高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省鎮江市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某醫療研究機構為了解打鼾與患心臟病的關系，運用列聯表進行獨立性檢驗，經計算，則所得到的統計學結論是認為打鼾與患心臟病有關系的把握約為（）0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以有的把握認為打鼾與患心臟病有關系．故選：B．2.有一組數據：2，4，5，7，6，7，x，10，這組數據的平均數為6，則這組數據的方差為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】依題意，，解得，所以組數據的方差為.故選：A3.已知，的取值如下表所示，從散點圖分析可知與線性相關，如果線性回歸方程為，則實數的值為（）234566.51011.518.5A13 B.13.5 C.14 D.14.5【答案】B【解析】由題意可知，，因為線性回歸方程一定過樣本中心點，，所以，所以，解得．故選：B．4.的展開式中含項的系數為（）A.10 B.40 C.80 D.120【答案】C【解析】由二項式定理可知，展開式中含項的系數為.故選：C.5.以下運算結果為的是（）A.3封不同的信投入4個不同的郵筒的投法B.4個運動員爭奪3個項目的冠軍（每個項目只有一個冠軍）C.3塊地種植4種不同的蔬菜的種法D.4個同學購買3種不同的書籍，每人購買1本的種數【答案】D【解析】對于A，3封不同的信投入4個不同的郵筒的投法有種，故A錯誤；對于B，4個運動員爭奪3個項目的冠軍（每個項目只有一個冠軍），共有種可能，故B錯誤；對于C，3塊地種植4種不同的蔬菜的種法有種，故C錯誤；對于D，4個同學購買3種不同的書籍，每人購買1本的種數有種，故D正確.故選：D.6.某單位計劃安排“五一”假期間值班人員，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，則不同值班的方法數為（）A.60 B.180 C.240 D.300【答案】C【解析】方法一（不平均分組）：由題意這五天中有一人值了兩天班，即四人的值班天數為，故所求為，方法二：從五天中選兩天分配給其中一人，再將剩下的三人、三天進行全排列，故所求為.故選：C.7.的個位數是（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】因為，而是10的倍數，所以的個位數是.故選：A.8.某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是（）A.15 B.18 C.22 D.26【答案】D【解析】甲是特等獎，不考慮丙位置有種；甲不是特等獎，不考慮丙的位置有種；而丙在丁和戊之間占，所以5人獎項的所有可能的種數是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數據如下：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，則下列說法中正確的是（）A.這組數據的極差為5 B.這組數據的平均數為4.5C.這組數據的眾數為4 D.這組數據的第70百分位數是5【答案】AC【解析】對于A，這組數據的極差為，故A正確；對于B，這組數據的平均數為，故B錯誤；對于C，這組數據中出現次數最多的數是4，所以這組數據的眾數為4，故C正確；對于D，因為，所以這組數據的第70百分位數是第7個數和第8個數的平均數：5.5，故D錯誤.故選：AC.10.已知，下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，取，得，A正確；對于B，取，得，則，B錯誤；對于C，對給定等式兩邊求導得，取，得，C錯誤；對于D，取，得，則，于是，D正確.故選：AD11.定義“圓排列”：從n個不同元素中選m個元素圍成一個圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數計為.圓排列是排列的一種,區別于通常的“直線排列”，既無“頭”也無“尾”，所以.現有2個女生4個男生共6名同學圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，則（）A.共有種排法 B.若兩名女生相鄰，則有種排法C若兩名女生不相鄰，共有種排法 D.若男生甲位置固定，則有種排法【答案】ABD【解析】對于A：現有2個女生4個男生共6名同學圍坐成一圈，共有種排法，A選項正確；對于B：若兩名女生相鄰，則有種排法，B選項正確；對于C：若兩名女生不相鄰，共有種排法，C選項錯誤；對于D：若男生甲位置固定，考慮以甲為基準的順逆時針排列，則有種排法，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算_______.【答案】21【解析】.故答案為：2113.某項比賽的主辦方為提高觀眾參與積極性，分別邀請了10名觀眾做場內評委和10名觀眾做場外評委，比賽按10分制打分.