高級中學名校試題PAGEPAGE1內蒙古自治區呼和浩特市回民區2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列的通項公式為，則數列是（）A.以1為首項，為公比的等比數列 B.以3為首項，為公比的等比數列C.以1為首項，3為公比的等比數列 D.以3為首項，3為公比的等比數列【答案】A【解析】因為，，所以數列是以1為首項，為公比的等比數列.故選：A2.已知，，則等于（）．A B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.3.已知是遞增的等比數列，且，則其公比滿足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是等比數列，故，當時，各項正負項間隔,為擺動數列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數列，故為遞減數列,由指數函數的單調性知.故選:D4.在等差數列中，，其前項和為，若，則（）A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024【答案】C【解析】由是等差數列，設公差為，則所以，（常數），則也為等差數列.由，則數列的公差為1.所以所以，所以故選：C5.疫苗是為預防、控制傳染病的發生、流行，用于人體預防接種的預防性生物制品，其前期研發過程中，一般都會進行動物保護測試，為了考察某種疫苗預防效果，在進行動物試驗時，得到如下統計數據：未發病發病總計未注射疫苗30注射疫苗40總計7030100附表及公式：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828，．現從試驗動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為0.5，則下列判斷正確的是（）A.注射疫苗發病的動物數為10B.某個發病的小動物為未注射疫苗動物的概率為C.能在犯錯概率不超過0.005的前提下，認為疫苗有效D.該疫苗的有效率約為80%【答案】ABD【解析】完善列聯表如下：未發病發病總計未注射疫苗302050注射疫苗401050總計7030100由列聯表知，A正確，，B正確，，不能在犯錯概率不超過0.005的前提下，認為疫苗有效，C錯誤；疫苗的有效率約為，D正確．故選：ABD．6.8支步槍中有5支已經校準過，3支未校準，一名射手用校準過槍射擊時，中靶的概率為0.8，用未校準的步槍射擊時，中靶的概率為0.3，現從8支中任取一支射擊，結果中靶，則所選用的槍是校準過的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設事件A表示“射擊時中靶”，事件表示“使用的槍校準過”，事件表示“使用的槍未校準”，則，是的一個劃分．，，，，根據全概率公式得，所以．故選:B．7.某地生產紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產紅茶.根據其種植經驗，在正常環境下，甲?乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產量（單位：克）分別為，且，其密度曲線如圖所示，則以下結論錯誤的是（）A.的數據較更集中B.C.甲種茶青每500克的紅茶產量超過的概率大于D.【答案】D【解析】對于A，Y的密度曲線更尖銳，即數據更集中，正確；對于B，因為c與之間的與密度曲線圍成的面積與密度曲線圍成的面積，，正確；對于C，，甲種茶青每500克超過的概率，正確；對于D，由B知：，錯誤；故選：D.8.復印紙按照幅面的基本面積，把幅面規格分為A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面規格為：，，，…，，所有規格的紙張的長度（以表示）和幅寬（以y表示）的比例關系都為；將紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為規格；將紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為規格；…，如此對開至規格．現有，，…，紙各一張，已知紙的幅寬為1m，則，，…，這8張紙的面積之和是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，可得的長、寬分別為，1，的長、寬分別為1，，的長、寬分別為，，…，所以，，…，的面積是首項為，公比為的等比數列，所以，，…，這8張紙的面積之和為.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.甲、乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（）A.事件“甲投得1點”與事件“甲投得2點”是互斥事件B.事件“甲、乙都投得1點”與事件“甲、乙不全投得2點”是對立事件C.事件“甲投得1點”與事件“乙投得2點”是相互獨立事件D.事件“至少有1人投得1點”與事件“甲投得1點且乙沒投得2點”是相互獨立事件【答案】AC【解析】對于選項A，因為甲擲一枚骰子，事件“甲投得1點”與事件“甲投得2點”不可能同時發生，由互斥事件的概念知，所以選項A正確；對于選項B，甲、乙各投擲一枚骰子，事件“甲、乙都投得1點”與事件“甲、乙不全投得2點”可以同時發生，所以選項B錯誤；對于選項C，因為事件“甲投得1點”與事件“乙投得2點”相互間沒有影響，所以選項C正確．對于選項D，至少一人投6點的事件為M，則，甲投1點且乙沒投得2點事件為N，則為，，，故選項D錯誤．故選：AC.10.