江蘇省溧水區2024-2025學年初三下學期第二次月考-數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖1、2、3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖，已知甲的路線為：A→C→B；乙的路線為：A→D→E→F→B，其中E為AB的中點；丙的路線為：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符號[→]表示[直線前進]，則根據圖1、圖2、圖3的數據，判斷三人行進路線長度的大小關系為（）A．甲=乙=丙 B．甲＜乙＜丙 C．乙＜丙＜甲 D．丙＜乙＜甲2．若直線y=kx+b圖象如圖所示，則直線y=?bx+k的圖象大致是()A． B． C． D．3．估計的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間4．如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得△DBE，點C的對應點E恰好落在AB延長線上，連接AD．下列結論一定正確的是（）A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC5．計算的結果等于()A．-5 B．5 C． D．6．在方格紙中，選擇標有序號①②③④中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成中心對稱圖形．該小正方形的序號是（）A．① B．② C．③ D．④7．下列各式屬于最簡二次根式的有（）A． B． C． D．8．如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在長方形直尺的一組對邊上，如果∠1=30°，那么∠2的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．下列說法錯誤的是（）A．必然事件的概率為1B．數據1、2、2、3的平均數是2C．數據5、2、﹣3、0的極差是8D．如果某種游戲活動的中獎率為40%，那么參加這種活動10次必有4次中獎10．已知不透明的袋中只裝有黑、白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有30個，黑球有n個．隨機地從袋中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經過如此大量重復試驗，發現摸出的黑球的頻率穩定在0.4附近，則n的值約為（）A．20 B．30 C．40 D．5011．如圖，在射線OA，OB上分別截取OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1，B1B上分別截取B1A2=B1B2，連接A2B2，…按此規律作下去，若∠A1B1O=α，則∠A10B10O=（）A． B． C． D．12．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數量比第一個月多440輛．設該公司第二、三兩個月投放單車數量的月平均增長率為x，則所列方程正確的為（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．求1+2+22+23+…+22007的值，可令s=1+2+22+23+…+22007，則2s=2+22+23+24+…+22018，因此2s﹣s=22018﹣1，即s=22018﹣1，仿照以上推理，計算出1+3+32+33+…+32018的值為_____．14．如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D＝40°，則∠OAC＝____度．15．已知a2+1=3a，則代數式a+的值為．16．某校九年級（1）班40名同學中，14歲的有1人，15歲的有21人，16歲的有16人，17歲的有2人，則這個班同學年齡的中位數是___歲．17．如圖，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分線分別交AB、BC于D、E，則△ACD的周長為cm．18．已知點P（a，b）在反比例函數y=的圖象上，則ab=_____．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）計算下列各題：（1）tan45°?sin60°?cos30°；（2）sin230°+sin45°?tan30°．20．（6分）如圖，AD、BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求證：△ACB≌△BDA；若∠ABC＝36°，求∠CAO度數．21．（6分）我市某學校在“行讀石鼓閣”研學活動中，參觀了我市中華石鼓園，石鼓閣是寶雞城市新地標．建筑面積7200平方米，為我國西北第一高閣．秦漢高臺門闕的建筑風格，追求穩定之中的飛揚靈動，深厚之中的巧妙組合，使景觀功能和標志功能融為一體．小亮想知道石鼓閣的高是多少，他和同學李梅對石鼓閣進行測量．測量方案如下：如圖，李梅在小亮和“石鼓閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線BM上的對應位置為點C，鏡子不動，李梅看著鏡面上的標記，她來回走動，走到點D時，看到“石鼓閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標記重合，這時，測得李梅眼睛與地面的高度ED=1.6米，CD=2.2米，然后，在陽光下，小亮從D點沿DM方向走了29.4米，此時“石鼓閣”影子與小亮的影子頂端恰好重合，測得小亮身高1.7米，影長FH=3.4米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據題中提供的相關信息，求出“石鼓閣”的高AB的長度．22．（8分）如圖，已知AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA=OB．求證：OC=OD．23．（8分）先化簡再求值：÷（﹣1），其中x＝．24．（10分）如圖，四邊形ABCD內接于圓，對角線AC與BD相交于點E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求證：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD．25．（10分）為落實“垃圾分類”，環衛部門要求垃圾要按A,B,C三類分別裝袋,投放，其中A類指廢電池,過期藥品等有毒垃圾，B類指剩余食品等廚余垃圾，C類指塑料,廢紙等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了兩袋垃圾，這兩袋垃圾不同類．直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率；求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率．26．（12分）解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x27．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，DE交AC于點E，且∠A＝∠ADE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的長．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、A【解析】分析：由角的度數可以知道2、3中的兩個三角形的對應邊都是平行的，所以圖2，圖3中的三角形都和圖1中的三角形相似．而且圖2三角形全等，圖3三角形相似．詳解：根據以上分析：所以圖2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．∵AE=BE=AB，∴AD=EF=AC，DE=BE=BC，∴甲=乙．圖3與圖1中，三個三角形相似，所以====．∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故選A．點睛：本題考查了的知識點是平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是利用相似三角形的平移，求得線段的關系．2、A【解析】

