篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但在面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份。于是，編者就常想，如果是自己來創作一份資料又該怎樣呢？那這份資料在滿足自己教學需求的同時，還能為他人提供參考。本著這樣的想法，在結合自己教學經驗和學生實際情況后，最終創作出了一個既適宜課堂教學，又適應課后作業，還適合階段復習的大綜合系列。《2023-2024學年三年級數學下冊典型例題系列》，它基于教材知識和常年真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優點在于選題經典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。黃金無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數學創作社2024年4月18日2023-2024學年三年級數學下冊典型例題系列第五單元面積·提高篇【十六大考點】專題解讀本專題是第五單元面積·提高篇。本部分內容包括長方形和正方形面積的多類重難點問題，考點考題難度較大，其中部分考點以思維拓展為主，建議根據學生實際掌握情況和總體水平，選擇部分考點進行講解，一共劃分為十六個考點，歡迎使用。目錄導航TOC\o"1-1"\h\u【考點一】長方形的面積增減變化問題其一 3【考點二】長方形的面積增減變化問題其二 5【考點三】長方形的面積增減變化問題其三 7【考點四】正方形的面積增減變化問題其一 10【考點五】正方形的面積增減變化問題其二 14【考點六】長方形中的最大正方形問題 16【考點七】等長轉化問題 18【考點八】長方形和正方形的面積最大值問題 19【考點九】長方形的拼接裁剪問題 27【考點十】正方形的拼接裁剪問題 36【考點十一】鋪磚問題其一 41【考點十二】鋪磚問題其二 43【考點十三】鋪磚問題其三 44【考點十四】鋪磚問題其四 47【考點十五】不規則平面圖形的面積 48【考點十六】長方形或正方形一邊靠墻的問題 50典型例題【考點一】長方形的面積增減變化問題其一。【方法點撥】當長不變，寬增加時，可以利用積的變化規律進行解題。積的變化規律，即一個因數不變，另一個因數乘或除以一個不為0的數，積也乘或除以這個數。【典型例題】2023年中央一號文件首提“和美鄉村”，強調要扎實推進宜居宜業和美鄉村建設。某村原計劃建設一個寬是9米、面積是378平方米的長方形綠化帶，現在需要擴建，如果長不變，寬增加27米，擴大后的面積是多少平方米？【答案】1512平方米【分析】因為“長×寬＝長方形面積”，所以，當長不變，寬增加時，可以利用積的變化規律進行解題。積的變化規律：一個因數不變，另一個因數乘或除以一個不為0的數，積也乘或除以這個數。因此需要先用“原來的寬＋增加的長度”求出擴建后的寬是多長；再用“擴建后的寬÷原來的寬”，商是幾，現在的寬就是原來的寬乘幾得到的；最后根據積的變化規律用“原來的面積×幾”，即可算出擴大后的面積。【詳解】（27＋9）÷9＝36÷9＝4378×4＝1512（平方米）答：擴大后的面積是1512平方米。【對應練習1】如圖，有一塊長方形菜地，寬為9米，面積是378平方米。若將這塊長方形菜地的寬增加到36米，長不變，則擴大后的長方形菜地的面積是多少平方米？【答案】1512平方米【分析】結合長方形的面積＝長×寬，已知面積和寬，求長，用面積除以寬即可，現在長不變，寬增加到36米，用原來的長乘以增加后的寬，就是擴大后長方形菜地面積。