高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以．故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：C．3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B.4.若函數(shù)是冪函數(shù)，且，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】設(shè)，由得，解得，所以，所以．故選：C.5.在如圖所示的方格紙中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，根據(jù)平行四邊形法則，可知，而.故選：B．6.有一名同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，一共進(jìn)行了4組投籃，每組投籃10次，得到每組投籃的投中次數(shù)分別為5，6，8，9，則這些數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)和方差分別為（）A.8.5和2.5 B.8和2.5 C.8.5和1.5 D.8和1.5【答案】A【解析】因?yàn)?，所以這些數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為．因?yàn)槠骄鶖?shù)為，所以方差為．故選：A.7.在四邊形中，已知，，則四邊形一定是（）A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】因?yàn)?，即，所以四邊形是平行四邊形．因?yàn)?，，所以是等邊三角形，則，所以四邊形是菱形．故選：D.8.已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值為8．故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.速度和力是矢量，物體的質(zhì)量是標(biāo)量B.若，，是的三個頂點(diǎn)，則C.零向量的相反向量是零向量D.若非零向量滿足，，則【答案】ACD【解析】對于A，在物理中，速度和力是矢量，物體的質(zhì)量是標(biāo)量，A正確；對于B，，是零向量，不是0，B錯誤；對于C，零向量的相反向量是零向量，C正確；對于D，對于非零向量，，表示與的方向相同或相反，與的方向相同或相反，所以與的方向相同或相反，D正確．故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，其中表示，，中數(shù)值大小排第二的數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于軸對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，所以對于A，，故A正確；對于B，由圖可知圖象的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，所以的值域?yàn)?，故B錯誤；對于C，由的解析式可知：當(dāng)時，，由的解析式可知：，當(dāng)時，，由的解析式可知：，當(dāng)時，，由的解析式可知：，當(dāng)時，，由的解析式可知：，當(dāng)時，，由的解析式可知：，當(dāng)時，，由的解析式可知：，即為偶函數(shù)，故C正確；對于D，由圖可知在上的解析式為，則在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD11.對于任意兩個正數(shù)，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，約定，，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）發(fā)現(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由約定知，所以．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)或時，．綜上，．對于A，因?yàn)?，所以，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，故B正確；對于C，如圖，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e小于梯形的面積，所以，故C正確．對于D，取，，，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，，則的最小值為__________，當(dāng)且僅當(dāng)與的方向__________時取得最小值．【答案】6相反【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)與的方向相反時等號成立，取得最小值．13.已知二次函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，則__________.【答案】【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的兩個零點(diǎn)為，所以，，解得，，所以．14.已知向量，，，是非零向量，且，，則的面積為__________．【答案】6【解析】因?yàn)椋?，所以．由，，得，解得，從而，，故是直角三角形，為直角頂點(diǎn)，則該三角形的面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求的值；（2）已知正數(shù)，滿足，證明：．解：（1）．（2）證明：因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．16.已知關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，集合，．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得“”是“”的充要條件?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得“”是“”的充要條件，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某湟獥l件，所以，所以是的兩個實(shí)數(shù)根，所以，，所以．（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，又因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象對稱軸方程為，所以解得，即的取值范圍為．17.為了加強(qiáng)對學(xué)生動手操作能力的培養(yǎng)，將素質(zhì)教育落到實(shí)處，某校開展了剪紙、刺繡、草藝、泥塑民間工藝活動，學(xué)校要求每名學(xué)生至少參加其中一項(xiàng)活動．為了解上述活動的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：工藝活動編號1234工藝活動名稱剪紙刺繡草藝泥塑高一學(xué)生參加活動人數(shù)50303060高二學(xué)生參加活動人數(shù)40258050高三學(xué)生參加活動人數(shù)40104040以頻率作為概率．（1）從樣本中隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生參加了剪紙活動的概率；（2）從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這3名學(xué)生中恰有2人參加了剪紙活動的概率；（3）為了進(jìn)一步了解不同年級學(xué)生對以上各項(xiàng)工藝活動的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)這3名學(xué)生均參加了第項(xiàng)工藝活動的概率為，求的最大值．解：（1）樣本中學(xué)生共有300人，參加了剪紙活動的學(xué)生人數(shù)為，所以這名學(xué)生參加了剪紙活動的概率為．（2）從高一、高二、高三學(xué)生樣本中各隨機(jī)選取了1名學(xué)生，估計(jì)這3名學(xué)生中恰有2人參加了剪紙活動的概率為：．（3）由題意可知，，，，，故最大，且為0.12．18.已知且，函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于方程恰有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過點(diǎn)，所以，即，解得，所以，即．由，解得．（2）為奇函數(shù)，理由如下：由（1）知，所以，所以，又的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是奇函數(shù)．（3）由，得，所以由，得，解得．由，整理得，解得或．因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有唯一解，所以或解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.已知函數(shù)（或）是定義在上的偶函數(shù)，）．（1）求值，并判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（不要求證明）；（2）設(shè)函數(shù)，，若對任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)（且）是定義在上的偶函數(shù)，所以是定義在上的奇