2020中考考點必殺500題

專練13(幾何壓軸大題)(30道)

1.(2019?安徽省中考模擬)已知如圖1,在aABC中，NACB=90°,BC=AC,點D在AB

上，DE_LAB交BC于E,點F是AE的中點

(1)寫出，線段FD與線段FC的關系并證明；

(2)如圖2,將4BDE繞點B逆時針旋轉a(0°<Q<90°),其它條件不變，線段FD與

線段FC的關系是否變化」，寫出你的結論并證明；

(3)將4BDE繞點B逆時針旋轉一周，如果BC=4,BE=2直,直接寫出線段BF的范圍.

圖1圖2

【答案】(1)結論：FD=FC,DFX.CF.理由見解析；(2)結論不變.理由見解析；(3)應

W8*3四.

【解析】

解：(1)結論：FD=FC,DFLCF.

理由：如圖1中，

圖1

:aADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

:.乙FAD=2FDA,乙FAX乙FGA,

：.ZDFE=ZFDA^ZFAD=2ZFAD,EFC=FAC+FCA=2FAC,

■:CA=CB,N428=90°,

AZBAC=45°,

1

DFC=/EFA/EFC=2QNFA肚4FAC^=90°,

：.DF=FC,DFA.FG.

(2)結論不變.

理由：如圖2中，延長47到的使得掰=%延長口到乂使得ZW=〃E連接8伙BM.EM、

AN,延長ME史AN于H,交彳8于0.

,:BCLAM,AC=CM,

：.BA=BM,同法BE=BN,

?：ZABM=/EBN=9G,

J/NBA=4EBM,

:?XAB噲XMBE,

：.AN=EM,：.4BAN=4BME,

、：AF=FE,AC=CM,

11

/.CF=-EM,FC//EM,同法&7=-4V,FD〃AN,

22

：.FD=FC,

?：NBM曰NB0M=9G°,4B0M=/AOH,

:?NBAMNA0H=9C,

???N4/0=9O°,

:.AN工MH,FD1FC.

（3）V2<BF<3V2.

當點￡落在Afi上時，Bb取得最大值，

如圖5所示，?「JBC=4,AC=BC,XACB=90°,AB=4^2,

2

是AE的中點，；.EF=g（AB—BE）,

大BE=2V2,

：.BF=BE+EF=BE+~（AB-BE）=272+1（4拒-2碼=372,

即5尸的最大值為3

當點E落在A3延長線上時，3廠取得長最小值，

如圖6所示，???3C=4,AC=BC,ZACB=90°,.-.AB=4A/2,

,.?/是4石的中點，二4/=；（48+8石），

入BE=2V2,

/.BF=AB-AF=AB-1（AB+BE）=4V2-1（4A/2+2A/2）=A/2,

即3尸的最小值為J5.

圖6

綜上所述，y/2<BF<342-

【點睛】

本題考查等腰直角三角形的性質、旋轉變換、全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中

3

線的性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形

解決問題，屬于中考壓軸題.

2.(2019?山東省中考模擬)正方形ABCD中，E是CD邊上一點，

(1)將AADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到尸，如圖1所示.

觀察可知：與。石相等的線段是,ZAFB=A______.

(2)如圖2,正方形ABC。中，P、Q分別是5C、CD邊上的點，且/PAQ=45。，試

通過旋轉的方式說明：DQ+BP^PQ

(3)在(2)題中，連接BD分別交｛R2WxW4｝于M、N,你還能用旋轉的思想說明

BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)BF,AED;(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

(1)、:△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到aABF,

VDE=BF,NAFB=NAED.

(2)、將aADQ繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合，得到aABE,如圖2,

則ND=NABE=90°,即點E、B、P共線，NEAQ=NBAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,VZPAQ=45°,

：.ZPAE=45°AZPAQ=ZPAE,.?.△APE^AAPQ(SAS),；.PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,；.DQ+BP=PQ；

(3)、：四邊形ABCD為正方形，ZABD=ZADB=45°,

如圖，將AADN繞點A按順時針方向旋轉90°,則AD與AB重合，得到△ABK,

貝INABK=NADN=45°,BK=DN,AK=AN,與(2)一樣可3正明ZkAMN四△AMK,得至|MN=MK,

VZMBA+ZKBA=45°+45°=90°,.?.△BMK為直角三角形，...BK2+BMJMK2,.\BM2+DN2=MN2.