根據一次函數y=kx+b的圖象可知k＞1，b＜1，再根據k，b的取值范圍確定一次函數y=?bx+k圖象在坐標平面內的位置關系，即可判斷．【詳解】解：∵一次函數y=kx+b的圖象可知k＞1，b＜1，

∴-b＞1，∴一次函數y=?bx+k的圖象過一、二、三象限，與y軸的正半軸相交，故選：A．本題考查了一次函數的圖象與系數的關系．函數值y隨x的增大而減小?k＜1；函數值y隨x的增大而增大?k＞1；一次函數y=kx+b圖象與y軸的正半軸相交?b＞1，一次函數y=kx+b圖象與y軸的負半軸相交?b＜1，一次函數y=kx+b圖象過原點?b=1．3、D【解析】

尋找小于26的最大平方數和大于26的最小平方數即可.【詳解】解：小于26的最大平方數為25，大于26的最小平方數為36，故，即：，故選擇D.本題考查了二次根式的相關定義.4、C【解析】根據旋轉的性質得，∠ABD＝∠CBE=60°,∠E＝∠C,則△ABD為等邊三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因為∠ABD＝∠CBE=60°，則∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故選C.5、A【解析】

根據有理數的除法法則計算可得．【詳解】解：15÷（-3）=-（15÷3）=-5，

故選：A．本題主要考查有理數的除法，解題的關鍵是掌握有理數的除法法則：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．6、B【解析】根據中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180度后與原圖重合。因此，通過觀察發現，當涂黑②時，所形成的圖形關于點A中心對稱。故選B。7、B【解析】

先根據二次根式的性質化簡，再根據最簡二次根式的定義判斷即可．【詳解】A選項：，故不是最簡二次根式，故A選項錯誤；B選項：是最簡二次根式，故B選項正確；C選項：，故不是最簡二次根式，故本選項錯誤；D選項：，故不是最簡二次根式，故D選項錯誤；

故選：B．考查了對最簡二次根式的定義的理解，能理解最簡二次根式的定義是解此題的關鍵．8、D【解析】如圖，因為，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因為AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故選D.9、D【解析】試題分析：A．概率值反映了事件發生的機會的大小，必然事件是一定發生的事件，所以概率為1，本項正確；B．數據1、2、2、3的平均數是1+2+2+34C．這些數據的極差為5﹣（﹣3）=8，故本項正確；D．某種游戲活動的中獎率為40%，屬于不確定事件，可能中獎，也可能不中獎，故本說法錯誤，故選D．考點：1.概率的意義；2.算術平均數；3.極差；4.隨機事件10、A【解析】分析：根據白球的頻率穩定在0.4附近得到白球的概率約為0.4,根據白球個數確定出總個數,進而確定出黑球個數n.詳解：根據題意得:,

計算得出:n=20,

故選A.

點睛：根據概率的求法,找準兩點:①全部情況的總數;②符合條件的情況數目;二者的比值就是其發生的概率.11、B【解析】

根據等腰三角形兩底角相等用α表示出∠A2B2O，依此類推即可得到結論．【詳解】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，∴∠A2B2O＝α，同理∠A3B3O＝×α＝α，∠A4B4O＝α，∴∠AnBnO＝α，∴∠A10B10O＝，故選B．本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，圖形的變化規律，依次求出相鄰的兩個角的差，得到分母成2的指數次冪變化，分子不變的規律是解題的關鍵．12、A【解析】

根據題意可以列出相應的一元二次方程，從而可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故選：A．此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系進行列方程.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、【解析】

仿照已知方法求出所求即可．【詳解】令S=1+3+32+33+…+32018，則3S=3+32+33+…+32019，因此3S﹣S=32019﹣1，即S=．故答案為：．本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．14、50【解析】

