。證明：，?！嗥矫?。∴平面平面。證畢。練習8.2：如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側棱，。（1）求證：平面平面；（2）平面平面。證明：（1）利用兩次勾股定理得，。所以平面。故①，②。由①②得平面。故平面平面；（2）因為③，④。由③④得平面。故平面平面。證畢。練習8.3：在四棱錐中，底面是菱形，，是的中點，底面。求證：平面平面。證明：因為底面是菱形，，是的中點，所以①，又因為②。由①②得平面。故平面平面。證畢。練習8.4（直角梯形）：在四棱錐中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD。證明：平面PAB⊥平面PBD。證明：∵∠BAD=∠BDA=45°，∴AB⊥DB，易證DB⊥面PAB。證畢。練習8.5（直角梯形）：在四棱錐中，平面，，∥，，為棱上一點。證明：平面平面。證明：∵平面，∴①。由底面梯形邊長之間的關系容易證明②。由①②得平面。∴平面平面。證畢。練習8.6（直角梯形）：如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB。AB⊥平面BEC，EC⊥CB，證明：BD⊥平面DEC。證明：∵BD⊥CD，BD⊥CE。故垂直面DEC。證畢。練習8.7（20年臺州二模第2道大題第1小題）：如圖，△與等邊△所在的平面互相垂直，，為線段的中點，。求證：平面平面。證明：∵平面平面，?！嗥矫?，∴①。又∵等邊△，為線段的中點，∴②。由①②得平面，∴平面平面。證畢。練習8.8：如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，，，，垂足為。求證：平面平面。證明：方法一：∵，，，∴。又∵，∴平面?！啖?，又∵②，由①②得平面?！嗥矫嫫矫妗７椒ǘ褐恍枳C明平面。證畢。練習8.9：如圖，在平行六面體中，，，四邊形為矩形。求證：平面平面。證明：，①，四邊形為矩形得②。由①②得平面。∴平面平面。證畢。練習8.10（隔空垂直）：在三棱柱中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC。證明：點C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上。證明：∠BAC＝90°，BC1⊥AC平面。所以平面平面。所以點C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上。證畢。練習8.11（隔空垂直，勾股定理）：如圖，在三棱柱中，，，，，求證：平面平面。證明：設，取中點，連，。因為，，所以平面。所以①。計算得，。因為。在直角三角形中，容易求得。所以。由勾股定理得：②。由①②得平面。所以平面平面。證畢。練習9.1（三棱臺）：如圖，在三棱臺中，，，求證：。證明：取中點，中點，∵三棱臺，，∴四邊形是等腰梯形，∴①，再由三線合一得②。由①②得平面（∵∥，∴四點共面），∴。證畢。練習9.2：如圖，在三棱臺中，已知平面平面，，，，求證：平面。證明：∵四邊形為等腰梯形，取中點，易證：?！啖佟Ｓ钟擅婷娲怪钡肁C⊥面BCFE，∴AC⊥BF②，由①②得平面。證畢。練習10.1（梯形）：四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥平面ADP，且AB＝AD＝PD＝2CD，E為PB中點。證明：CE⊥平面ABP。證明：取中點，易證∥，由三線合一得①?！逜B⊥平面ADP，∴②。故由①②得平面?！郈E⊥平面ABP。證畢。練習10.2：如圖，在四棱錐中，，，，，點在棱上，且，平面。求證：平面。證明：連，由初中知識求得，∴，又∵，∴平面。∴①；又∵平面，②?！嗥矫妗ＷC畢。練習10.3：如圖，已知直角梯形和正方形，，∥，⊥，點是線段的中點，求證：⊥平面。證明：通過直角梯形的邊長關系容易證明AC⊥BC，且，由三線合一知CH⊥AE①；又容易證明BC⊥面ACE，∴BC⊥CH，∴CH⊥BC，∴CH⊥EF②。由①②得⊥平面。