4

考點：（1）、旋轉的性質；（2）、全等三角形的判定與性質；（3）、勾股定理；（4）、正方形的

性質.

3.（2019?內蒙古自治區中考模擬）如圖，內接于四是。。的直徑，能平分N4田

交。0于點D,交48于點F,弦AELCD干熱H,連接CE、OH.

（1）延長AB到圓外一點P,連接PC,若PC=PB?PA,求證:QC是G）0的切線；

（2）求證：CF-AE=AC*BC-,

3

【答案】⑴見解析；⑵見解析；（3）二一，OH工.

2

【解析】

PCPA

⑴證明：:川二陽?PA,；.一二一，

PBPC

：2BPCNAPC,:.XPBG^XPCA,

.：ZBAC=/PCB,連接OC,如圖所示，

:AO=OC,.：ZACO=NBAG,.：ZACO=NPCB.

:S3是＜30的直徑，/90°,

；.NBCO+NACO0O°,

.：NBCO+乙PCB90°,.：NPCO9Q°.

是半徑，./C是00的切線.

5

⑵證明：：工8是。0的直徑，.：N/吩90°.

:CD平分/ACB,；./ACD=/FCB25°.

"/AE1.CD,ZO1E45°-ZFOB.

在/\ACE與叢CFB中,

ZCAENFCB,/AEC=ZFBC,

.：XACEsXCFB,

CFBC

.\GF-AE=AC'BC.

（3）作F肚4c于M,FNLBC于N,CQLAB于Q,延長AE、比交于點K.

:CD平分ZACB,；.FM=FN.

:SXACF=-AC-FM=-AF,GQ,

22

11

SXBCF—BC,FN=—BF,CQ、

22

V-ACFM-CQAF

..△ACF_2

■S1

△BCFLBCFN^CQBF

2

,AFAC

AC

:F8是◎。的直徑，...NACBhO。且tanN/8C=——.

BC

AF3

：,——二一且NAEC=2ABC,

BF2

AC3

.StanNAEC^sxxNABC=---------.

BC2

設AC=3k,BCAk,

丁在RtAACB中，A百二A@+B@且ABB.岳,

,：（3〃）2+（2%）2=（2舊）2,.：〃？々二一2舍去）,

.?.AC4,BCN,

丁“儂N5°,NCHK90。,

6

.：NKN5°-ZCAE,

.\HA=HC=HK,CK=CA=6.

:CBN,；.BK4Y2

,：OA=OB,HA=HK,

.：仍是△48/T的中位線，；.OH=LBKW.

2

【點睛】

此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質、相似三角形的判定和

性質、三角形中位線定理等知識的綜合應用.

4.（2017?營口市老邊區柳樹鎮中學中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB

延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經過點D,且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不

與點A、B重合），另一直角邊與NCBM的平分線BF相交于點F.

（1）如圖1,當點E在AB邊得中點位置時：

①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是;

②連接點E與AD邊的中點N,猜想NE與BF滿足的數量關系是,請證明你的猜想；

（2）如圖2,當點E在AB邊上的任意位置時，猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系，并證

明你的猜想.

【答案】（1）①DE=EF;②NE=BF;理由見解析；（2）DE=EF,理由見解析.

【解析】

解：（1）①DE=EF;②NE=BF;理由如下：

:四邊形ABCD為正方形，

.'.AD=AB,ZDAB=ZABC=90°,

VN,E分別為AD,AB中點，

11

.-.AN=DN=-AD,AE=EB=-AB,

22

.\DN=BE,AN=AE,

7

VZDEF=90°,

???NAED+NFEB=90°,

???NFEB=NADE,

又TAN二AE,

AZANE=ZAEN,

又丁NA二90,

???NANE=45°,

AZDNE=180°-ZANE=135°,

又?.?NCBM=90°,BF平分NCBM,

ZCBF=45°,ZEBF=135°,

ZADE=ZFEB

在aDNE和AEBF中<DN=EB,

ZDNE=ZEBF

AADNE^AEBF(ASA),.'.DE=EF,NE=BF.

