高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省八所重點中學2025屆高三下學期4月聯考數學試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知復數，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由，所以，所以，故選：B2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，即，由，解得，即，所以.故選：C3.若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設向量與的夾角為，則由題意可知，，因為向量的夾角，所以.故選：B.4.在的展開式中，的系數為（）A.3 B.6 C.60 D.30【答案】C【解析】根據二項式定理，可得展開式的通項為（）.

要求的系數，則的次數，此時.

同樣根據二項式定理，展開式的通項為（）.

要得到，則令，解得.

當，時，的系數為在的展開式中，的系數為60.故選：C.5.若雙曲線的漸近線與圓有公共點，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點，圓心到漸近線的距離不大于半徑，即，，，．故選：D．6.已知，若，當取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，根據兩角和與差的正弦公式展開可得：，移項可得：．因為，所以，，等式兩邊同時除以，得到．

根據兩角差的正切公式可得：．

令，因為，所以，則．根據基本不等式：，當且僅當，即，時等號成立．所以，即當時，取得最大值．

因為，當時，．

當取得最大值時，，故選：A．7.已知數列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調數列【答案】C【解析】設，則.已知，將，代入可得：可得.兩邊取倒數，即.又因為，所以，則.所以數列是以為首項，為公差的等差數列.根據等差數列通項公式，則.所以.

當時，，所以選項A錯誤.

由前面計算可知，所以選項B錯誤.

因為，當增大時，減小，減小，且時，，，所以有最大值，選項C正確.

由可知，，所以是單調遞減數列，選項D錯誤.

故選：C.8.已知，若在上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為恒成立，所以和有兩個相同正根.對于方程，兩邊同乘得.由一元二次方程性質，有兩個不同正根，則，且，.由可得，可得.根據對數運算法則，所以，即.令，對求導，.令，即，解得.當時，，遞增；當時，，遞減所以在處取最大值，.綜上，的最大值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在江西省重點中學協作體2025屆高三第一次聯考中，某校高三年級參加了聯考，該校有600個學生數學及格（90分及以上），從數學及格的學生中隨機抽取100個學生的數學成績進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計該校有96名學生數學成績不低于120分C.用頻率估計概率，已知某學生數學成績不低于100分，則該生數學成績不低于130的概率為0.2D.成績在和內學生的男女比例分別為和，從成績在的學生中隨機抽1學生，該生是女生的概率為【答案】ABD【解析】依題意可得，解得，故A正確；該600名學生中成績在的頻率為，人數約為人，故B正確；用頻率估計概率，已知某學生數學成績不低于100分，則該生數學成績不低于130的概率為0.2因為成績不低于100分的頻率為，成績不低于130的概率的頻率為，所以某學生數學成績不低于100分，則該生數學成績不低于130的概率為，故C錯誤；的頻率是，的頻率為，成績在和內學生的男女比例分別為和，所以從成績在的學生中隨機抽1學生，該生是女生的概率為，故D正確.故選：ABD10.已知兩點的坐標分別為為坐標平面內的動點，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設動點的軌跡為．則（）A.軌跡關于原點對稱B.軌跡關于直線對稱C.當時，軌跡為一條直線D.當時，軌跡存在最高點【答案】BD【解析】設，則，整理得，即，所以軌跡為挖去兩個點的關于軸對稱的拋物線，故A錯誤，B正確；當時，，即一條直線挖去了兩個點，故C錯誤；當時，軌跡為，開口向下，有最高點，故D正確．故選：BD11.如圖，棱長為3的正方體，動點在正方體內及其邊界上運動，點在棱上，且，則下列說法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積為定值B.若，則動點所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動點在正方形內（包含邊界），異面直線與所成角為．則的軌跡所在圓錐曲線的離心率為【答案】ABD【解析】對A,因為動點在正方體內及其邊界上，且，則的軌跡為線段．由于，平面，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對B,易知平面，動點在正方體內及其邊界上，且，所以動點所圍成的圖形是矩形，則面積為，故B正確；對C，設邊上的高為,則，由正弦定理可得，所以，故，以為點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，設，，則，又因為，整理得：，所以空間動點的軌跡是以為球心，2為半徑且位于正方體內的部分球體，又因為，所以，故C錯誤；對D,在棱上取，則．因異面直線與所成角為，則直線與所成角為，故空間動點的軌跡是以為旋轉軸，為母線的共頂點的雙圓錐，直線是圓錐的一條母線，又動點在底面內，故動點的軌跡在平面與雙圓錐的截痕（橢圓）上，橢圓以為長軸，球是底面與圓錐封閉幾何體的內切球，球與底面的切點為橢圓靠近頂點的焦點．如圖，即，即，則，所以橢圓的離心率，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若事件?相互獨立，，，則__________．【答案】【解析】若事件?相互獨立，，，則故答案為：13.過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為__________．【答案】4【解析】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，而，當最小時，最小，則最小；由于P在拋物線上，設，則，當時，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4，故答案為：414.已知是圓上的一個動點，則的最大值為__________．【答案】【解析】方法一（幾何法）解：設圓為的外接圓，且半徑為，則，故由于點既在圓上，也在圓上，即圓與圓有公共點，當圓與圓內切時，圓的半徑最小，即由于邊的垂直平分線為，設，則，兩邊平方得，兩邊消去得：，即，.則，故.方法二（代數法）設，當時等號成立．即，則．故故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的內角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得在中，，則，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以．16.如圖，在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，且，沿將折起，使點到達點．（1）求證：：（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點，連接，由，得，由等邊，得，而平面，，則平面，又平面，所以.（2）解：依題意，的面積為，三棱錐體積，則當且僅當點到平面的距離最大時，三棱錐體積最大，在中，，，因此當平面時，三棱錐體積最大，在平面內過作于，連接，由平面，平面，得，而平面，于是平面，又平面，則，是二面角的平面角，在中，，在中，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角坐標平面內，設是圓上的動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的動直線交于兩點，求面積的最大值．解：（1）設，則，過作軸的垂線，垂足為,則，因為，則，則整理得代入中得，整理得，所以曲線C的方程為．（2）依題意知道，直線不垂直于軸，則設其方程為，由消去并整理得，，解得，設，則則，令，則，且當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為．18.為了增強學生體質，學校舉辦趣味爬樓梯比賽．從地面開始，小明爬樓梯有兩種方式，一步上一級臺階或2級臺階，其中一步上一級臺階的概率為，上兩級臺階的概率為，爬樓梯過程中，小明爬到第n個臺階的概率為（1）求的值；（2）設隨機變量表示小明爬3步上的臺階總數，求的分布列及數學期望；（3）求．解：（1）由題可知，（2）隨機變量所有可能取值為：3，4，5，6，的分布列3456；（3）爬到第個臺階有兩種情況：情形一：爬到第個臺階，下一步上兩個臺階爬到第個臺階，情形二：爬到第個臺階，下一步上一個臺階爬到第個臺階，故，則，所以，，又，故是等比數列，，故.19.數學家高斯在研究整數問題時，發明了取整符號，用表示不超過的最大整數，例如，．（1）分別求函數和值域；（2）若，求函數的值；（3