高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1吉林省延邊朝鮮族自治州2025屆一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若“”的充分不必要條件是“”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由＂＂的充分不必要條件是＂＂，得，但，所以．故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意得，則，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D3.在中，，為中點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可作圖如下：則，，由為的中點(diǎn)，則，.故選：A.4.已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù),滿足，所以，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以．故選：B．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，所以，故選：C6.在直三棱柱中，，，且，則該三棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)外接圓半徑為，圓心為，設(shè)外接球球心為，半徑為，因?yàn)?，，在中由正弦定理有，則，則有，所以，所以球的體積為：，故選：D.7.編號(hào)為，，，，的5種蔬菜種在如圖所示的五塊實(shí)驗(yàn)田里，每塊只能種一種蔬菜，要求品種不能種在1，2試驗(yàn)田里，品種必須與品種在相鄰的兩塊田里，則不同的種植方法種數(shù)為（）A.24 B.30 C.36 D.54【答案】B【解析】當(dāng)A種在4號(hào)田時(shí)，B只能種在3號(hào)，其余三種蔬菜在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，當(dāng)A種在5號(hào)田時(shí)，結(jié)果相同，也有6種；當(dāng)A種在3號(hào)田時(shí)，B有3種結(jié)果，余下的三種蔬菜在三個(gè)位置全排列，有種結(jié)果；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種結(jié)果．故選：B．8.如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的或不選的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲，乙組成總體樣本的方差為B.已知隨機(jī)變量，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，的第80百分位數(shù)是8D.已知隨機(jī)變量，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，則甲乙組成的總體樣本的方差為，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D正確；故選：BCD．10.設(shè)是上的奇函數(shù)，且對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值是1，最小值是0 B.當(dāng)時(shí)，C.點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心 D.在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】BD【解析】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，又對(duì)都有，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，即，所以，所以是周期?的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，由的圖象關(guān)于對(duì)稱，得在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值是，最小值是，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；由對(duì)都有，得的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞增，且周期為4，則在區(qū)間上是增函數(shù)，故D正確；故選：BD11.過(guò)點(diǎn)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說(shuō)法正確的是（）A.以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) B.若，則C.若直線的斜率存在，則斜率為 D.【答案】ACD【解析】由題意可知直線斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立得，則，對(duì)于A選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，所以以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，A說(shuō)法正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，由拋物線的定義可得，B說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說(shuō)法正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D說(shuō)法正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為10，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】由橢圓方程可得，得，因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為10，所以，得，所以的離心率為.故答案為：13.在中，角的對(duì)邊分別為，，，且的周長(zhǎng)為，則角為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意知，，由正弦定理得，，即，所以，由余弦定理得，，又，所以.故答案為：.14.若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，有解，∴有正根，即，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，∴.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求，；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）解：，（2）證明：由得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.（3）解：由（2）知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以，即:.16.如圖，在四棱柱中，底面是矩形，，，，.（1）證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又，，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋矗?，即，由?）可知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以直線，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則，于是，故二面角的正弦值為.17.某生物研究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)棉花長(zhǎng)絨分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計(jì)該地區(qū)棉花有，個(gè)品種，且這兩個(gè)品種的種植數(shù)量大致相等，記種棉花和種棉花的絨長(zhǎng)（單位：）分別為隨機(jī)變量，，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（1）從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘一朵，求這朵棉花的絨長(zhǎng)在區(qū)間的概率；（2）記該地區(qū)棉花的絨長(zhǎng)為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來(lái)近似描述的分布，請(qǐng)你根據(jù)（1）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（3）在（2）的條件下，從該地區(qū)的棉花中隨機(jī)采摘3朵，記這3朵棉花中絨長(zhǎng)在區(qū)間的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計(jì)算表達(dá)式即可）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.解：（1）記這朵棉花的線長(zhǎng)為．因?yàn)锳種棉花和種棉花的個(gè)體數(shù)量大致相等，所以這朵棉花是A種還是種的可能性是相等的．所以（2）由于兩種棉花的個(gè)體數(shù)量相等，，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可知，由（1）可知得．（3）設(shè)棉花的絨長(zhǎng)為，則，由題有，所以，因此的分布列為0123.18.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率.（1）求雙曲線C的方程；（2）記雙曲線C的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線，與C的左支分別交于兩點(diǎn)，且，為垂足.（i）證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在說(shuō)明理由并求出點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由題意，雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線方程.（2）證明：（i）由（1）知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得.因?yàn)?，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，將代入直線，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意；將代入直線，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，因?yàn)?，所以△為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以（舍）或，此時(shí)過(guò)定點(diǎn)，綜上可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)（ii）因?yàn)?，此時(shí)存在以為斜邊的直角三角形，所以存在定點(diǎn)為中點(diǎn)滿足，此時(shí).19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若，求的值；（3）求證：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值