(2)DE=EF,理由如下：

在DA邊上截取DN二EB,連接NE,

???四邊形ABCD是正方形，DN二EB,

???AN=AE,

/.AAEN為等腰直角三角形，

???NANE=45°,

AZDNE=180°-45°=135°,

「BF平分NCBM,AN=AE,

AZEBF=900+45°=135°,

AZDNE=ZEBF,

VZNDE+ZDEA=90°,ZBEF+ZDEA=90°,

AZNDE=ZBEF,

ZADE=ZFEB

在aDNE和4EBF中<DN=EB,

ZDNE=ZEBF

8

/.ADNE^AEBF(ASA),

.,.DE=EF,

【點睛】

本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質等，能正確地根據圖1中證明aDNE

與4EBF全等從而得到結論，進而應用到圖2是解題的關鍵.

5.（2019?山東省中考模擬）（1）（問題發現）

如圖1,在RtZVISC中，AB=AC=2,NBAC=9Q°，點〃為8c的中點，以切為一邊作正方

形CDEF,點、E恰好與點、A重合，則線段BE與4尸的數量關系為

（2）（拓展研究）

在（1）的條件下，如果正方形Q仔繞點C旋轉，連接班CE,AF,線段或■與4尸的數量

關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）（問題發現）

【答案】（1）BE=V2AF；（2）無變化；（3）67或有+1.

【解析】

解：（1）在RtZ\ABC中，AB=AC=2,

根據勾股定理得，BC=V2AB=2V2,

點D為BC的中點，.,.AD=yBC=,

:四邊形CDEF是正方形，.\AF=EF=AD=72,

9

VBE=AB=2,.\BE=V2AF,

故答案為BE=V2AF：

(2)無變化；

如圖2,在RtAABC中，AB=AC=2,

/.ZABC=ZACB=45°,/.sinZABC=—=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45°,

2

CF、歷

在RtZiCEF中，sinZFEC=—,

CE2

?CF-CA

"CE-CB;

??ZFCE=ZACB=45°,：.ZFCE-ZACE=ZACB-ZACE,ZFCA=ZECB,

AABECB「f-

.-.△ACF^ABCE,—=—=72,.,.BE=A/2AF,

線段BE與AF的數量關系無變化；

(3)當點E在線段AF上時，如圖2,

由(1)知，CF=EF=CD=V2,

在Rtz^BCF中，CF=V2,60=272,

根據勾股定理得，BF=V6,??.BE=BF-EF=V6-V2,

由(2)知，BE=72AF,.,.AF=V3-1,

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3,

.?.siMABC備?

在RtZkABC中，AB=AC=2,AZABC=ZACB=45°,

在正方形CDEF中，ZFEC=-NFED=45

CF.CF_CA

在Rt2XCEF中，sinZFEC=——

CE2…CE-CB

VZFCE=ZACB=45°,JNFCB+NACB=NFCB+NFCE,AZFCA=ZECB,

10

BECB「r-

.,.A△ACF^AABCE,J——二——=J2,二BE二后AF,

AFCA77

由(1)知，CF=EF=CD二0,

在Rt^BCF中，CF=V2,BC=20,

根據勾股定理得，BF=76,.,.BE=BF+EF=V6+V2,

由(2)知，BE=V2AF,.,.AF=V3+1.

即：當正方形CDEF旋轉到B,E,F三點共線時候，線段AF的長為百-1或3+1.

6.(2019?山東省中考模擬)如圖1,在及AABC中，ZA=90°,AB=AC,點。、E

分別在邊AB、AC上，AD=AE,連結。C,點M、P、N分別為。石、DC、BC

的中點.

