第1頁（共1頁）2025年江蘇省蘇州市昆山市晨曦中學等多校中考數學第一次聯考試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.）1．（3分）據中國經濟網資料顯示，今年一季度全國居民人均可支配收入平穩增長，全國居民人均可支配收入為10870元．10870這個數用科學記數法表示正確的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×1032．（3分）下列運算結果正確的是（）A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x23．（3分）如圖，將直角三角板放置在矩形紙片上，若∠1＝48°，則∠2的度數為（）A．42° B．48° C．52° D．60°4．（3分）在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%左右，則a的值大約為（）A．16 B．20 C．24 D．285．（3分）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，過的中點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣6．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定7．（3分）如圖，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D（3，2）在對角線OB上，反比例函數的圖象經過C、D兩點．已知平行四邊形OABC的面積是18，則點B的坐標為（）A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）8．（3分）已知二次函數y＝mx2+nx（m≠0），經過點A（c，4）．當y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，則如下四個值中有可能為c的是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝．10．（3分）若單項式2xm﹣1y2與單項式是同類項，則m+n＝．11．（3分）點P（2，3）關于x軸的對稱點的坐標為．12．（3分）如圖，O是△ABC內任意一點，D、E、F分別為AO、BO、CO上的點，且△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O．若AD＝AO，則△ABC與△DEF的位似比為．13．（3分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結果保留根號）．14．（3分）若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，則a+b﹣2ab的值是．15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，點D、E分別為AC，BA的中點，點P從A點向D點運動，點Q在DE上，且DQ＝DP，連接CQ，過點Q作QF⊥CQ交AB與點F，設點P運動的路程為x，△CQF的面積為y，則y與x之間關系為．16．（3分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，則的最小值為．三、解答題（本大題共有8小題，共82分）17．（5分）計算：．18．（5分）先化簡，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．19．（6分）解分式方程：﹣＝．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度數；（2）求證：AE+BF＝BC．21．（6分）為了解A、B兩種鐵觀音茶葉的畝產量，工作人員從兩種類型的鐵觀音中各隨機抽取10畝，在完全相同條件下試驗，統計了茶葉的畝產量（單位：千克/畝），并進行整理、描述和分析（畝產量用x表示，共分為三個等級：合格50≤x＜55，良好55≤x＜60，優秀x≥60），下面給出了部分信息：10畝A型鐵觀音茶葉的畝產量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．10畝B型鐵觀音茶葉中“良好”等級包含的所有數據為：57，57，57，59．抽取的A、B型鐵觀音畝產量統計表B型鐵觀音茶葉畝產量扇形統計圖型號AB平均數5656中位數56b眾數a57方差7.415.8“優秀”等級所占百分比10%20%根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，m＝．（2）根據以上數據，你認為哪款茶葉更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）若某市今年種植B型鐵觀音茶葉4000畝，估計今年B型鐵觀音茶葉畝產量在“良好”等級及以上的有多少畝？22．（6分）為弘揚中華傳統文化，某地近期舉辦了中小學生“國學經典大賽”．比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經”的概率為，是事件（填“隨機”或“不可能”或“必然”）？（2）小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b與反比例函數的圖象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）兩點，一次函數y＝kx+b的圖象與y軸交于點C．（1）求一次函數解析式；（2）根據函數的圖象，直接寫出不等式的解集；（3）點P是x軸上一點，△BOP的面積等于△AOB面積的2倍，求點P坐標．24．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為10，求AE的長．25．（10分）銷售紀念品，每個紀念品進價40元，規定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；（2）求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利w最大？