某個選手的得分情況是：場內評委打出的均分為8分，場外每個評委打分和場內每個評委的打分正好滿足.最終比賽得分為所有評委打分的均分，則此選手最終得分為_______.【答案】8.3【解析】依題意，，，所以此選手最終得分為.故答案為：8.314.為研究方程正整數解的不同組數，我們可以用“擋板法”：取8個相同的小球排成一排，這8個小球間有7個“空擋”，在這7個“空擋”中選擇2個“空擋”，在每個“空擋”插入1塊擋板，2塊擋板將這8個小球分成“三段”，每段小球的個數分別對應，，的一個正整數解，由此可以得出此方程正整數解的不同組數為．據此原理，則方程的正整數解的不同組數為__（用數字作答）；該方程自然數解的不同組數為__（用數字作答）．【答案】84；286【解析】由題意，則方程的正整數解的不同組數為，若中沒有，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，該方程自然數解的不同組數為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.小吳同學計劃利用“五一小長假”深度游玩鎮江的五處名山：金山、焦山、北固山、茅山、寶華山，每天游玩一山，每山游玩一天．（1）若計劃前兩天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，總共有多少種安排方案；（2）金山、焦山、北固山位于市區，茅山、寶華山位于句容，若考慮交通因素，計劃市區的三山連續三天游玩，句容的兩山連續兩天游玩，共有多少種安排方案；（3）金山、焦山、寶華山均屬于佛教名地，若計劃第一天與最后一天均游覽佛教名地，共有多少種安排方案．解：（1）若計劃前兩天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，總共有種安排方案.（2）金山、焦山、北固山位于市區，茅山、寶華山位于句容，若考慮交通因素，計劃市區的三山連續三天游玩，句容的兩山連續兩天游玩，共有種安排方案.（3）金山、焦山、寶華山均屬于佛教名地，若計劃第一天與最后一天均游覽佛教名地，共有種安排方案．16.某電商為了解第一季度用戶的網購次數，統計發現在第一季度內網購次數在間的有2千萬用戶，在這2千萬戶中隨機抽取2000戶統計分析他們的網購次數，將數據整理后，分為6組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），由于人員失誤，導致第一組和第二組的數據丟失，只知道第二組頻率是第一組的2倍.（1）試估計在抽取的2000戶中第一季度網購次數不超過100次的戶數；（2）估計這2千萬戶在第一季度的網購次數的平均數和中位數（結果精確到小數點后1位）；（3）該電商已經用分層抽樣的方法在和這兩組用戶中共選擇了9戶.現從這9戶中隨機抽取6戶，求在這抽取的6戶中至多有2戶來自這組的抽法數.解：（1）由頻率分布直方圖，得，解得，由第二組頻率是第一組的2倍，得，解得，因此第一季度網購次數不超過100次的頻率為，戶數為.（2）由（1）知，從第一組到第六組的頻率依次是，樣本平均數：，第一組到第三組的頻率和為，第一組到第四組的頻率和為，因此樣本數據的中位數，則，解得，由此估計2千萬戶在第一季度的網購次數的平均數和中位數分別為121.8次和121.3次.（3）抽取的9戶中，在的戶數為，在的戶數為6，從9戶中隨機抽取6戶，有種抽法，其中在的戶數為3的抽法數為，所以抽取的6戶中至多有2戶來自這組的抽法數為.17.已知展開式中，二項式系數最大的項為第6項，且展開式中第二項系數為20.（1）求實數的值；（2）求展開式中的常數項；（3）求展開式中系數最大的項.解：（1）因為二項式系數最大的項為第6項，所以，解得，所以展開式為，而展開式中第二項系數為20，從而，解得；（2）由（1）可知，展開式為，令，解得，故所求為；（3）設展開式中系數最大的項為第項，則，即，即，解得，所以，所以展開式中系數最大的項為，經檢驗符合題意.18.在人體生長發育過程中，人體的各部分與身高都有一定的比例關系，根據腳長推測身高具有重要的意義．為研究根據腳長推測身高的方法，某班級數學興趣小組對本班50名同學進行了隨機抽樣調查，用簡單隨機抽樣的辦法抽取10名同學，測量每個人的腳長和身高，記錄相關數據并進行統計分析，現將相關數據整理如下：（單位：厘米）腳長18.920.221.121.922.823.623.925.325.826.5身高159161163165167172173177179184（1）根據上表數據，請計算腳長與身高的相關系數，并說明線性相關性的強弱；（相關系數精確到小數點后2位）（2）根據此小組研究的數據，若某同學的腳印長，試推測該同學的身高．（計算過程中結果精確到小數點后1位）（注：當，則認為與的線性相關性較弱；當，則認為與的線性相關性很強）．附：本題可能涉及到數據和公式：；；；；回歸方程：，其中，．相關系數：．解：（1）由題意可得，所以腳長與身高線性相關性很強；（2），，，所以，線性回歸方程為，當時，，所以當某同學的腳印長，該同學身高的估計值為．19.（1）請在以下兩個組合恒等式中選擇一個證明（如果兩個都選，則按第①個計分）；①，②.（2）某同學在研究組合