(1)觀察猜想圖1中，線段與PN的數量關系是,位置關系是；

(2)探究證明把A4Z)石繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連結MN、BD、CE,

判斷APMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸把A4Z)石繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4,AB=10,請直接寫出

APMN面積的最大值.

【答案】(1)PM=PN,PMLPN;(2)A/列W是等腰直角三角形，理由見解析；(3)

11

49

面積的最大值為——.

2

【解析】

解：(1)；點、P、N是CD、3c的中點

/.PN//BD,PN=-BD

2

?.?點P、M是CD、。石的中點

/.PM//CE,PM=-CE

2

VAB=AC,AD=AE

：.BD=CE

PM=PN

?；PN//BD

：.ZDPN^ZADC

???PM//CE

：.ZDPM=ZDCA

?：NH4c=90°

/.ZADC+ZACD=90°

：.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ADC=90°

/.PM±PN

(2)結論：APAW是等腰直角三角形.

證明：由旋轉知，XBAD=NCAE

VAB=AC,AD=AE

：.AABD絲AACE(SAS)

：.ZABD^ZACE,BD=CE

?.?由三角形中位線的性質可知，PN=-BD,PM=-CE

22

/.PM=PN

APAW是等腰三角形

?.?同(1)的方法得，PM//CE.ZDPM=ZDCE

同(1)的方法得，PN//BD./PNC=NDBC

12

/.ZDPN=NDCB+/PNC=/DCB+ZDBC

/.ZMPN=ZDPM+ZDPN

=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC

=ZACB+ZABC

?：ZBAC=90°

：.ZACB+ZA5C=90°

；.NMPN=90°

，APAW是等腰直角三角形；

(3)?.?由(2)得，APAW是等腰直角三角形，

最大時，APUN的面積最大

/.DEHBC且。石在頂點A上面時，"N最大值AM+AN,連接AM,AN,如圖：

?.?在AAD石中，AD=AE=4,ZDAE=9Q°

???AM=2A/2

?.?在△ABC中，AB=AC=10,ABAC=90°

???AN=542

:.MN最為叵=AM+AN=7垃

：.S-=-PM~=----MN2.

△HWN取大值2224、,2

故答案是：(1)PM=PN,PMLPN}(2)△尸MN是等腰直角三角形，理由見解析；(3)

49

△PMN面積的最大值為—

2

【點睛】

13

本題考查了三角形中位線的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、旋轉的性質以及求

最大面積問題等知識點，屬壓軸題目，綜合性較強.

7.(2018?河南省中考模擬)已知：在AABC中，47是5c邊上的中線，點￡是4?的中點；

過點/作AF/ABC,交延的延長線于E連接花

(1)求證：四邊形4戚是平行四邊形；

(2)填空:

①當=時，四邊形4叱是形；

②當ABAC=90°時，四邊形ADCF建形?

【答案】(1)見解析；(2)①矩；②菱.

【解析】

證明：BC,:.ZAFE=NEBD.

在&AEF和ADEB中

NAFE=DBE

ZFEA=ZBED,

AE=DE

:.AAEF絲ADEB(AAS).

:.AF=BD.

AF=DC.

^-AF//BC,

：.四邊形47C廠為平行四邊形；

⑵①當AB=4。時，四邊形/外尸是矩形;

②當NBAC=90°時，四邊形兒萬■尸是菱形.

故答案為矩，菱.

14

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質，得出AAEFGADEB是

解題關鍵.

8.(2019?江蘇省中考模擬)如圖，矩形ABC。中，AB=6,5C=8,點E在3c邊的

延長線上，連接。E,過點3作。E的垂線，交CD于點交AD邊的延長線于點N.

(1)連接EN,若BE=BD,求證：四邊形3END為菱形；

(2)在(1)的條件下，求&W的長；

(3)設CE=x,BN=y,求丁關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍.

【答案】(1)見解析；(2)BM=-y/10；(3)6仃+36,0<x<-.