最大利潤是多少？（3）商家每天銷售紀念品獲得的利潤w不少于2250元時，紀念品的銷售單價在什么范圍？26．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，交y軸于點C（0，6）．（1）求拋物線的表達式；（2）點F是直線BC上方拋物線上的一動點，過點F作FD⊥BC，交BC于點D，過點F作y軸的平行線交直線BC于點E，過點D作DG⊥EF，交EF于點G，求FG的最大值及此時點E的坐標；（3）在（2）問中FG取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．27．（10分）某研究學習小組給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷線段BD，EF，AB之間的數量關系并證明；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若，△ACD面積是△ABD面積兩倍，則△AEF的面積為．

2025年江蘇省蘇州市昆山市晨曦中學等多校中考數學第一次聯考試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDABBAAA一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.）1．（3分）據中國經濟網資料顯示，今年一季度全國居民人均可支配收入平穩增長，全國居民人均可支配收入為10870元．10870這個數用科學記數法表示正確的是（）A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：10870＝1.087×104．故選：B．【點評】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（3分）下列運算結果正確的是（）A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2【分析】根據平方差公式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、2x3+3x3＝5x3，故A不符合題意；B、m2n與﹣2mn2不能合并，故B不符合題意；C、（ab2）3＝a3b6，故C不符合題意；D、（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平方差公式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．3．（3分）如圖，將直角三角板放置在矩形紙片上，若∠1＝48°，則∠2的度數為（）A．42° B．48° C．52° D．60°【分析】利用平行線的性質得出∠3＝∠1，再利用直角三角形的性質得出∠2即可求解．【解答】解：如圖，延長AB交矩形紙片于D，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°．故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．4．（3分）在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%左右，則a的值大約為（）A．16 B．20 C．24 D．28【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．【解答】解：根據題意知＝20%，解得a＝20，經檢驗：a＝20是原分式方程的解，故選：B．【點評】本題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩定值即概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．5．（3分）如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，過的中點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣【分析】根據矩形的判定定理得到四邊形CDOE是矩形，連接OC，根據全等三角形的性質得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根據扇形和正方形的面積公式即可得到結論．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四邊形CDOE是矩形，連接OC，∵點C是的中點，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴圖中陰影部分的面積＝﹣1×1＝﹣1，故選：B．【點評】本題考查了扇形面積的計算，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正確識別圖形是解題的關鍵．6．（3分）關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定【分析】表示出根的判別式，判斷判別式的正負即可確定出方程根的情況．【解答】解：由關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，則方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點評】此題考查了根的判別式，弄清根的判別式與方程根的關系是解本題的關鍵．7．（3分）如圖，平行四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點D（3，2）在對角線OB上，反比例函數的圖象經過C、D兩點．已知平行四邊形OABC的面積是18，則點B的坐標為（）A．（6，4） B．（4，6） C．（5，4） D．（4，5）【分析】先求出反比例函數，設OB的解析式為y＝mx，由OB經過D（3，2），得出OB的解式為，設，且a＞0，由平行四邊形的性質得BC∥OA，S?OABC＝2S△OBC，則，，代入面積公式即可得出結果．