證畢。練習10.4（略難）：如圖，在四棱錐中，平面，，，為邊的中點，與交于點。求證：平面。證明：在梯形中，容易證明，又因為平面所以。故平面，所以①。設,則在梯形中，容易求得，又因為，在△中，容易求得，故由三線合一得②。由①②得平面。證畢。練習11.1（改編）：如圖，在三棱錐中，，。為中點，求證：平面。證明：AE⊥CD①，，，由勾股定理逆定理得AE⊥BE②。故由①②得AE⊥面BCD。證畢。練習11.2：如圖，在三棱錐中，，。求證：。證明：取中點，連，，由全等容易證明，再由三線合一容易證明：，。∴平面?！唷ＷC畢。練習14.1（菱形）：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長均為1，A1C1⊥B1C。求證：。證明：由菱形對角線垂直得。又因為，故平面，所以①。又②，由①②得平面。所以。證畢。練習14.2：如圖，在平行六面體中，，。求證：直線平面。證明：方法一（基底法）：以向量，，為基底，則，，。，。故直線平面。方法二（幾何法）：容易證明四邊形是菱形，故①。四邊形是菱形，故②。由①②得平面。方法三（建系法，四心）：記線段與的交點為，以為軸，為軸，豎起來為軸建系。因為正四面體，故在底面上的射影為△的中心。即可求出的坐標了。（也可以根據三個邊長暴力計算）。證畢。（由易到難：方法二，一，三）練習14.3（改編）：如圖，三棱柱ABC—A1B1C1所有的棱長均為2，，。求證：平面⊥平面；（2）求證：∠；（3）求證：平面⊥平面。證明：（1）∵，，平面，∴平面⊥平面。（2）方法一：在△中使用勾股定理可求得。在菱形內使用勾股定理可求得另一條對角線。在菱形內使用勾股定理可求得另一條對角線。在△中使用勾股定理的逆定理得∠。方法二：由第1小題知平面，故①；由菱形知②。由①②得平面。故，故。（3）取中點，則，由，得面①。在△中使用勾股定理得。在△中使用勾股定理逆定理得②。由①②得面，故平面⊥平面。證畢。練習14.4（21年浙江高考第6題）：如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A.直線與直線垂直，直線平面B.直線與直線平行，直線平面C.直線與直線相交，直線平面D.直線與直線異面，直線平面解：容易證明平面。故。故選A。KEY：A例2（全等與相似）：練習1.1（改編）：如圖，在側棱垂直底面的四棱柱中，，，是的中點，是的中點，平面與直線的交點。，，證明：平面。證明：△∽△①；∵，棱錐垂直底面，∴平面?！啖?。由①②得：平面。證畢。練習1.2：如圖，在側棱垂直底面的四棱柱中，，，是的中點。是平面與直線的交點。，，證明：平面。證明：①，②（柱體）。由①②得：平面平面。∴?！嗍堑闹悬c?！鳌住鳍?；∵，棱錐垂直底面，∴平面?！啖?。由①②得：平面。證畢。練習2：如圖，在三棱錐中，，，求證：。證明：過作①交于點，連，由△≌△得②。由①②得平面，∴。證畢。練習3：如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CD，AB＝BD。證明：平面ACD⊥平面ABC。證明：取AC中點F，連BF。由△ABD≌△BCD得AD=CD。故DF⊥AC①；∵等腰直角△ACD得DF=AF，故△ABF≌△DFB，故∠DFB=∠AFB=90°。故DF⊥BF②。由①②得DF⊥面ABC。∴平面ACD⊥平面ABC。證畢。練習4：如圖，在三棱柱中，底面△是正三角形，。求證：四邊形是矩形。證明：方法一：∵，∴點在底面的射影在的角平分線上。記線段中點為，故，?！嗥矫妫嗨倪呅问蔷匦巍７椒ǘ河扇戎鳌铡?，∴，。∴平面。證畢。練習5（難）：如圖，在四棱錐中，，，，，平面，是線段靠近的三等分點。求證：平面。證明：在直角梯形中，容易求出，∴△是等邊三角形，∴?！啵菀鬃C明，∴①。又，，∴△≌△。故，∴②。由①②得平面。證畢。例3（有等腰三角形必用三線合一）：如圖，已知三棱錐，△和△都是等邊三角形。求證：。證明：取邊的中點，連，。由等腰三角形三線合一知：，，所以平面，所以。證畢。練習1：如圖，已知四棱錐P–ABCD，，∥，且，。