3'x2

【解析】

解：(1)證明：VBD=BE,BM±DE.\ZDBN=ZEBN

.四邊形ABCD是矩形，AD/7BC

ZDNB=ZEBN/.ZDBN=ZDNB

?.BD=DN

又：BD=BE.\BE=DN又；AD〃BC.?.四邊形DBEN是平行四邊形

又?/BD=BE平行四邊形DBEN是菱形

(2)由(1)可得，BE=BD=AB2+AD2=10/.CE=BE-BC=2

15

A在RtADCE中,DE=7CD2+CE2=2A/10

由題意易得NMBC=NEDC,又NDCE=NBCD=90°

.,.△BCM^ADCE

BCBM8_BM8后

DCDE62V103

(3)由題意易得NBNA二NEDC,ZA=ZDCE=90°

AANAB^ADCE

.BN_AB

''~DE~~CE

?—.y——6

"Vx2+36x

.66+36甘出”/9

..y=-.......,其中0<x<一

x2

【點睛】

此題主要考查勾股定理和三角形相似的綜合應用

9.(2019?河南省中考模擬)如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE±BC,

垂足為點E,GF±CD,垂足為點F.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形；

A(Z

②推斷：——的值為：

BE

(2)探究與證明：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉a角(0°<a<45°),如圖(2)所示，試探究線

段AG與BE之間的數量關系，并說明理由：

(3)拓展與運用：

正方形CEGF在旋轉過程中，當B,E,F三點在一條直線上時，如圖(3)所示，延長CG交

AD于點H.若AG=6,GH=20,貝，】BC=.

16

圖⑴圖⑵圖⑶

【答案】(1)①四邊形CEGF是正方形；②0；(2)線段AG與BE之間的數量關系為AG=0

BE；⑶3小

【解析】

(1)①：四邊形ABCD是正方形，

ZBCD=90°,ZBCA=45°,

；GE_LBC、GF±CD,

/.ZCEG=ZCFG=ZECF=90°,

四邊形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

/.EG=EC,

四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形，

AZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,

CG/-

??---二,GE//AB,

CE

BECE

故答案為J5；

(2)連接CG,

由旋轉性質知NBCE=NACG=a,

在RtZiCEG和Rt^CBA中，

17

CE_V2CB顯

~CG~^'G4~V，

CECB

.,.△ACG^ABCE,

生=%=血，

BECB

???線段AG與BE之間的數量關系為AG二應BE；

(3)VZCEF=45°，點B、E、F三點共線，

ZBEC=135°,

VAACG^ABCE,

AZAGC=ZBEC=135°,

AZAGH=ZCAH=45°,

???ZCHA=ZAHG,

.,.△AHG^ACHA,

.AG_GHAH

**AC-AH-CH?

設BC=CD二AD=a,則AC=0a,

.—AGGHp62夜

則由一二——得1,

ACAH缶AH

2

AH——a,

3

則DH=AD-AH=1a,CH=7CD2+DH-=巫^a,

33

2

AGAHf6個0

..?由就=方仔而一F

-----a

3

解得：a=3y[5,即BC=3右，

故答案為36.

【點睛】

18

本題考查了正方形的性質與判定，相似三角形的判定與性質等，綜合性較強，有

一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質、相似三角形的判定與性質是

解題的關鍵.

10.(2018?山東省中考模擬)如圖①，在AABC中，NBAC=90°,AB=AC,點E在AC上(且

不與點A,C重合)，在aABC的外部作ACED,使NCED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,

AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數量關系;

(2)將4CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE,請判斷線段

AF,AE的數量關系，并證明你的結論；

(3)在圖②的基礎上，將4CED繞點C繼續逆時針旋轉，請判斷(2)問中的結論是否發生

變化？若不變，結合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由.

【答案】(1)AF=V2AE；(2)AF=V2AE,證明詳見解析；(3)結論不變，AF=0AE,理由

詳見解析.

【解析】

解：(1)如圖①中，結論：AF=V2AE.

理由：?.?四邊形ABFD是平行四邊形，

AAB=DF,

,.,AB=AC,

.-.AC=DF,

VDE=EC,

.,.AE=EF,

VZDEC=ZAEF=90°,

19

???AAEF是等腰直角三角形，

???AF=應AE.