【詳解】378÷9＝42（米）42×36＝1512（平方米）答：則擴大后的長方形菜地的面積是1512平方米。【對應練習2】綠水青山就是金山銀山。某公園有一塊占地面積是180平方米的長方形綠地，明年計劃將寬從5米增加到15米，長不變，那么擴大后的綠地占地面積是多少？【答案】540平方米【分析】根據題意可知，這塊長方形的綠地的寬擴大為原來的（15÷5）倍，即3倍，長不變；長方形面積＝長×寬，再根據積的變化規律可知，擴大后的面積是原來的3倍。據此解題即可。【詳解】180×（15÷5）＝180×3＝540（平方米）答：擴大后的綠地占地面積是540平方米。【對應練習3】一塊長方形的草坪的面積是120平方米，擴建后長不變，寬由原來的8米增加到16米，擴建后的草坪面積是多少平方米？【答案】240平方米【分析】原來的寬是8米，面積是120平方米，長方形的面積公式：長×寬，逆用面積公式用120除以8即可求出長方形草坪的長，給這個商乘16即可求出擴建后的面積。【詳解】120÷8×16＝15×16＝240（平方米）答：擴建后的草坪面積是240平方米。【考點二】長方形的面積增減變化問題其二。【方法點撥】擴建后菜園的面積增加了多少平方米＝擴建后的面積－原來長方形的面積。【典型例題】一個長方形的菜園長10米，寬5米。現在菜園要擴建，長增加2米，寬增加2米，擴建后菜園的面積增加了多少平方米？【答案】34平方米【分析】根據題意，擴建后菜園的面積增加了多少平方米＝擴建后的面積－原來長方形的面積，原來長方形的菜園長10米，寬5米。現在菜園要擴建，長增加2米，寬增加2米，此時長是10＋2＝12（米），寬是5＋2=7（米），長方形的面積=長×寬，據此解答。【詳解】擴建后的面積：（10＋2）×（5＋2）＝12×7＝84（平方米）原來的面積：10×5＝50（平方米）84－50＝34（平方米）答：面積增加了34平方米。【對應練習1】一個長方形菜園長10米，寬8米。現在菜園要擴建，長增加4米，寬增加2米。擴建后菜園的面積比原來增加了多少平方米？【答案】60平方米【分析】根據題意，先用10＋4求出擴建后的菜園長，再用8＋2求出擴建后的菜園寬，根據長方形面積＝長×寬，用擴建后菜園的面積減去原來菜地的面積即可求出擴建后菜園的面積比原來增加了多少平方米，據此解答即可。【詳解】（10＋4）×（8＋2）＝14×10＝140（平方米）10×8＝80（平方米）140－80＝60（平方米）答：擴建后菜園的面積比原來增加了60平方米。【對應練習2】某小區為了改善小區生態環境，美化生活環境，增進居民身心健康，要將一個長10米，寬8米的長方形花壇進行擴建，把這個花壇的長增加5米，寬增加4米。這個花壇的面積增加了多少平方米？（先畫圖，再解答）【答案】畫圖見詳解；100平方米【分析】根據長方形的面積公式：S＝ab把數據代入公式，分別計算邊長增加前后的面積，再相減即可。【詳解】根據題意畫圖如下：（陰影部分即為增加的部分）（10＋5）×（8＋4）－10×8＝15×12－80＝180－80＝100（平方米）答：這個花壇的面積增加了100平方米。【點睛】此題主要考查長方形的面積公式靈活運用。【對應練習3】兒童公園要擴建一個長方形的泳池。如果長增加9米，泳池面積就增加72平方米；如果寬增加3米，泳池面積就增加45平方米。這個泳池的面積是多少平方米？【答案】畫圖見詳解；120平方米【分析】根據長方形面積＝長×寬，長增加9米，面積增加72平方米，則用72÷9＝8（米），即可求出這個長方形泳池的寬；寬增加3米，面積增加45平方米，則用45÷3＝15（米），即可求出這個長方形泳池的長，15×8即可求出這個泳池的面積，據此解答即可。【詳解】如圖：72÷9＝8（米）45÷3＝15（米）8×15＝120（平方米）答：這個泳池的面積是120平方米。