高中PAGE1試題2023北京八一學校高一（下）期中數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.在平面直角坐標系中，點位于第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四2.在中，“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列函數中最小正周期為，且為偶函數的是（）A. B.C. D.4.一個扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為（）A.4 B.1 C. D.25.已知，則的值為（）A. B. C. D.6.將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數的解析式是（）A. B.C. D.7.已知向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.8.如圖所示，一個大風車的半徑為，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是A. B.C. D.9.在中，，，為線段的三等分點，則＝()A. B.C. D.10.已知動點，，O為坐標原點，則當時，下列說法正確的是（）A.有最小值1 B.有最小值，且最小值小于1C.恒成立 D.存在，使得二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.______．12.已知角的終邊與單位圓交于點，則________．13.若實數，滿足方程組，則的一個值是________．14.已知，，，則________15.已知函數，任取，定義集合：，點，滿足設，分別表示集合中元素的最大值和最小值，記，則（1）函數的最大值是______；（2）函數的單調遞增區間為______．三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數．（1）當時，求函數的值；（2）求不等式的解集．17.在平面直角坐標系中,已知三點為坐標原點，（1）若是為直角的直角三角形，求的值；（2）若四邊形是平行四邊形，求的最小值.18.已知函數，．（1）請化簡為正弦型函數，并求函數的單調遞增區間；（2）求函數在區間上的最值，及取得最值時x的值．（3）若，都有恒成立，求實數m的取值范圍．19.對于定義域R上的函數，如果存在非零常數T，對任意，都有成立，則稱為“T函數”．（1）設函數，判斷是否為“T函數”，說明理由；（2）若函數（且）的圖象與函數的圖象有公共點，證明：為“T函數”；（3）若函數為“T函數”，求實數m的取值范圍．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【解析】【分析】由鈍角的正弦值大于0，再由誘導公式得，即可得到答案.【詳解】，∴點位于第四象限．故選：D．【點睛】本題考查三角函數值的符號、誘導公式的應用，考查轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題．2.【答案】B【解析】【分析】根據正弦函數的性質和充分和必要條件的概念即可判斷．【詳解】在中，，則或，∴在中，“”是“”的必要不充分條件，故選：B．3.【答案】B【解析】【分析】化簡并判斷的奇偶性，判斷A；利用圖像可判斷B；根據函數奇偶性判斷C；根據函數的最小正周期可判斷D.【詳解】對于A，為奇函數，不符合題意；對于B，作出的圖象如圖：可知函數最小正周期為，且為偶函數，符合題意；對于C，為奇函數，不符合題意；對于D，的最小正周期為，不符合題意，故選：B4.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面積公式：，即可求解.【詳解】圓心角為，設扇形的半徑為，，解得.故選：D【點睛】本題考查了扇形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎題.5.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數的基本關系求解即可.【詳解】由，得.故選：A.【點睛】本題主要考查了同角三角函數的基本關系.屬于容易題.6.【答案】C【解析】【分析】由題意利用三角函數的圖象變換原則，即可得出結論．【詳解】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得.故選C．【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.7.【答案】C【解析】【分析】將平方，求得，再根據向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意向量，，，則，即，所以，故，而，故，故選：C8.