【解答】解：∵反比例函數的圖象經過點D（3，2）∴k＝3×2＝6，∴反比例函數的解析式為，∵OB經過原點O，∴設直線OB的解析式為y＝mx（m≠0），∵OB經過點D（3，2），∴2＝3m，∴，∵直線OB的解析式為，∵反比例函數經過點C，∴設，且a＞0，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC∥OA，S?OABC＝2S△OBC，∴點B的縱坐標為，∵OB的解析式為，∴，∴∴，∴，∴，∵平行四邊形OABC的面積是18，∴S平行四邊形OABC＝2S△OBC＝，解得：或（舍去），∴點B的坐標是（6，4），故選：A．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數的解析式、平行四邊形的性質、三角形的面積，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．8．（3分）已知二次函數y＝mx2+nx（m≠0），經過點A（c，4）．當y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，則如下四個值中有可能為c的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，可得x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程mx2+nx+2＝0的兩個根，則有n＝8m，再得c2+8c≤32，利用m的取值范圍確定c的取值范圍即可求解．【解答】解：當y≥﹣2時，mx2+nx≥﹣2，∴mx2+nx+2≥0，∵當y≥﹣2時，x的取值范圍為x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，∴x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程的兩個根，∴，∴n＝8m，∴y＝m（x+4）2﹣16m，∴x＝﹣4是函數的對稱軸，且﹣16m≤﹣2，∴，∴mc2+8mc＝4，∴，∴，∴c2+8c＞0，∴0＜c2+8c≤32，∴﹣32＜c2+8c﹣32≤0，設拋物線y＝c2+8c﹣32，令0＝c2+8c﹣32，解得，令﹣32＝c2+8c﹣32，解得c3＝0，c2＝﹣8，根據拋物線開口向上，∴c2+8c﹣32≤0的解集為或∴c的可能取值為2，故選：A．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，二次函數圖象上點的坐標特點是解題的關鍵．二、填空題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝n（m+2）（m﹣2）．【分析】原式提取n，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），故答案為：n（m+2）（m﹣2）【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．10．（3分）若單項式2xm﹣1y2與單項式是同類項，則m+n＝4．【分析】根據同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項；可列等式分別求出m，n的值，再代入求解即可．【解答】解：∵單項式2xm﹣1y2與單項式是同類項，∴m﹣1＝2，n+1＝2，解得：m＝3，n＝1，∴m+n＝3+1＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了同類項的概念，正確理解同類項的定義是解題的關鍵．11．（3分）點P（2，3）關于x軸的對稱點的坐標為（2，﹣3）．【分析】根據關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數．即點P（x，y）關于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y）得出即可．【解答】解：∵點P（2，3）∴關于x軸的對稱點的坐標為：（2，﹣3）．故答案為：（2，﹣3）．【點評】此題主要考查了關于x軸、y軸對稱點的性質，正確記憶坐標規律是解題關鍵．12．（3分）如圖，O是△ABC內任意一點，D、E、F分別為AO、BO、CO上的點，且△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O．若AD＝AO，則△ABC與△DEF的位似比為．【分析】根據△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O，得出OA與OD的比值，即可得出△ABC與△DEF的位似比．【解答】解：∵O是△ABC內任意一點，D、E、F分別為AO、BO、CO上的點，且△ABC與△DEF是位似三角形，位似中心為O．AD＝AO，∴＝，則△ABC與△DEF的位似比為：．故答案為：．【點評】此題主要考查了位似圖形的性質，利用位似比等于相似比是解決問題的關鍵．13．（3分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結果保留根號）．【分析】解Rt△APC求出AC、PC，再解Rt△PCB求出PB即可．【解答】解：由題意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝PA＝×30＝15（海里），∴PC＝AC＝×15＝15（海里），在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝15海里，∴BP＝PC＝×15＝15（海里），故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，解決本題的關鍵是求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題．14．（3分）若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，則a+b﹣2ab的值是﹣1．