第03講有理數的加減法（十大題型）1．掌握有理數加法的意義，法則及運算律，并會使用運算律簡算；2．掌握有理數減法的法則和運算技巧，認識減法與加法的內在聯系；3．熟練將加減混合運算統一成加法運算，理解運算符號和性質符號的意義，運用加法運算律合理簡算，并會解決簡單的實際問題.知識點一、有理數的加法1.定義：把兩個有理數合成一個有理數的運算叫作有理數的加法．2.法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數．要點：利用法則進行加法運算的步驟：(1)判斷兩個加數的符號是同號、異號，還是有一個加數為零，以此來選擇用哪條法則．(2)確定和的符號(是“+”還是“－”)．(3)求各加數的絕對值，并確定和的絕對值(加數的絕對值是相加還是相減)．3.運算律：有理數加法運算律加法交換律文字語言兩個數相加，交換加數的位置，和不變符號語言a+b＝b+a加法結合律文字語言三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變符號語言(a+b)+c＝a+(b+c)要點：交換加數的位置時，不要忘記符號．知識點二、有理數的減法1.定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法，例如：(-5)+?＝7，求？，減法是加法的逆運算．要點：（1）任意兩個數都可以進行減法運算．（2）幾個有理數相減，差仍為有理數，差由兩部分組成：①性質符號；②數字即數的絕對值．2.法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：．要點：將減法轉化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數變為它的相反數”．如：知識點三、有理數加減混合運算將加減法統一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.題型1：有理數加法運算【典例1】．下面算法正確的是(

)A． B． C． D．【典例2】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例3】．下面的數中，與的和為0的是（

）A．2023 B． C．－2023 D．【典例4】．如果，那么，兩個實數一定是（

）A．都等于0 B．一正一負 C．互為相反數 D．互為倒數【典例5】．【典例6】．計算：題型2：有理數加法中的符號問題【典例7】．下列省略加號和括號的形式中，正確的是（

）A．B．C．D．【典例8】．為了計算簡便，把寫成省略加號的和的形式，下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【典例9】．將下列式子寫成省略括號的和的形式，并說出它的兩種讀法：（1）；（2）．【典例10】．下列說法中正確的是（

）A．兩數相加，其和大于任何一個加數B．異號兩數相加，其和小于任何一個加數C．絕對值相等的異號兩數相加，其和一定為零D．兩數相加，取較小一個加數的符號作為結果的符號【典例11】．用“＞”或“＜”填空：(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b______0；(2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b______0；(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b______0；(4)如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a＋b______0．題型3：有理數加法運算律【典例12】．下列變形，運用加法運算律正確的是（

）A． B．C． D．【典例13】．運用加法的運算律計算（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最適當的是（）A．[（+6）+（+4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）]B．[（+6）+（-6.8）+（+4）]+[（-18）+18+（-3.2）]C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）]D．[（+6）+（+4）]+[（?18）+18]+[（?3.2）+（?6.8）]【典例14】．計算【典例15】．計算：題型4：有理數加法的實際應用【典例16】．下表是某商行某商品的銷售情況，該商品原價為元，由于市場變動，商行決定降價．發現日銷量y（單位：件）隨降價x（單位：元）的變化如下表所示，則空格處對應的日銷量為（

）降價（元）10203040506070日銷量（件）700740780860900940A． B． C． D．【典例17】．手機支付給生活帶來便捷，如圖是王老師某日微信賬單的收支明細（正數表示收入，負數表示支出，單位：元），王老師當天微信收支的最終結果是（