(2)如圖②中，結論：AF=J，AE.

理由：連接EF,DF交BC于K.

四邊形ABFD是平行四邊形,

，AB〃DF,

/.ZDKE=ZABC=45°,

???EKF=180°-ZDKE=135°,

VZADE=180°-NEDC=180°-45°=135°,

AZEKF=ZADE,

NDKONC,

???DK=DC,

IDF二AB二AC,

.\KF=AD,

在aEKF和4EDA中，

EK=DK

{ZEKF=/ADE,

KFAD

AAEKF^AEDA,

???EF=EA,NKEF=NAED,

AZFEA=ZBED=90°,

：.AAEF是等腰直角三角形，

???AF=應AE.

(3)如圖③中，結論不變，AF=0AE.

理由：連接EF,延長FD交AC于K.

VZEDF=180°-ZKDC-ZEDC=135°-ZKDC,

NACE=(90°-ZKDC)+NDCE=135°-ZKDC,

???NEDF=NACE,

20

VDF=AB,AB=AC,

.-.DF=AC

在AEDF和4ECA中，

DF=AC

<ZEDF=ZACE,

DE=CE

.,.△EDF^AECA,

/.EF=EA,ZFED=ZAEC,

AZFEA=ZDEC=90°,

/.△AEF是等腰直角三角形，

AF=0AE.

【點睛】

本題考查四邊形綜合題，綜合性較強.

11.(2019?哈爾濱市雙城區第六中學中考模擬)如圖，點M是正方形ABCD的邊BC上一點,

連接AM,點E是線段AM上一點，NCDE的平分線交AM延長線于點F.

⑴如圖1,若點E為線段AM的中點，BM:CM=1:2,BE=JI。，求AB的長；

⑵如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=0AF.

【答案】(1)AB=6;(2)證明見解析.

【解析】

解：(1)設BM=x,則CM=2x,BC=3x,

BA=BC,

/.BA=3x.

在RtAiABM中，E為斜邊AM中點，

21

，AM=2BE=2W.

由勾股定理可得AM2=MB2+AB2,

即40=X?+9X2,解得X=2.

AB—■3x—6.

⑵延長FD交過點A作垂直于AF的直線于H點，過點D作DP±AF于P點.

VDF平分NCDE,

?,.Z1=Z2.

VDE=DA,DP±AF

???N3=N4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=90°,

???N2+N3=45°.

/.ZDFP=90°-45°=45°.

.\AH=AF.

VZBAF+ZDAF=90°,ZHAD+ZDAF=90°,

AZBAF=ZDAH.

又AB=AD,

/.△ABF^AADH(SAS).

???AF=AH,BF=DH.

???RtAFAH是等腰直角三角形，

???HF=^AF.

,,,HF=DH+DF=BF+DF,

22

.,.BF+DF=72AF.

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質及等腰

直角三角形的性質等知識點，熟練運用相關知識是解決問題的關鍵.

12.(2017?湖北省中考模擬)如圖1,在矩形/夕曲中，￡■是第延長線上一個動點，F、G

分別為4￡、8C的中點，力與勿相交于點//

(1)求證：HE=HG

PE—PA

(2)如圖2,當屬=48時，過點4作42L如于點P連接加，求一一的值

PB2

【解析】

/.ZDEC=ZAMB

VEB=CM,BG=CG

AG為EM的中點

AFG為△AEM的中位線

23

???FG〃AM

/.ZHGE=ZAMB=ZHEG

.\HE=HG

(2)過點B作BQ_LBP交DE于Q

/.△BEQ^ABAP(ASA)

JPA=QE

.PE-PAPE-EQ_PQ_丘

??PB-PB-PB-

(3)VZADE=ZCED=30°

???CE=gCD

???BE+BC=CD+2=6CD,CD=73+1

，DE=2CD=2用2

VZADE=30°

/.AP=EQ=1,DP=73

?,.PQ=2^+2-1-73=^+l

.nn_V6+V2

>?Dr——--------------------

2

13.（2019?陜西省中考模擬）（1）問題發現

如圖1,陽和△點均為等邊三角形，點4、D、E在同一條直線上，連接5E

填空：

①N4空的度數為;

②線段4?、紀之間的數量關系為.