【分析】由題意得到a與b為方程x2﹣5x+3＝0的兩根，利用根與系數的關系求出a+b與ab的值，原式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：由題意可知：a與b為方程x2﹣5x+3＝0的兩根，∴a+b＝5，ab＝3，∴a+b﹣2ab＝5﹣2×3＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】此題考查了根與系數的關系，以及代數式求值，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，點D、E分別為AC，BA的中點，點P從A點向D點運動，點Q在DE上，且DQ＝DP，連接CQ，過點Q作QF⊥CQ交AB與點F，設點P運動的路程為x，△CQF的面積為y，則y與x之間關系為．【分析】過點F作FN⊥BC于點N，延長NF交DE的延長線于點M，利用矩形的判定與性質可得MN＝CD＝4，設ME＝MF＝m，利用相似三角形的判定與性質求得m，進而求得NF，MF的長，利用S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF求得y與x之間關系，再利用二次函數的性質和x的取值范圍解答即可得出結論．【解答】解：在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，點D、E分別為AC，BA的中點，如圖，過點F作FN⊥BC于點N，延長NF交DE的延長線于點M，∴，DE∥BC，∴MN⊥DE，∴四邊形CDMN為矩形，∴．∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°．∵FN⊥BC，∴∠NFB＝45°，∴∠EFM＝∠NFB＝45°．∴△MEF為等腰直角三角形，∴ME＝MF．設ME＝MF＝m，由題意得：PA＝x，則DP＝4﹣x，∵DQ＝DP，∴DQ＝4﹣x，∴QE＝DE﹣DQ＝4﹣（4﹣x）＝x．∵QF⊥CQ，∴∠DQC+∠MQF＝90°，∵∠DQC+∠DCQ＝90°，∴∠DCQ＝∠MQF．∵∠CDQ＝∠QMF＝90°，∴△DCQ∽△MQF，∴，∴，解得：m＝4﹣x，∴MF＝4﹣x．∴FN＝MN﹣MF＝x．∵S△CQF＝S梯形CDEB﹣S△CDQ﹣S△QEF﹣S△BCF，∴＝＝＝＝，由題意：x的取值范圍為：0≤x≤4，故答案為：．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，函數關系式，等腰直角三角形，三角形中位線定理，矩形的判定與性質，作出正確的輔助線是解答本題的關鍵．16．（3分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（2，0），與y軸交于點C．將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，則的最小值為．【分析】把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，連接BM，過A作AH⊥BM于H，交拋物線對稱軸直線于P′，設直線交x軸于N，求出B（2，0），，，MN＝3，可得，，即得，從而，由垂線段最短可知，當P與P′重合時，最小，最小值為AH的長度，根據面積法求出，故的最小值為，解題的關鍵掌握胡不歸問題的解決方法．【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，解得c＝﹣2，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2，∵，∴拋物線y＝x2﹣x﹣2開口向上，頂點坐標為，對稱軸為直線；如圖，連接BM，過A作AH⊥BM于H，交拋物線對稱軸直線于P′，設直線交x軸于N，令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0），∴，∵將頂點向下平移個單位長度得到點M，∴，MN＝3，∴，∴，∴，∴，∴，當P與P′重合時，最小，最小值為AH的長度，∵2S△ABM＝AB?MN＝BM?AH，∴，故答案為：．【點評】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，銳角三角函數，胡不歸問題等，正確進行計算是解題關鍵．三、解答題（本大題共有8小題，共82分）17．（5分）計算：．【分析】利用特殊銳角三角函數值，負整數指數冪，絕對值的性質，算術平方根的定義計算后再算加減即可．【解答】解：原式＝2×++2﹣﹣3＝++2﹣﹣3＝﹣．【點評】本題考查實數的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（5分）先化簡，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【分析】先根據完全平方公式和單項式乘以多項式法則算乘法，再合并同類項，最后代入求出即可．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，當x＝2時，原式＝2+1＝3．【點評】本題考查了整式的混合運算和求值，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．19．（6分）解分式方程：﹣＝．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣2（x+3）＝x﹣3，去括號得：3﹣2x﹣6＝x﹣3，移項合并得：﹣3x＝0，解得：x＝0，經檢驗x＝0是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，利用了．轉化的思想，解分式方程注意要檢驗20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°．（1）求∠ADC的度數；（2）求證：AE+BF＝BC．【分析】（1）由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分線定義得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性質即可得出答案；（2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，證出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，證明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出結論．