【答案】D【解析】【分析】由題意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再將點代入函數解析式求出的值，由此可得出與之間的函數關系式.【詳解】由題意可得，，，，，，，當時，，得，，可取，所以，故選D.【點睛】本題考查函數的解析式，基本步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據題中信息得出最小正周期，可得出；（3）求初相：將對稱中心點、最高點或最低點代入函數解析式可求出的值.9.【答案】C【解析】【分析】根據題意得出⊥，建立平面直角坐標系，表示出、，求出數量積的值．【詳解】中，||＝||，∴22，∴0，∴⊥，建立如圖所示的平面直角坐標系，由E，F為BC邊的三等分點，則A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），∴（，），（，），∴+．故選：C10.【答案】A【解析】【分析】根據題意，由平面向量的數量積運算，結合三角函數的性質，代入計算即可得到結果.【詳解】由題意知，當時，，因為函數為偶函數，所以只考慮的情形即可，又因為，所以，即有最小值1，所以A正確，B錯誤；又因為，當時，，所以C錯誤；又因為，，但與不可能同時為，而，所以，所以D錯誤；故選:A二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.【答案】##0.5【解析】【分析】用誘導公式變形后由兩角和的正弦公式計算．【詳解】，故答案為：．12.【答案】【解析】【分析】根據題意，由條件可得，再由三角函數的定義即可得到結果.【詳解】由題意可得，，則，由三角函數的定義可得.故答案為：13.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】結合題意利用同角三角函數的平方關系可求得，即可求得答案.【詳解】由可得，故，即得，故的一個值可以取，故答案為：（答案不唯一）14.【答案】【解析】【分析】由誘導公式將化為，再由，根據兩角差的正弦公式，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，又，，所以，，所以，，所以.故答案為【點睛】本題主要考查簡單的三角恒等變換，熟記兩角差的正弦公式以及誘導公式，即可求解，屬于?？碱}型.15.【答案】①.2②.【解析】【分析】作出函數的圖象，分當點P在A點時，當點P在曲線上從A接近B時，當點P在B點時，當點P在曲線上從B接近C時，當點P在C點時，當點P在曲線上從C接近D時，當點P在D點時，當點P在曲線上從D接近E時，分析的值和變化，從而得出的值和變化，可得答案.【詳解】函數，函數的最小正周期為T=4，點P(),Q()，如圖所示：當點P在A點時，點Q在曲線OAB上，,；當點P在曲線上從A接近B時，減小，所以逐漸增大；當點P在B點時，,，當點P在曲線上從B接近C時，減小，所以逐漸減??；當點P在C點時，，；當點P在曲線上從C接近D時，增大，所以逐漸增大；當點P在D點時，，；當點P在曲線上從D接近E時，增大,逐漸減小，依次類推，得函數的最大值是，的單調遞增區間為，故答案為：2；.【點睛】本題考查正弦函數的周期性，最值，單調性，關鍵在于理解題目所給的條件，屬于較難題.三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數關系式化簡可得，代入求值可得答案；（2）利用（1）中結論，由不等式可得，結合正弦函數性質即可求得答案.【小問1詳解】由題意可得，故當時，；【小問2詳解】由可得，即，故,故不等式的解集為.17.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直解得即可；（2）由題意得，求得的坐標，利用模長公式即可得出結論.【小問1詳解】由題意得，若，則，即，解得或，當，則，不合題意；當，則，符合題意；綜上所述：.【小問2詳解】設點的坐標為，可得，若四邊形是平行四邊形，則，所以，則，即，可得，則，所以當時，取得最小值.18.【答案】（1）；（2）最大值為1，此時；最小值為，此時；（3）【解析】【分析】（1）根據三角函數的二倍角公式結合輔助角公式化簡可得，結合正弦函數的單調性即可求得答案；（2）根據時，確定的范圍，結合正弦函數的性質即可求得答案；（3）由，都有恒成立，可得，結合（2）的結論，即可求得答案.【小問1詳解】因為,令，則，故函數的單調遞增區間為.【小問2詳解】當時，，由于在單調遞減，在單調遞增，當，即時，,取得最小值；當時，；當，即時，取得最大值；【小問3詳解】若，都有恒成立，即，由（2）可知，故，即實數m的取值范圍為.19.【答案】（1）不是“T函數”，理由見解析；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據“T函數”的定義判斷是否滿足該定義，即可得結論；（2）只需證明滿足“T函數”定義，即可得結論；（3）根據函數為“T函數”，可得恒成立，即可推得，即可求得答案.【小問1詳解】若函數是“T函數”，則對于，恒有,即