高級中學名校試題PAGEPAGE1吉林省G6教考聯盟2023-2024學年高二下學期期末考試數學試題本試卷共6頁.考試結束后，將答題卡交回.注意事項：1.答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區.2.答題時請按要求用筆.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分.共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.函數的圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為，且，函數為奇函數，A選項錯誤；當時，，函數單調遞增，故BC選項錯誤.故選：D.4.已知函數，則（）A.5 B.4 C. D.【答案】A【解析】因為，所以.令，可得，解得.故選：A.5.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.簡單的講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，令，得，無解，所以函數不是“不動點”函數，故A不正確；

對于B，令，不難看出是該方程的根，

所以是“不動點”函數，故B正確；

對于C，令，即.

令，則，令，解得,

當時，，在單調遞減，

當時，，在單調遞增，

所以，

所以方程無解，

所以函數不是“不動點”函數，故C不正確；

對于D，令,得，

因為，

所以方程無解，

所以函數不是“不動點”函數，故D不正確.

故選:B.6.7名研究人員在3個不同的無菌研究艙同時進行工作，每名研究人員必須去一個艙，且每個艙至少去1人，由于空間限制，每個艙至多容納3人，則不同的安排方案共有（）種.A.720 B.1050 C.1440 D.360【答案】B【解析】由題意可知,7名研究員的安排可以是按人數為分為3組分到三個研究艙,

或者是按人數為分為3組分到三個研究艙,

按人數為分為3組分到三個研究艙,共有(種)安排方案,

按人數為分為3組分到三個研究艙時,共有(種)安排方案,

故共有(種)安排方案.

故選:B.7.已知正數，滿足，則下列說法不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，對于A，，所以A正確，對于B，因為在上遞增，且，所以，即，即，所以，所以B正確，對于C，因為，所以，所以C錯誤，對于D，，因為31312所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以D正確，故選：C8.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，，對于兩邊取對數得，構造函數，則，令，則，即在單調遞增；令，則，即在單調遞減；所以，即.因為，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的命題是（）A.在兩個隨機變量的線性相關關系中，若相關系數越大，則樣本的線性相關性越強B.在具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程中，，則C.在回歸分析中，決定系數的值越大，說明殘差平方和越小D.以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3【答案】BCD【解析】對于A，相關系數的絕對值越大，樣本的線性相關性越強，故A錯誤；對于B，回歸直線方程中，，故B正確；對于C，在回歸分析中，相關指數越大，殘差平方和越小，回歸效果就越好，故C正確；對于D，，兩邊取對數，可得，則，，，所以，故D正確.故選：BCD.10.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若正實數滿足，則的最小值為6【答案】BD【解析】對于A項,當時，滿足，但沒有意義，故A項為假命題;

對于B項,因為,所以，當且僅當,故B項為真命題;對于C項,,因為,所以，但的符號不確定，若取,則，此時,即,故C項為假命題;

對于D項,若正實數滿足,則,解得,同理,

則,當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為6，故D項為真命題．故選:BD.11.已知定義在上的函數滿足，且若，則（）A. B.的對稱中心為C.周期函數 D.【答案】ACD【解析】因為，所以，所以，即，所以是周期為4的周期函數，則C正確；令，得，則，從而，故A錯誤；因為，所以，所以，所以的圖象關于直線對稱，的對稱中心為錯誤，則B錯誤；以上求得的周期為4，且其圖象關于直線及對稱，則直線及均為圖象的對稱軸，從而，得，即，則，故，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式的常數項為________.（用數字作答）【答案】【解析】的展開式通項為，令，解得，所以，展開式中的常數項為.故答案為：.13.已知函數，對于任意兩個不相等的實數，都有不等式成立，則實數取值范圍為_________．【答案】【解析】因為對于任意兩個不相等的實數，都有不等式成立，所以函數在上單調遞減，又因為當時，，作出的圖象，如圖所示：由此可得函數在和上單調遞減，又因為當時，，且函數在上單調遞減，所以，解得．故答案為：．14.有個編號分別為1，2，…，的盒子，第1個盒子中有3個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，從第個盒子中取到黑球的概率是_________．【答案】【解析】記事件表示從第，2，，個盒子里取出白球，則，，所以，，進而可得，，所以，又，，，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即，故從第個盒子中取到黑球的概率是為：．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知冪函數圖像關于軸對稱，且在上單調遞增.（1）求值及函數的解析式；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由冪函數在上單調遞增知,,解得,又,則.當或時，，不符合的圖像關于軸對稱，故舍去.當時，，圖像關于軸對稱，符合題意.綜上所述，.（2）由（1）得，為偶函數，且在上單調遞增，因為,所以,兩邊平方，得,化簡得，解得或，故實數的取值范圍為.16.設函數，其中，曲線在點處的切線垂直于軸.（1）求的值；（2）求函數的極值.解：（1）的定義域為，且，因為曲線在點處的切線垂直于軸，所以，即，解得.（2）由(1)可得，則f'令，解得；令，解得，則在上單調遞增，在上單調遞減，故有極大值，無極小值.17.目前，教師職業越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業規劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過后才能進入面試環節.已知某市2024年共有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試，筆試成績，只有筆試成績高于70分的考生才能進入面試環節.（1）利用正態分布的知識，估計該市報考中小學教師資格的10000名筆試考生中，進入面試的人數（結果只保留整數）；（2）現有甲、乙、丙3名考生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為，設這3名考生中通過面試的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望.參考數據：若，則，，.解：（1）由題意可知，

則，

則共，即人進入面試.（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有，甲、乙、丙3名考生沒通過面試的概率分別為,

則，,

???????,,故隨機變量的分布列為：X0123P故.18.在學校食堂就餐成為了很多學生的就餐選擇.學校為了解學生食堂就餐情況，在校內隨機抽取了100名學生，其中男生和女生人數之比為，現將一周內在食堂就餐超過3次的學生認定為“喜歡食堂就餐”，不超過3次的學生認定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數比“不喜歡食堂就餐”人數多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合計喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計100（1）將上面的列聯表補充完整，并依據小概率值的獨立性檢驗，分析學生喜歡食堂就餐是否與性別有關；（2）該校甲同學逢星期二和星期四都在學校食堂就餐，且星期二會從①號、②號兩個套餐中隨機選擇一個套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為；若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為，求甲同學星期四選擇②號套餐的概率.（3）用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數為.事件“”的概率為，求使取得最大值時的值.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯表見圖，男生女生合計喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計5050100零假設:假設食堂就餐與性別無關，由列聯表可得，根據小概率的獨立性檢驗推斷不成立，即可以得到學生喜歡食堂就餐與性別有關（2）記事件：小林同學星期三選擇了①號套餐，事件：小林同學星期五選擇了②號套餐,由全概率公式可得（3）由題意可知，抽取的10名學生，喜歡飯堂就餐的學生人數服從二項分布，且喜歡飯堂就餐的頻率為,則,且，設，若,即即解得，若即解得所以當時,當時,因為所以,即使取得最大值的值為6.19.已知函數（是自然對數的底數）.（1）討論函數的單調性；（2）若有兩個零點分別為.①求實數的取值范圍；②求證：.解：（1）由題意可得，，當時，，在上單調遞增；當時，由解得，由解得，所以，在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）①等價于有兩個零點，令，則，在時恒成立，∴在時單調遞增，∴有兩個零點，等價于有兩個零點.∵，∴當時，，單