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°；（2）證明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，∴AD＝CD，∵∠EDF＝108°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∵CF+BF＝BC，∴AE+BF＝BC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．21．（6分）為了解A、B兩種鐵觀音茶葉的畝產量，工作人員從兩種類型的鐵觀音中各隨機抽取10畝，在完全相同條件下試驗，統計了茶葉的畝產量（單位：千克/畝），并進行整理、描述和分析（畝產量用x表示，共分為三個等級：合格50≤x＜55，良好55≤x＜60，優秀x≥60），下面給出了部分信息：10畝A型鐵觀音茶葉的畝產量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．10畝B型鐵觀音茶葉中“良好”等級包含的所有數據為：57，57，57，59．抽取的A、B型鐵觀音畝產量統計表B型鐵觀音茶葉畝產量扇形統計圖型號AB平均數5656中位數56b眾數a57方差7.415.8“優秀”等級所占百分比10%20%根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝55，b＝57，m＝40．（2）根據以上數據，你認為哪款茶葉更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）若某市今年種植B型鐵觀音茶葉4000畝，估計今年B型鐵觀音茶葉畝產量在“良好”等級及以上的有多少畝？【分析】（1）根據眾數、中位數概念可求出a、b的值，由B型中“良好”等級占40%，“優秀”等級所占百分比為20%，可求出m的值；（2）比較A型、B型的中位數、眾數可得答案（答案不唯一）；（3）用樣本估計總量，即可得答案．【解答】解：（1）在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出現次數最多的是55，∴眾數a＝55，∵B型中“良好”等級有4個，占40%，∴“合格”等級占1﹣40%﹣20%＝40%，即m＝40，把B型數據從小到大排列后，第5個和第6個數都是57，∴；故答案為：55，57，40；（2）B款茶葉更好，理由：因為B款茶葉的中位數和眾數都大于A款茶葉的，所以B款茶葉更好（答案不唯一）；（3）估計今年B型鐵觀音茶葉畝產量在“良好”等級及以上的有4000×（40%+20%）＝2400（畝），答：估計今年B型鐵觀音茶葉畝產量在“良好”等級及以上的有2400畝．【點評】本題考查樣本估計總量，涉及眾數、中位數、平均數，解題的關鍵是掌握數據收集與整理的相關概念．22．（6分）為弘揚中華傳統文化，某地近期舉辦了中小學生“國學經典大賽”．比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經”的概率為，是隨機事件（填“隨機”或“不可能”或“必然”）？（2）小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次，則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．【分析】（1）直接利用概率公式，求解即可；（2）畫出樹狀圖，再利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）小麗隨機抽取一個比賽項目，共有4種等可能的結果，其中恰好抽中“三字經”的情況只有1種，∴，是隨機事件；故答案為：，隨機；（2）畫出樹狀圖如圖：由圖可知，共12種等可能的結果，其中小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的情況只有1種，∴．【點評】本題考查樹狀圖法求概率，掌握樹狀圖法求概率，是解題的關鍵．．23．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b與反比例函數的圖象交A（﹣1，m），B（n，﹣2）兩點，一次函數y＝kx+b的圖象與y軸交于點C．（1）求一次函數解析式；（2）根據函數的圖象，直接寫出不等式的解集；（3）點P是x軸上一點，△BOP的面積等于△AOB面積的2倍，求點P坐標．【分析】（1）利用待定系數法求出A，B的坐標即可解決問題．（2）觀察圖象寫出一次函數的圖象不在反比例函數的圖象下方的自變量的取值范圍即可解決問題．（3）根據S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△AOB的面積，設P（m，0），構建方程即可解決問題．【解答】解：（1）∵反比例函數的圖象經過點A（﹣1，m），B（n，﹣2），∴，解得，∴A（﹣1，6），B（3，﹣2），把A、B的坐標代入y＝kx+b得，解得，∴一次函數的解析式為y＝﹣2x+4；（2）觀察圖象，不等式的解集為：﹣1≤x＜0或x≥3；（3）連接OA，OB，由題意C（0，4），，設P（m，0），由題意，解得m＝±16，∴P（16，0）或（﹣16，0）．【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式，根據函數的解析式求點的坐標，根據三角形的面積求點的坐標，注意數形結合思想的應用．24．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為10，求AE的長．【分析】（1）連接OA，由圓周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，則∠OAD＝90°，可證明直線AD是⊙O的切線；（2）若AE⊥BC于點M，根據垂徑定理可證明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，則∠OAM＝30°，已知⊙O的半徑OA＝6，則OM＝OA＝3，根據勾股定理可以求出AM的長，進而求出AE的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AD⊥OA，∴直線AD是⊙O的切線．