根據BC是直徑得出∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°，再根據半徑相等所對應的角相等求出∠BAO，在直角三角形BAC中即可求出∠OAC【詳解】∵BC是直徑，∠D＝40°，∴∠B＝∠D＝40°，∠BAC＝90°．∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝40°，∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣40°＝50°．故答案為：50本題考查了圓的基本概念、角的概念及其計算等腰三角形以及三角形的基本概念，熟悉掌握概念是解題的關鍵15、1【解析】

根據題意a2+1=1a，整體代入所求的式子即可求解.【詳解】∵a2+1=1a，∴a+=+===1．故答案為1．16、1．【解析】

根據中位數的定義找出第20和21個數的平均數，即可得出答案．【詳解】解：∵該班有40名同學，∴這個班同學年齡的中位數是第20和21個數的平均數．∵14歲的有1人，1歲的有21人，∴這個班同學年齡的中位數是1歲．此題考查了中位數，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），熟練掌握中位數的定義是本題的關鍵．17、8【解析】試題分析：根據線段垂直平分線的性質得，BD=CD，則AB=AD+CD，所以，△ACD的周長=AD+CD+AC=AB+AC，解答出即可解：∵DE是BC的垂直平分線，∴BD=CD，∴AB=AD+BD=AD+CD，∴△ACD的周長=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；故答案為8考點：線段垂直平分線的性質點評：本題主要考查了線段垂直平分線的性質和三角形的周長，掌握線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等18、2【解析】【分析】接把點P（a，b）代入反比例函數y=即可得出結論．【詳解】∵點P（a，b）在反比例函數y=的圖象上，∴b=，∴ab=2，故答案為：2.【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）；（2）.【解析】

（1）原式=1﹣×=1﹣=；（2）原式=×+×=．本題考查特殊角的三角函數值，熟練掌握每個特殊角的三角函數值是解此題的關鍵.20、（1）證明見解析（2）18°【解析】

（1）根據HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD即可；（2）利用全等三角形的性質及直角三角形兩銳角互余的性質求解即可．【詳解】（1）證明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD＝36°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝54°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝18°．本題考查了全等三角形的判定與性質，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”．21、“石鼓閣”的高AB的長度為56m．【解析】

根據題意得∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，再根據反射定律可知：∠ACB=∠ECD，則△ABC∽△EDC，根據相似三角形的性質可得=，再根據∠AHB=∠GHF，可證△ABH∽△GFH，同理得=，代入數值計算即可得出結論.【詳解】由題意可得：∠ABC=∠EDC=90°，∠ABM=∠GFH=90°，由反射定律可知：∠ACB=∠ECD，則△ABC∽△EDC，∴=，即=①，∵∠AHB=∠GHF，∴△ABH∽△GFH，∴=，即=②，聯立①②，解得：AB=56，答：“石鼓閣”的高AB的長度為56m．本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質.22、證明見解析.【解析】試題分析：首先根據等邊對等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，進而得到∠C=∠D，根據等角對等邊可得CO=DO．試題解析：證明：∵AB∥CD∴∠A＝∠D∠B＝∠C∵OA=OB∴∠A＝∠B∴∠C＝∠D∴OC＝OD考點：等腰三角形的性質與判定，平行線的性質23、【解析】分析：根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．詳解：原式====當時，原式==．點睛：本題考查了分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．24、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用在同圓中所對的弧相等，弦相等，所對的圓周角相等，三角形內角和可證得∠CDF=90°，則CD⊥DF；（2）應先找到BC的一半，證明BC的一半和CD相等即可．【詳解】證明：（1）∵AB=AD，∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．∴∠ADB=（180°﹣∠BAD）÷2=90°﹣∠DFC．∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，∴CD⊥DF．（2）過F作FG⊥BC于點G，∵∠ACB=∠ADB，又∵∠BFC=∠BAD，∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．∴FB=FC．∴FG平分BC，G為BC中點，∵在△FGC和△DFC中，∴△FGC≌△DFC（ASA），∴∴BC=2CD．本題用到的知識點為：同圓中，相等的弧所對的弦相等，所對的圓周角相等，注意把所求角的度數進行合理分割；證兩條線段相等，應證這兩條線段所在的三角形全等．25、（1）（2）．【解析】

（1）根據總共三種，A只有一種可直接求概率；（2）列出其樹狀圖，然后求出能出現的所有可能，及符合條件的可能，根據概率公式求解即可．【詳解】解：(1)甲投放的垃圾恰好是A類的概率是．(2)列出樹狀圖如圖所示：由圖可知，共有18種等可能結果，其中乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的結果有12種．所以，(乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類)．即，乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率是．26