（2）拓展研究

24

如圖2,第和△。應■均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=9Q°，點4、D、E在同一條

直線上，該為△〃綏中應■邊上的高，連接請判斷//￡?的度數及線段瞅AE、BE之

間的數量關系，并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,在正方形4BCD中,CD=2yf2,若點夕滿足陽=2,且N叱=90°,請直接寫出

【答案】(1)①60°;@AD=BE;(2)ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由見解析;

(3)點/到BP的距離為逝-1或6+1.

22

【解析】

解：(1)①如圖1.：△478和△。宏均為等邊三角形，

:.C歸CB,C8CE,NACFNDC田60°,:.NACF/BCE.

AC=BC

在知XBCE中，：＜ZACD=NBCE,

CD=CE

：./XACD^△BCE(SAS),；.NADC=NBEC.

絡為等邊三角形，：.NCD左NCED=60°.

:點4D,F在同一直線上，

,N4?C=120°,；.N8gl20°,：.ZAEAZBEC-』CEg6Q°.

故答案為60°.

②■：MAC咯MCE,:.AHBE.

故答案為AABE.

(2)ZAEB=90°,AFB&2CM.

理由：如圖2.?.?△ACS和△外￡均為等腰直角三角形，

:.C歸CB,CACE,NACF/DCW,:./ACA/BCE.

25

CA=CB

在/\ACD卡口叢BCE中，：＜ZACD=NBCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE(SAS),:.AD=BE,ADOABEG.

?.?△。廬為等腰直角三角形，，龐氏45°.

?.?點4D,F在同一直線上，

N476*35°,：.NBEC='35°,：.NAE斤NBEC-NCED^)Q°.

VCD^CE,GM^DE,：.DM^ME.

：NO淤90°,:.D始MFCM,:.AFADW&B82cM.

(3)點/到BP的距離為石-1或6+1.

22

理由如下：

廬1,.,.點?在以點。為圓心，1為半徑的圓上.

TNm廬90°,.,.點?在以做為直徑的圓上，.?.點。是這兩圓的交點.

①當點?在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、以，作AHLBP,垂足為H,過點力作AE^AP,

交BP于點E,如圖3①.

?.?四邊形4成沙是正方形，；.值45°.AB^AD^DOBC^^l,ZBAD^)G,：.BD=2.

'：DP^\,：.BP=yJj.

VZBPD=ZBAD=90°,.-.AP、D、8在以8〃為直徑的圓上，

：.ZAPB=ZADB=45°,.?.△必￡是等腰直角三角形.

又；△外。是等腰直角三角形，點8、仄戶共線，4/_L8/，.,.由(2)中的結論可得：B+2A田PD,

八一］

:.幣=2AfM,：.AH^-__.

2

②當點?在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、以，作AH1BP,垂足為H,過點/作AELAP,

交所的延長線于點E,如圖3②.

同理可得：B+2AH-PD,：.J3=24/-1,；.A^+1.

2

綜上所述：點A到BP的距離為1二1或8+1.

22

26

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質、正方形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質等知識，考查了運用已有的知識

和經驗解決問題的能力，是體現新課程理念的一道好題.而通過添加適當的輔助線從而能用

（2）中的結論解決問題是解決第（3）的關鍵.

14.（2019?浙江省中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B坐標為（4,

6）,點P為線段0A上一動點（與點0、A不重合），連接CP,過點P作PE_LCP交AB于點D,

且PE=PC,過點P作PF_L0P且PF=P0（點F在第一象限），連結FD、BE、BF,設0P=t.

（1）直接寫出點E的坐標（用含t的代數式表示）：;

（2）四邊形BFDE的面積記為S,當t為何值時，S有最小值，并求出最小值；

（3）4BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t;若不能，說明理由.

【答案】⑴、（t+6,t）；⑵、當t=2時，S有最小值是16；（3）、理由見解析.

27