【考點三】長方形的面積增減變化問題其三。【方法點撥】增加部分面積除以增加的長度，減少部分面積除以減少的長度。【典型例題】一個長方形，如果長增加4米，面積就增加20平方米；如果寬減少2米，面積就減少14平方米。這個長方形原來的面積是多少平方米？【答案】35平方米【分析】如圖：增加部分是一個長方形，長是原來長方形的寬，寬是4米，長方形面積＝長×寬，長方形的長＝面積÷寬，增加部分面積除以增加的長度，即可算出原來長方形的寬是（20÷4）米。如圖：減少部分是一個長方形，長是原來長方形的長，寬是2米，長方形的長＝面積÷寬，減少部分面積除以減少的長度，即可算出原來長方形的長是（14÷2）米。長方形面積＝長×寬，把數據代入公式即可算出這個長方形原來的面積。【詳解】20÷4＝5（米）14÷2＝7（米）7×5＝35（平方米）答：這個長方形原來的面積是35平方米。【點睛】熟記長方形的面積公式并靈活運用是解題關鍵。【對應練習1】對一個長方形花圃進行改造，如果是長增加5米，面積就增加40平方米；如果是寬增加3米，面積就增加39平方米。原來花圃的面積是多少平方米？（先畫出示意圖，再解答）【答案】圖見詳解；104平方米【分析】根據題意，“長方體面積＝長×寬”，用增加的面積除以增加的長求出原來的寬，用增加的面積除以增加的寬求出原來的長，然后把數據代入公式求出原來的面積。【詳解】

40÷5＝8（米）39÷3＝13（米）13×8＝104（平方米）答：原來花圃的面積是104平方米。【點睛】此題主要考查長方形面積公式的靈活運用，關鍵是求出原來的長和寬。【對應練習2】一個長方形，如果長不變，寬增加2米，面積就增加46平方米；如果寬不變，長增加3米，面積就增加48平方米，原來長方形的面積是多少平方米？【答案】368平方米【分析】用46除以2即可計算出這個長方形的長，用48除以3即可計算出這個長方形的寬，然后利用長方形面積公式計算即可，據此解答。【詳解】46÷2＝23（米）48÷3＝16（米）23×16＝368（平方米）答：原來長方形的面積是368平方米。【點睛】解決本題的關鍵是通過題意計算出長方形的長和寬，熟練掌握長方形的面積公式。【對應練習3】一個長方形操場，長50米，寬40米，擴建后長和寬分別增加5米，擴建后操場面積增加了多少平方米？【答案】475平方米【詳解】試題分析：先求出擴建后的長和寬，再長方形的面積公式S=ab求出擴建后的面積與原來操場的面積，用擴建后操場的面積再減去原來操場的面積就是擴建后操場面積增加的面積．解：（50+5）×（40+5）﹣50×40，=55×45﹣2000，=2475﹣2000，=475（平方米），答：擴建后操場面積增加了475平方米．點評：本題主要是靈活利用長方形的面積公式S=ab與基本的數量關系解決問題．【考點四】正方形的面積增減變化問題其一。【方法點撥】增加的面積除以增加的長度，可求出正方形的邊長。【典型例題】如圖，一個正方形花圃，如果一組對邊各增加6米，那么面積就增加了96平方米．這個正方形花圃的面積原來是多少平方米？（先畫一畫，再解答）【答案】256平方米【詳解】試題分析：如下圖：已知一個正方形花圃的一組對邊各增加6米，那么面積就增加了96平方米．用增加的面積除以增加的寬即可求出正方形花圃的邊長，再根據正方形的面積公式：s=a2，列式解答．解：如圖：正方形花圃的邊長是：96÷6=16（米），原來的面積是：16×16=256（平方米）．答：這個正方形花圃的面積原來是256平方米．點評：此題主要根據長方形、正方形面積的計算方法解決問題．【對應練習1】一個正方形，如果邊長各增加2厘米，面積就增加20平方厘米，求原正方形的面積。