高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省七校協作體2025屆高三下學期3月聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.則.故選：B2.已知i為虛數單位，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A3.已知兩個變量x和y之間具有較強的線性相關關系，且y關于x的經驗回歸方程為，由它計算出成對樣本數據對應的殘差為0.12（殘差=觀測值-預測值），則（）A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48【答案】B【解析】因為y關于x的經驗回歸方程為，所以預測值為，又因為殘差=觀測值-預測值，所以，所以.故選：B.4.若直線：與直線：平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為直線：與直線：平行，所以，所以，所以直線：即，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.5.已知等比數列的公比為q，前項和為，若，則下列結論公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，若，則，而，則，所以不符合題意.當且時，，即，即，則.故選：A6.記為的內角的對邊，則“為直角三角形”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在中，由及正弦定理，得，則，而，則，兩邊平方整理得，而，于是，，因此為直角三角形；反之，為直角三角形，或或，所以“為直角三角形”是“”的必要不充分條件，B正確.故選：B7.2024年巴黎奧運會乒乓球比賽，中國隊表現出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對戰朝鮮隊，最終以的比分贏得勝利.假設2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意“莎頭”組合以獲勝，即前四局勝三局，負一局，第五局獲勝，所以獲勝概率為：，故選：D8.已知過點的直線l與拋物線交于點A，B兩點.若A，B的橫坐標分別為.則（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】由題意可知直線的斜率存在，設直線方程為，聯立可得，消去可得，由，則，，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，根據線面垂直的性質可得若，則，即A正確；對于B，易知若可得或，又可知，即B正確；對于C，若，則或，因此C錯誤；對于D，如果直線平行于平面和，且和的交線為，那么直線必須平行于；假設不平行于，它必將與其中一個平面相交，這與平行于兩個平面的條件相互矛盾，所以若，則，故D正確。故選：ABD10.設正實數m，n滿足，則（）A.的最小值為B.的最大值為2C.的最大值為D.的最小值為【答案】AB【解析】由，，則，當且僅當，即時等號成立，則的最小值為，故A正確；由，當且僅當時等號成立，則的最大值為2，故B正確；由，當且僅當時等號成立，則的最大值為1，故C錯誤；由，當且僅當時等號成立，則的最小值為2，故D錯誤.故選：AB.11.已知函數，則（）A.是的一個周期B.是非奇非偶函數C.的最小值為D.關于x的方程有無數個實數解【答案】BD【解析】對于A，由，則不是函數的一個周期，故A錯誤；對于B，由，則其定義域為，因為，所以函數是非奇非偶函數，故B正確；對于C，，當且僅當，，等號成立；，當且僅當，，等號成立，由，則，故C錯誤；對于D，由，則，可得，整理可得，解得或，，化簡可得或，，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量與服從正態分布，則______.【答案】【解析】設，則，所以，又因為，所以，解得.故答案為：13.若非零向量與單位向量共線，且，則__________.【答案】【解析】因為非零向量與單位向量共線，則，且，因為，則，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案為：.14.如圖，已知正四面體的棱長為1，過點B作截面α分別交側棱，于E，F兩點，且四面體的體積為四面體體積的，則______，的最小值為______.【答案】①.②.【解析】因為，則，記，因為，即。又因為，當且僅當，即時，取等號.所以a的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數（1）若的圖象在點處的切線方程為，求a與b的值；（2）若在處有極值，求a與b的值.解：（1）因為，所以，所以，，因為切線方程為，所以，解得，所以.（2）函數在處有極值且或恒成立，此時函數無極值點，此時1是極值點，滿足題意，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，M為棱PC的中點.（1）證明：平面PAD；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接，如圖所示：為棱的中點，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，又，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：則，為棱中點，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，,平面的一個法向量為，，則二面角的正弦值為.17.隨著科技的飛速發展，人工智能已經逐漸融人我們的日常生活．在教育領域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現從某地區隨機抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統計如下：使用AI大模型的種數性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統計使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計概率.（1）從該地區教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（2）從該地區使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數學期望；（3）從該地區男，女教師中各隨機選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數分別為，比較的數學期望的大?。ńY論不要求證明）解：（1）記事件M為“從該地區教師中隨機選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計.（2）記事件為“從該地區使用3種AI大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型B”，根據題中數據，.的可能取值為，，，．.的分布列為0123.（3）由題意可得該地區男，女教師人數分別為：80和120，則易求，，故.18.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求C的方程；（2）若斜率為1的直線與C相交于E，F兩點，且，求l的方程；（3）橢圓C與x軸相交于A，B兩點，P為橢圓C上一動點，直線PA，PB與直線交于M，N兩點，設與的外接圓的半徑分別為，，求的最小值.解：（1）由題意得，將代入橢圓方程得，又，解得，故橢圓的方程為（2）設l的方程為，則.聯立方程組，整理得，則，即，所以，則，解得，滿足題設，所以l方程為.（3）設直線PA的方程為，則直線PB的方程為.令，得，同理得，則.在中，由正弦定理知，同理可得.因為，所以，從而，當且僅當時等號成立，故的最小值為.19.若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”.已知數列中，，點在函數的圖象上，其中