求證：平面⊥平面。證明：取CD中點E，BE⊥CD，易證四邊形ABED為矩形，易證CD⊥面PAD，故平面⊥平面。證畢。練習2：如圖，在三棱錐中，，，為中點，求證：。證明：取中點，連。由中位線與三線合一容易證明：平面，∴。證畢。練習3：如圖，在三棱柱中，各棱長均相等，且，求證：平面平面。證明：方法一：連交于點，連。由兩次三線合一得，。∴平面?！嗥矫嫫矫妗７椒ǘ海庑危ㄈ€合一）。∴平面?！嗥矫嫫矫妗ＷC畢。例4（難算）：如圖，已知圓錐OO1和圓柱O1O2的組合體(它們的底面重合)，圓錐的底面圓O1半徑為r＝5，OA為圓錐的母線，AB為圓柱O1O2的母線，D，E為下底面圓O2上的兩點，且O2在∠BDE內，DE＝6，AB＝6。4，AO＝5eq\r(2)，AO⊥AD。求證：平面ABD⊥平面ODE。證明：?！?。點D位置固定，圓內等于8的弦BD只有兩條，一條使∠BDE為直角，一條使∠BDE為銳角。由于圓心位于∠BDE內，故BD⊥DE①；DE⊥AB②；由①②得DE⊥面ABD。∴面ABD⊥面ODE。證畢。例5：已知四面體中，，。求證：。證明：過A作平面交平面于點。容易證明，。∴為底面三角形的垂心?！啖?，又。由①②得面。∴。證畢。性質定理的應用例1（平行）：已知過正方體對角線的平面分別與棱，相交于，兩點，求證：四邊形是平行四邊形。證明：用兩遍面面平行的性質定理即可。證畢。練習1.1：如圖，已知四棱錐，平面。求證：。證明：∵平面。，，，四點共面?！?。證畢。練習1.2：如圖，在四棱柱中，，是棱上一點。是平面與直線的交點。證明：。證明：①，②（柱體）。由①②得：平面平面?！?。證畢。練習2.1：如圖，為平行四邊形所在平面外一點，平面與平面的交線為直線，求證：∥。證明：∵∥，∴∥平面?！唷?。練習2.2：如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形。設平面與平面的交線為，求證：。證明：因為，所以側面。又因為側面與的交線為，所以。證畢。練習3.1：如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，證明：是的中點。證明：如圖，連接交于點O，連接，因為是正方形，所以O是的中點，又平面，平面，平面平面，所以，因為O為的中點，所以E是的中點。證畢。練習3.2（原創）：如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，。點是棱上一點，平面。求證：點是棱的中點。證明：過作交于點。則①，∴，，，四點共面。又∵平面，∴②。由①②得：四邊形是平行四邊形?！唷！帱c是棱的中點。證畢。練習3.3（改編）：如圖，在四棱錐中，，，點在棱上，平面。求證：是棱的中點。證明：過作交于點?！啖?，∴，，，四點共面。又平面，∴②。由①②得：四邊形是平行四邊形?！?。∴點是棱的中點。證畢。練習4（略難）：已知平面與平面交于直線，直線，，求證：。證明：過直線作兩個平面。用三遍線面平行的性質定理即可。證畢。練習5.1：如圖，在四面體中，，，，點，，，分別在棱，，，上，若直線，都平行于平面，（1）證明：四邊形是矩形；（2）求四邊形面積的最大值。解：（1）證明：∵，都平行于平面，∴∥GH∥EF，CD∥FH∥GF?！唷ＨB中點O，連接CO，DO。由三線合一定理得AB⊥CO，AB⊥DO，∴AB⊥平面OCD，∴AB⊥CD，∴是矩形。（2）設BG=x，由相似得∴（也可利用“四面體截面性質”直接得是中點）KEY：（1）見解析（2）1。練習5.2：在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝8，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H。直線SB∥平面DEFH，直線AC∥平面DEFH。（1）求證：四邊形DEFH是矩形。（2）求四邊形DEFH面積的最大值。KEY：（1）同練習3。1；（2）12練習5.3：在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H。