高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省多校2024-2025學年高一下學期第一次階段聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】由題意得.故選：A.2.若，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得：，即，所以.故選：A.3.已知，且三點共線，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因為三點共線，所以，因為，所以，解得.故選：A.4.已知向量滿足，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，移項可得，因為，所以，對兩邊同時平方可得，根據完全平方公式則，又因為，，所以可化為，由，移項可得，則，根據向量的數量積公式，將，，代入可得：，則.故選：D.5.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以又，，所以，所以，所以在上的投影向量為.故選：C.6.如圖，在中，點在線段上，且．若，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】在中，點在線段上，且，則，，而，因此，即，所以.故選：A.7.已知，則，，的大小順序為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.8.已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，且，當且僅當時等號成立，又的最小值為，所以，又，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設點，其中，且、，，，所以，當且僅當時，取最小值.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各式的值正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】，A不正確；，B正確；，C不正確；，D正確．故選：BD.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數在區間上單調遞增C.函數的圖象的一條對稱軸方程為D.函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【答案】AD【解析】對于A，，函數的最小正周期，故A正確；對于B，因為，∴，而函數在上不單調，故在區間上不單調，故B錯誤；對于C，由（），得（），不可能取到，故C錯誤；對于D，由的圖象向左平移個單位長度，得，故D正確.故選：AD.11.著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，為中點，且，，則下列各式正確的有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】由是的重心可得，所以，故A項錯誤；過的外心分別作，的垂線，垂足為，，如圖(1)，易知，分別是，的中點，則，故B項正確；因為是的重心，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項正確：如圖(2)，由于，所以，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】因為，即，所以.13.如圖，P，Q分別是四邊形的對角線與的中點，設，，且，不是共線向量，向量____________.（試用基底，表示）【答案】【解析】如圖，因為，Q分別是四邊形的對角線與的中點，，，取的中點G，連接，，所以，，，∴.14.已知，則______，______.【答案】【解析】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因為，，所以，所以．15.已知向量.（1）若向量與共線，求實數的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.解：（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數的取值范圍為且.16（1）求值：.（2）在中，已知，求角C的大小.解：（1），∵，∴原式=.（2）中，已知，若，則，不合題意；∴，，由已知，，∴，，∴，∴.17.如圖，在中，點、滿足，，點滿足，為的中點，且、、三點共線.（1）用、表示；（2）求的值.解：（1）因為，則，所以，因為為的中點，故.（2）因為、、三點共線，則，，，所以存在，使得，即，所以，又因為，且、不共線，所以，則，所以，故.18.長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度．一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為．設和的夾角為，北岸的點在A的正北方向．（1）當時，試判斷游船航行到達北岸的位置是在的左側還是右側，并說明理由．（2）當多大時，游船能到達處？需要航行多長時間？（不必近似計算）（3）當時，游船航行到達北岸的實際航程是多少？解：（1）由題設，在反方向上的分速度為，∴游船航行到達北岸的位置是在的左側.（2）要使能到達處，則在反方向上的分速度為，∴，故，又，此時，∴垂直方向上的速度，∴.（3）由（1）知：垂直方向航行時間為，∴水平方向航行距離為，∴游船航行到達北岸的實際航程.19.已知函數，且恒成立.（1）求a值；（2）設，若，，使得，求實數b的取值范圍.解：（1），其中為銳角且，由于，，故，所以