數列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數列 B.C.當時， D.當或時，取得最大值【答案】ACD【解析】由數列的前項和為，當時，，又由，適合上式，所以數列的通項公式為，對于A中，由，即，所以數是遞減數列，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，當時，，所以C正確；對于D中，因為的對稱軸為，開口向下，又因為是正整數，且或時，取得最大值，所以D正確.故選：ACD.11.下列說法正確的是（）A.若隨機變量服從二項分布，且，則B.隨機事件相互獨立，滿足，則C.若，則D.設隨機變量服從正態分布，則【答案】CD【解析】A選項，因為，所以，則，故A錯誤；B選項，因為隨機事件相互獨立，則與也相互獨立，，求解易知錯誤；C選項，由條件概率定義易知，又因為，所以，故C正確；D選項，隨機變量服從正態分布，可得，則，故D正確.故選：CD12.設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行n次，仍然在上底面的概率為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】顯然，.螞蟻爬次仍在上底面的概率為，那么它前一步只有兩種情況：：如果本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率是；：如果是上一步在下底面，則第步不在上底面的概率是，如果爬上來，其概率應是.，事件互斥，因此，，整理得，即，所以為等比數列，公比為，首項為，所以，∴.所以.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知數列為等差數列，，，則______.【答案】【解析】設等差數列的公差為，因為，，所以，即，解得，所以，故答案為：14.已知隨機事件，有概率，，條件概率，則______.【答案】0.82【解析】∵，∴，.由乘法公式得.∴.故答案為：0.82.15.已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則______.【答案】3【解析】設等比數列的公比為，則由題意得，所以，得，所以比數列前項和為，得，所以，解得，故答案為：316.在數列中，，，則通項公式____．【答案】【解析】∵，∴，，，….以上個等式相加，得．．檢驗：當時，也成立.所以，數列的通項公式.故答案：.四、解答題：本小題共6小題，17題10分，其他題目均為12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知隨機變量的分布列如表：0120.4若，離散型隨機變量滿足，求：（1）的值；（2）的值.解：（1）由分布列的性質，可得，解得①，因為，所以，即②，聯立①②解得，（2）因為，所以，因為，所以，.18.已知等差數列，前項和為，又．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．解：（1）設等差數列的公差為，首項為，因為，所以，所以，由，解得，又，所以；（2）設，的前項和為，得，，得當時，，即，所以當時，得，所以，則綜上所述：19.某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了100名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：、、、…、，統計結果如圖所示：（1）試估計這100名學生得分的平均數；（2）從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在的人數為，試求的分布列和數學期望；（3）以樣本估計總體，根據頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生的得分X近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，經計算.所有參加知識競賽的2000名學生中，試問得分高于77分的人數最有可能是多少？參考數據：，，.解：（1）由頻率分布直方圖可得這100名學生得分的平均數.（2）參加座談的11人中，得分在的有人，所以的可能取值為，，，所以，，.所以的分布列為012∴.（3）由（1）知，，所以.得分高于77分的人數最有可能是.20.已知在數列中，，前項和.（1）求、；（2）求數列的通項公式；（3）設數列的前項和為，求.解：（1）由及得，由及、得；（2）當時，，整理得，∴，驗證，當時符合，∴當時，；（3）由（2）可知，∴，21.數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數字均含1～9，且不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．參考數據：17500.370.55參考公式：對于一組數據，其經驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.（1）賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓練天數x(天)有關，經統計得到如下數據：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現用作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程；(，用分數表示)（2）小明和小紅玩“對戰賽”，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結束，求隨機變量X的分布列及均值．解