高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省萍鄉市2025屆年高三下學期一模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.某中學有初中生600名，高中生200名，為保障學生的身心健康，學校舉辦“校園安全知識”了競賽.現按比例分配的分層隨機抽樣的方法，分別抽取初中生名，高中生名，經統計：名學生的平均成餑為74分，其中名初中生的平均成績為72分，名高中生的平均成績為分，則（）A.74 B.76 C.78 D.80【答案】D【解析】由題意，得可得，解得.故選：D.3.已知向量，，若與垂直，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由已知，得；由與垂直，得，即，可得.因為，所以.故選：A.4.經研究發現湟魚的游速可以表示為函數（單位：m／s），表示湟魚的耗氧量的單位數.某條湟魚想把游速提高2m/s，則它的耗氧量的單位數是原來的（）A.2倍 B.4倍 C.9倍 D.81倍【答案】D【解析】設原來和現在的耗氧量的單位數分別為，，則，所以，所以，所以耗氧量的單位數是原來的81倍.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，則，.故選：D.6.將函數的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，設，則在內的極大值點為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數圖象向右平移個單位長度，得函數的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，所以，則.令，得，或.當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以在內的極大值點為.故選：A.7.設拋物線的焦點為F，斜率不為0的直線l過點，過F作l的垂線，垂足為P，Q是C上的一個動點，則的最小值為（）A. B.6 C. D.7【答案】C【解析】，因為，垂足為，所以點的軌跡是以FA為直徑的圓（不包括F，A兩點），半徑，圓心為，又因為在拋場線上，其準線為直線，過點作準線的垂線，垂足為，則，當四點共錢且在點下方時取等號，.故選：C.8.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點，沿AE將翻折至的位置得到四棱錐，且.若F為棱PB的中點，則點F到平面PCE的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在四邊形中，連接，由題意可知是邊長為1的等邊三角形，則，，，則，可知，即，且，由，，，則，可知.由，，平面，可得平面，又因為平面，所以平面平面取中點O，中點H，連，，則，，可得，因為為等邊三角形，則，平面平面，平面，所以平面.以O為原點，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，可得，，.設平面的法向量，則，令，則，，可得，由點F為線段的中點，知點F到平面的距離是點B到平面的距離的.平面的一個法向量，，點B到平面的距離，所以點F到平面的距離為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，（）在復平面內對應的向量分別為，（其中為原點），則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為3C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】對于A，若，則復平面內以有向線段和為鄰邊平行四邊形是矩形，根據矩形的對角線相等和復數加減法的幾何意義可知，選項A正確；對于B，若，則點的軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓，設，則，因為，可得，故B正確；對于C，，取，顯然，但，故C錯誤；對于D，兩個復數當且僅當它們同為實數時才能比較大小，故D錯誤.故選：AB.10.已知曲線，則（）A.不是封閉圖形B.有4條對稱軸C.與坐標軸有4個交點D.與直線有4個交點【答案】ACD【解析】對于A，因，所以或，所以E是由單位圓M和實軸長為2，焦點為的等軸雙曲線構成，故A正確；對于B，由A項分析知，E只關于軸，軸對稱，所以E只有兩條對稱軸，故B錯誤；對于C，由A項分析可知，曲線E與坐標軸的交點為，故C正確；對于D，因為C的一條漸近線方程為且，根據雙曲線的性質可知，直線與雙曲線有2個交點，又直線與圓M有2個交點，故直線與有4個交點，故D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.若有2個零點，則B.當時，是增函數C.當時，恒成立D.當時，若是的零點，則【答案】ABD【解析】顯然，由，得，所以直線與函數的圖象有2個交點，又，所以當或時，；當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，從而在處取得極小值.又時，；當時，；當時，，在同一直角坐標系中作出的圖象以及直線，由圖可見，當且僅當時，直線與的圖象有兩個公共點，故A正確；當時，，對求導得.再對求導得.令，即，解得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以在處取得最小值，，即恒成立，所以是增函數，選項B正確.當時，，，所以不恒成立，選項C錯誤.當時，，，.因為是增函數，且，所以由零點存在定理可知，的零點滿足，選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知直線的斜率為，則的最大值為______.【答案】【解析】，當且僅當時取等號，所以k的最大值為.故答案為：.13.現有兩個抽獎箱M，N，其中M中裝有3個紅球和2個白球，N中裝有4個紅球和3個白球.每次抽獎時，先從兩個箱子中隨機選取一個，然后再從選中的箱子中隨機抽取一個球，則抽到紅球的概率為______.【答案】【解析】設事件C＝“抽到紅球”，事件A＝“選到抽獎箱M”，事件為“選到抽獎箱N”，，則，，根據全概率公式，得.故答案為：.14.設函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意，，當時，，，所以；當時，，，所以，等號僅當時成立，所以.所以對，即，即.令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，因此.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求C；（2）若，求的面積的最大值.解：（1）由及正弦定理，得，因為，所以.又（若，則，所以，這與矛盾，所以假設不成立，從而），所以，即.（2）由余弦定理，得，所以，所以，當且僅當時等號成立，則，即的面積的最大值為.16.已知函數，其中.（1）若的圖象在處的切線經過點，求a的值；（2）討論的單調性.解：（1），因為，，所以的圖象在處的切線方程為，將代入得，解得；（2），當時，，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，，所以在上單調遞增.當時，令，得或；令，得，所以，上單調遞增，在上單調遞減.當時，令，得或；令，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.17.如圖，在四棱錐中，，.（1）求證：平面ABCD⊥平面PBD；（2）若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.（1）證明：因為，，所以A，C均在BD的垂直平分線上，所以，，因為，，，所以，所以，所以，即.又因為，，平面，平面PBD，所以平面，又因為平面ABCD，所以平面平面PBD.（2）解：由（1）可知，因為，，，所以，則，所以，，由（1）可知，又因為，所以，所以.又因為，所以OB，OC，OP兩兩垂直.以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，.設平面PAB的法向量為，則，令，得，設平面PCD的法向量為，則，令，得，因為，所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.18.如圖所示，由橢圓（）和拋物線（）組合成曲線，若與存在共同焦點，由圖形特點，它們的形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距成等差數列，則稱其為“等差橢圓”.（1）求“等差橢圓”的離心率；（2）在“七星瓢蟲曲線”中，若是“等差橢圓”，且.（ⅰ）求與和都相切的直線的方程；（ⅱ）直線（），且l與相交所得弦的中點為M，與相交所得弦的中點為N，證明：直線OM，ON（O為原點）的斜率之積為定值.解：（1）設橢圓的半焦距為c，因為長半軸、短半軸、半焦距成等差數列，所以，又，所以，則，兩邊同時除以，得，解得（舍去）.所以“等差橢圓”的離心率為.（2）（ⅰ）解：若是“等差橢圓”，且，則由，得，則，，解得.故，.易知與和都相切的直線斜率存在且不為0，設方程為：.聯立消去y得，則，得；①聯立消去得，則，得，②聯立①②，解得或故和都相切的直線方程為或.（ⅱ）證明：設l與相交于，，線段CD的中點，則，，兩式相減