D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________。KEY：eq\f(45,2)練習6.1：已知平面α與平面β交于直線，A，C是平面α內不同兩點，B，D是平面β內不同的兩點，且A,B,C,D不在直線上，M，N分別是線段AB，CD的中點。且，求證：A，B，C，D四點共面。證明：連AN并延長交β于O，∵MN∥l，∴MN∥β∴MN∥BO∴AN=ON∴△NAC≌NDO∴∠NAC=∠NOD∴AC∥OD∴AC∥β∴AC∥l，∴AC∥MN，∴A，B，C，D四點共面。證畢。練習6.2：如圖，已知異面直線，都平行于平面，且，位于的兩側。若，分別交于點，，求證：。證明：連交于點。連、。則∵∥，∴∥?！啖?。又∵∥，∴∥，∴②。由①②得。證畢。練習6.3：如圖，∥∥，直線與分別交，，于點，，和點，，，求證：。證明：平移直線至分別交，，于點，，。則直線與共面。由面面平行的性質定理知∥?！唷ＷC畢。練習7：如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側棱長均為，點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH。(1)證明：GH∥EF；（2）若EB=2，求四邊形GEFH的面積。解：（1）∵BC∥面GEHF∴BC∥EF，BC∥GH?！郍H∥EF連BD交EF于Q，連AC交BD于O，連PO,GQ。∵四條側棱長均相等，由等腰三角形三線合一定理知PO⊥AC，PO⊥BD，故PO⊥面ABCD。又∵面GEFH⊥面ABCD，∴PO∥面GEFH∴PO∥GQ。由八字形相似知BQ:DQ=1:3?！郆Q=OQ∴GQ是△BOP的中位線。∴GH=4，EF=8，GQ=3。KEY：（1）證明見解析；（2）18練習8：如圖，四棱錐中，，為線段的中點，直線與平面交于點，求證：為線段的中點。解：∵，∴平面，由線面平行性質定理得，由公理4得，∴是線段的中點。證畢。練習9：平面過正方體的頂點，平面//平面，平面平面，平面平面，則、所成角的正弦值為_________________。解：記平面與平面的交線為。由面面垂直性質定理得∥，再由面面平行的性質定理得∥?！唷巍Ｓ浧矫媾c平面的交線為，由面面平行的性質定理得∥，再由面面平行性質定理得∥?！唷?。即求與的夾角正弦值。KEY：例2（面面垂直）：如圖，在三棱柱中，平面ABC，平面平面。求證：。證明：過A作AD⊥交于點。由面面垂直得AD⊥面，∴BC⊥AD，BC，∴BC⊥面。證畢。練習1.1（簡單）：如圖，平面⊥平面，，證明：⊥平面。證明：由面面垂直的性質定理得：⊥平面。證畢。練習1.2（21年全國高考1卷第4道大題第1小題）：如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點。證明：。證明：由三線合一得：，由面面垂直的性質定理得：平面，所以。證畢。練習2：如圖，在四棱錐中，平面平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，。證明：平面。證明：在直角梯形中，由，得，，由，則，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面。證畢。練習3（邏輯分析）：如圖，已知三棱柱，平面平面，，。，分別是棱，的中點。求證：。證明：，又平面平面。∴平面①，②。由①②得平面。證畢。練習4：如圖，已知三棱錐，，∠，是的中點，平面⊥平面，求證：⊥平面。證明：由等腰三角形三線合一與面面垂直性質定理知⊥面?！唷廷?，又⊥②，由①②得：⊥平面。證畢。練習5：如圖，在四面體中，平面⊥平面，∠，△為等邊三角形，求證：⊥平面。證明：取中點，連，則，又∵平面⊥平面，∴平面，∴①，又∵②。由①②得⊥平面。證畢。練習6：如圖，已知平面，平面平面，求證：。證明：∵平面，∴①。過作交于點?！咂矫嫫矫?，∴平面，∴。②。由①②得平面，∴。證畢。練習7：如圖，在多面體EF－ABCD中，∥∥，。。平面DCEF⊥平面ABCD。