）微信紅包一來自王某某某平臺商戶掃二維碼付給某店A．收入14元 B．支出3元C．支出18元 D．支出10元【典例18】．小蟲從點O出發在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負，爬行的各段路程依次為：．（單位：）(1)小蟲最后是否回到出發地O？為什么？(2)小蟲離開O點最遠時是多少？(3)在爬行過程中，如果每爬行獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【典例19】．一輛公共汽車從起點站開出后，途中經過7個停靠站，最后到達終點站，下表記錄了這輛公共汽車全程載客變化情況，其中正數表示上車人數．停靠站起點站中間第1站中間第2站中間第3站中間第4站中間第5站中間第6站中間第7站終點站上下車人數00(1)中間第2站上車人數是______人，下車人數是______人，開車時車上人數是______人；(2)中間的7個站中，第______站沒有人上車，第______站沒有人下車，第______站上車人數與下車人數相同；(3)從表中你還能知道什么信息？請說出一條即可．題型5：有理數減法運算【典例20】．計算題：(1)(2)(3)(4)【典例21】．算式的結果對應圖中的（

）

A． B． C． D．【典例22】．下列說法中正確的是()A．比大的負數有個 B．比大的數是C．比小的數是 D．比小的數是【典例23】．根據題意列出式子計算：(1)一個加數是，和是，求另一個加數；(2)求的絕對值的相反數與的相反數的差．【典例24】．若的絕對值為5，的絕對值為9，且，求的值．題型6：有理數減法的實際應用【典例25】．哈爾濱市2023年元旦的最高氣溫為，最低氣溫為，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高（

）A． B． C． D．【典例26】．某礦井下，，三處的海拔高度分別為米，米，米．(1)求處比處高多少米？(2)求處比處高出多少米？題型7：有理數減法在數軸和絕對值中的應用【典例27】．有理數在數軸上的位置如圖，則正確的結論是（

）

A． B． C． D．【典例28】．已知，，求的值．【典例29】．已知：，．(1)求的值；(2)若，求的值；(3)在（2）的條件下，求的值．【典例30】．數軸上點A表示的數是，將點A在數軸上平移7個單位長度得到點B，則點B表示的數是（）A．4 B．或10 C．4或 D．【典例31】．如圖，在數軸上有、、三個點，請回答下列問題．

(1)A、兩點間距離是，、兩點間距離是，A、兩點間距離是．(2)若將點A向右移動個單位到點D，、、這三點所表示的數哪個最大？最大數比最小數大多少？題型8：有理數加減混合運算【典例32】．計算(1)(2)【典例33】．計算：(1)；(2)；(3)．【典例34】．算一算．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；題型9：有理數加減簡便運算【典例35】．．【典例36】．找規律計算：．【典例37】．若，則的負倒數是．【典例38】．已知，則的值為．題型10：有理數加減運算的實際應用【典例39】．一只螞蟻在一根橫木上從某點出發，以筆直的線路來回爬行，規定向右爬行記為正，爬行軌跡記錄如下：（單位：厘米）．(1)螞蟻最后是否回到了出發點？(2)螞蟻離開出發點最遠是______厘米？(3)在爬行過程中，如果螞蟻每爬行1厘米獎勵2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻？【典例40】．某供電局線路檢修班乘汽車沿南北方向檢修線路，記錄員把當天的行車情況記錄如下：到達地點ABCDEFGHIJ前進方向北南北北南北南北南北所走路程（千米）1145371239106(1)如果規定向南為正，求J點在起點的哪個方向？距離起點的路程有多少千米？(2)若汽車每行駛1千米耗油升，汽車出發時裝滿油，油箱的容積為升，那么汽車在中途需要加油嗎？如需加油，應加多少升油？【典例41】．某校舉辦了“廢紙回收，變廢為寶”活動，各班收集的廢紙均以為標準，超過的記為“+”，不足的記為“﹣”，七年級六個班級的廢紙收集情況如表所示，統計員小虎不小心將一個數據弄臟看不清了，但他記得三班收集廢紙最少，且收集廢紙最多和最少的班級的質量差為．班級一二三四五六超過（不足）（kg）0(1)請你計算七年級六班同學收集廢紙的質量；(2)若本次活動收集廢紙質量排名前三的班級可獲得榮譽稱號，請計算獲得榮譽稱號的班級收集廢紙的總質量；(3)若七年級六個班級將本次活動收集的廢紙集中賣出，（包括）以內的2元/千克，超出的部分元/千克，求廢紙賣出的總價格．一、單選題1．下列式子可讀作“負10、負6、正3、負7的和”的是（