（2）解：如圖，∵BC是⊙O的直徑，且AE⊥BC于點M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM＝OA＝×10＝5，∴AM＝＝＝5，∴AE＝2AM＝2×5＝10．【點評】此題考查圓的切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，此題綜合性較強，難度較大．25．（10分）銷售紀念品，每個紀念品進價40元，規定銷售單價不低于44元，且不高于52元．銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為y個，銷售單價為x元．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；（2）求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利w最大？最大利潤是多少？（3）商家每天銷售紀念品獲得的利潤w不少于2250元時，紀念品的銷售單價在什么范圍？【分析】（1）根據題意直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量的取值范圍；（2）根據銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤；（3）用圖象法即可解答．【解答】解：（1）根據題意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52），（2）w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，∵﹣10＜0，∴當x＜57時，w隨x的增大而增大，∵44≤x≤52，∴當x＝52時，w有最大值，最大值為w＝﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640元，∴將紀念品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元；（3）∵利潤不低于2250元，且44≤x≤52，w隨x增大而增大，由﹣10（x﹣57）2+2890＝2250得x＝65或x＝49，∴49≤x≤52．∴紀念品的銷售單價x的范圍是49≤x≤52．【點評】本題考查了二次函數在實際生活中的應用以及一元二次方程的應用，熟知最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答是關鍵．26．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，交y軸于點C（0，6）．（1）求拋物線的表達式；（2）點F是直線BC上方拋物線上的一動點，過點F作FD⊥BC，交BC于點D，過點F作y軸的平行線交直線BC于點E，過點D作DG⊥EF，交EF于點G，求FG的最大值及此時點E的坐標；（3）在（2）問中FG取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）設，利用m表示出FG的長，即可求解；（3）當BE是對角線時，由勾股定理和中點坐標公式，列出方程組即可求解；當BE是邊時，同理可解．【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，交y軸于點C（0，6），設拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣8），將點C的坐標代入得：6＝﹣16a，解得，∴拋物線解析式為；（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，將點B，點C的坐標代入得：，解得，∴直線BC的解析式為，∵B（8，0）C（0，6），∴OB＝8，OC＝6，在Rt△BOC中，由勾股定理得：，∴，，如圖1，直線EF與x軸交于點H，∵FD⊥BC，FH∥y軸，∴∠DFG＝∠CBO，設點，則點，∴，∴，∴，∵，故當m＝4時，FG有最大值，為，此時點E（4，3）；（3）所有符合條件的點N的坐標為或（11，4）或或；理由如下：將該拋物線沿射線CB方向平移5個單位長度，則相當于向右平移了4個單位，向下平移了3個單位，則新拋物線的對稱軸為直線x＝7，設點M（7，m），如圖2，圖3，當BE為對角線時，存在兩種情況，可得EM2+MB2＝EB2，∴（7﹣4）2+（m﹣3）2+（7﹣8）2+（m﹣0）2＝（4﹣8）2+（3﹣0）2，解得，則，EB的中點為，即，設N（s，t），則可得，解得s＝5，當時，，解得，此時；當時，，解得，此時；如圖4，當BE為邊時，存在兩種情況，當M在EB下方時，，當x＝7時，，∴，∵∠PBQ+∠QBM＝∠QBM+∠PMB＝90°，∴∠PBQ＝∠PMB，∴，根據勾股定理可得，∴，∴，根據中點公式可得；如圖5，當BE為邊時，當M在EB上方時，可得∠EMP＝∠PBQ，根據勾股定理可得，∴，∴，∴M（7，7），根據中點公式可得N4（11，4）；綜上，所有符合條件的點N的坐標為或（11，4）或或．【點評】本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質，一次函數的圖象與性質，解直角三角形，熟練利用分類討論思想是解題的關鍵．27．（10分）某研究學習小組給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷線段BD，EF，AB之間的數量關系并證明；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若，△ACD面積是△ABD面積兩倍，則△AEF的面積為或．【分析】（1）在AB邊上截取AM＝EF，連接DM，根據題意證明出△DAM≌△AEF（SAS），得到AF＝DM，然后證明出△BMD是等邊三角形，得到BD＝BM＝DM，進而求解即可；（2）圖②：在BD上取點H，使BH＝AB，連接AH并延長到點G使AG＝AF，連接DG，首先證明出△ABH是等邊三角形，得到∠BAH＝