高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯盟2023-2024學年高一下學期3月聯合考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得，故其定義域.故選：C.2.下列函數中是增函數的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，為上的減函數，A不是；對于B，為上的減函數，B不是；對于C，在上不單調，C不是；對于D，為上的增函數，D是.故選：D.3.已知平面向量a，b不共線，，，則（）AA，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線【答案】D【解析】對A，與不共線，A錯誤；對B，則與不共線，B錯誤；對于C，則與不共線，C錯誤；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以A，C，D三點共線，D正確.故選：D.4.下列與終邊相同的角的表達式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于AB，因為，所以與終邊相同，所以與終邊相同的角為，故A正確，B錯誤；對于CD，當時，，顯然與終邊不相同，故CD錯誤.故選：A.5.在素數研究中，華裔數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式，孿生素數是指相差為2的素數對，例如3和5，11和13等.從不超過10的正奇數中隨機抽取2個，則這2個奇數是孿生素數的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不超過10的正奇數有，共5個，從中隨機抽取2個，共有，10種情況，其中孿生素數有，共2種情況，由古典概型可得這2個奇數是孿生素數的概率為.故選：C.6.某校學生會皮爾遜統計小組聯合李比希有機化學小組對學校周邊2000米范圍內的19家奶茶店出售的各種標注為“半糖”的現制奶茶進行含糖量抽樣調查，他們發現含糖量數據的中位數比平均數小很多，則下面敘述一定錯誤的是（）A.這組數據中可能有異常值B.這組數據是近似對稱的C.這組數據中可能有極端大的值D.這組數據中的眾數可能和中位數相同【答案】B【解析】對于A，如果這組數據中較小的數個數較多，而大數很大，且個數較少，則中位數比平均數小很多，故A可能發生；對于B，若這組數據是近似對稱的，則這組數據的中位數與平均數相同或相近，故B錯誤；對于C，同A分析可得C也可能發生；對于D，在A中數據分布的情況下，可能眾數和中位數相同，故D可能發生.故選：B.7.已知扇形的半徑為2，扇形圓心角的弧度數是1，則扇形的周長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由弧長公式得弧長，所以扇形的周長為.故選：C.8.已知是方程的兩個解，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，分別作出兩個函數的圖像，如圖所示：不妨設，則由圖像知，則，兩式相減得，因為為減函數，所以，即0，則，因為，所以，可得，則，即，因為，所以.故選：.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若，則的充要條件是D.的充要條件是【答案】BD【解析】對于A，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件，故A項錯誤；對于B，若，當時，，當時，，故充分性不成立；若，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故B項正確；對于C，當時，，所以成立；當時，所以成立；當時，也成立，所以的充分不必要條件是，故C項錯誤；對于D，等價于，即，所以，故的充要條件是，故D項正確.故選：BD.10.下列說法中正確的是（）A.若，則B.若與共線，則或C.若為單位向量，則D.是與非零向量共線的單位向量【答案】AD【解析】依題意，對于A：若，則，故A正確；對于B：若與共線，則，故B錯誤；對于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯誤；對于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.故選：AD.11.已知函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（）A. B.是周期函數C.為偶函數 D.為奇函數【答案】BC【解析】對于AB，因為是偶函數，所以，即，又是定義在上的奇函數，所以，于是，即，所以是以4為一個周期的周期函數，故A錯誤，B正確；對于C，設，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數，故C正確；對于D，設，則的定義域為，因為，所以，則，即，所以為偶函數，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數，則（）A.若是偶函數，則B.無論取何值，都不可能是奇函數C.在區間上單調遞減D.的最大值小于1【答案】ABC【解析】對于A項，若是偶函數，則，所以，即可得，故A項正確；對于B項，不過點，故B項正確；對于C項，在上單調遞減，又在上單調遞增，所以在上單調遞減，故C項正確；對于D項，，又在上單調遞增，所以的最大值為，所以最大值大于等于1，故D項錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數的值域為__________.【答案】【解析】由冪函數性質可知在上單調遞增，又易知為偶函數，所以當時，可知在上單調遞減，可得.故答案為：.14.甲、乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨立解出的概率為______．【答案】【解析】記“該題被甲獨立解出”為事件A，“該題被乙獨立解出”為事件B，由題意可知，，，因為事件，相互獨立，所以，又，所以.故答案為：.15.當時，最小值為____________．【答案】【解析】由于，所以，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：.16.已知關于的不等式組的解集中存在整數解且只有一個整數解，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】由，得或，所以的解集與或的交集中存在整數解，且只有一個整數解，當時，的解集為，此時，即，滿足要求；當時，的解集為，此時不滿足題設；當時，的解集為，此時，即，滿足要求，綜上，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）已知，求的值；（2）求值：.解：（1）由于，則，故，因為，所以.（2）.18.如圖，在中，分別是邊上的動點，為與的交點.（1）證明：；（2）當分別是邊的中點時，用表示.解：（1）證明：因為是邊上的動點，所以存在，使得，所以，令，則，因為，所以，所以.（2）因為分別是邊的中點，所以，所以，又，所以，即可得；所以，又，所以.19.已知冪函數的圖象與坐標軸無交點.（1）求的解析式；（2）解不等式.解：（1）由是冪函數，得，解得或，由的圖象與坐標軸無交點，得，則，所以的解析式是.（2）顯然函數是偶函數，且在上單調遞減，不等式，因此，解得且，所以原不等式的解集為.20.某地方政府為鼓勵全民創業，擬對本地年產值在50萬元到500萬元的新增小微企業進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產值（單位：萬元）的增加而增加，且要求獎金不低于7萬元，不超過年產值的.（1）若該地方政府采用函數作為獎勵模型，當本地某新增小微企業年產值為92萬元時，該企業可獲得多少獎金？（2）若該地方政府采用函數作為獎勵模型，試確定滿足題目所述原則的最小正整數.解：（1）當時，，因為，所以，符合要求，故該企業可獲得10.5萬元獎金.（2），因為為正整數，所以在上單調遞增，由題意知對時恒成立，故，解得，又，即在時恒成立，即所以正整數，綜上，故最小正整數的值為158.21.已知集合.（1）求；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，由，得，所以，即，解得，所以，所以.（2）當時，因為單調遞減，所以，因為對任意的恒成立，所以當時，則恒成立，即，即，因為，所以解得；當時，則恒成立，即，因為，所以解得，綜上，的取值范圍是.22.已知函數.（1）當時，判斷的奇偶性，并給出證明；（