）A． B．C． D．2．下列運算正確的有（

）①，②，③，④，⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在有理數的加法與減法運算的學習過程中，小明做過如下數學試驗：“把筆尖放在數軸的原點處，先向左移動個單位長度，再向右移動個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？”下列用算式表示以上過程和結果正確的是（

）A． B．C． D．4．下列運算中正確的是（

）A． B．C． D．5．已知|a|＝2，b＝2，且a，b異號，則（）A．0 B．4 C．0或4 D．不能確定6．一個數是8，另一個數比8的相反數小2，則這兩個數的和為（

）A． B．2 C． D．67．已知a=（-）-，b=-（-），c=--，下列判斷正確的是（

）A．a=b=c B．a=b<c C．a=c<b D．a<b=c8．李明同學記錄嶗山水庫某周的水位情況如下表（水位相對于前一天上升記為“”，相對于前一天水位下降記為“”），則本周末與上周末相比，水位的變化情況為（

）星期一二三四五六日水位變化/米+0.22+0.81-0.36+0.03+0.29-0.35-0.01A．上升0.63米 B．下降0.63米 C．上升0.53米 D．下降0.53米9．如圖，方格中的任一行、任一列以及對角線上的數字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定10．根據圖中程序計算，若輸入的數是，則輸出的結果是（）A．2 B．0 C．4 D．1二、填空題11．比－2.1大1.5的數是，—14與4兩數差的絕對值是；12．計算．可以運用律作簡便運算．13．大于且小于的所有整數的和是．14．金磚五國之一巴西的首都巴西利亞、新西蘭的首都惠靈頓與北京的時差如表（正數表示同一時刻比北京時間早的時數，負數表示同一時刻比北京時間晚的時數）：城市惠靈頓巴西利亞時差/時+4﹣11當北京時間是11月16日8時，巴西利亞的時間是11月日時．15．計算：．16．幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖．如圖所示的幻方中，各行、各列以及各條對角線上的三個數字之和均相等，則圖中的值為．17．計算：．18．如圖，是根據幻方改編的“幻圓”游戲，將，，，0，1，，3，分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎，以及內外兩圈上的4個數字之和都相等．已知圖中的△、⊙分別表示一個數，則△-⊙的值為．

三、解答題19．計算(1)(2)20．計算：21．計算：22．已知的相反數是2，(1)若，求的值．(2)若，求的值．23．數學張老師在多媒體上列出了如下的材料：計算：解：原式上述這種方法叫做拆項法．請仿照上面的方式計算：24．一次數學測試，小明做試卷用小時，檢查試卷用去小時，這時離測試結束還有小時，這次測試規定時間是多少小時？25．已知，．(1)若，，求的值；(2)若，求的值．26．某一出租車一天下午以鼓樓為出發地在東西方向營運，向東為正，向西為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：、、、、、、、、、．(1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發點多遠？在鼓樓的什么方向？(2)若每千米的價格為元，司機一個下午的營業額是多少？27．（1）嘗試：比較下列各式的大小關系：(用填空)①___________；

②_________；③_________；

④__________；（2）歸納：觀察上面的數量關系，可以得到：___________(用填空)（3）應用：利用上面得到的結論解決下面問題：若＝16，＝2，則=______________．（4）拓展：當滿足什么條件時，＞(請直接寫出結果，不需過程)28．平移和翻折是初中數學兩種重要的圖形變換

(1)平移運動①把筆尖放在數軸的原點處，先向負方向移動4個單位長度，再向正方向移動1個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數？用算式表示以上過程及結果是__