【答案】16平方厘米【分析】正方形面積＝邊長×邊長，面積就增加20平方厘米，增加的部分為一個邊長為2厘米的正方形和2個寬為2厘米的長方形。增加正方形的面積為2×2＝4平方厘米，那么增加2個寬為2厘米的長方形的面積是：20－4＝16平方厘米。1個長方形的面積為8厘米，已知長方形的寬為2厘米，即可得出長為：8÷2＝4厘米，增加部分長方形的長即為原來正方形的邊長。這樣就可算出原來正方形的面積＝4×4＝16平方厘米。見圖片。【詳解】增加正方形的面積：2×2＝4（平方厘米）2個寬為2厘米的長方形的面積：20－4＝16（平方厘米）1個寬為2厘米的長方形的面積：8÷2＝4（厘米）原來正方形的面積：4×4＝16（平方厘米）答：原來的正方形面積是16平方厘米。【點睛】熟練掌握正方形的面積和長方形面積的運用是解答此題的關鍵，此題畫圖更加直觀。【對應練習2】一個正方形，如果邊長增加4厘米，則正方形就要增加64平方厘米，求原來正方形的面積和周長各是多少？【答案】36平方厘米；24厘米【分析】如圖，邊長增加4厘米，增加的面積可以分成3部分，其中一塊是邊長是4厘米的正方形，另外兩塊是長為原來的邊長，寬是4厘米的長方形；從增加的面積64平方厘米中減去小正方形的面積16平方厘米，得到兩個長方形的面積是48平方厘米，其中一個的面積是24平方厘米，進而求得原正方形的邊長是6厘米。【詳解】如圖所示：（平方厘米）（平方厘米）（厘米）（平方厘米）（厘米）答：正方形的面積是36平方厘米，周長是24厘米。【點睛】本題考查的是正方形的面積和周長計算，把增加的面積進行分割，求出原正方形的邊長是解題的關鍵。【對應練習3】正方形的邊長增加3厘米，則面積增加51平方厘米。原來正方形的周長是多少厘米？現在正方形的面積是多少平方厘米（先畫圖，再解答）？【答案】；28厘米；100平方厘米【分析】根據圖形我們可知，增加的面積是兩個相等的小長方形和一個小正方形，小正方形的面積：3×3＝9平方厘米，剩下的兩個小長方形面積：51－9＝42平方厘米；一個小長方形面積：42÷2＝21平方厘米，小長方形的面積等于原正方形的邊長乘3，即原正方形邊長×3＝21平方厘米，原正方形邊長：21÷3＝7厘米，現在正方形邊長：3＋7＝10厘米，原來正方形周長和現在正方形面積即可求出。【詳解】（51－3×3）÷2÷3＝42÷2÷3＝21÷3＝7厘米原正方形周長：4×7＝28（厘米）現在正方形邊長：7＋3＝10厘米現在正方形面積：10×10＝100（平方厘米）答：原來正方形周長是28厘米；現在正方形面積是100平方厘米。【點睛】本題考查新的圖形和原圖形的關系，熟練運用長方形周長、正方形周長、正方形面積公式解答問題。【考點五】正方形的面積增減變化問題其二。【方法點撥】增加的面積除以增加的長度，可求出對應的長度。【典型例題】一個長方形，如果寬增加3厘米，那么面積就增加24平方厘米，這時正好是一個正方形。原來長方形的面積是多少平方厘米？【答案】40平方厘米【分析】根據面積÷寬＝長，讓24÷3求解出長是多少厘米，然后讓長減去3即可求解寬是多少厘米，根據面積公式，長×寬＝長方形面積，代入數據解答即可。【詳解】（厘米）

（厘米）（平方厘米）答：原來長方形的面積是40平方厘米。【點睛】本題考查長方形面積公式的應用，掌握長方形的面積公式是解題的關鍵。【對應練習1】一個長方形，如果長不變，寬增加3分米，就變成了一個正方形，此時面積增加了27平方分米。你知道原來的長方形的面積是多少嗎？【答案】54平方分米【分析】由題意可知，寬增加3分米，面積增加了27平方分米，所以長為（分米）；由寬增加3分米，變為一個正方形，可知長方形的寬為（分米）。所以原來的長方形的面積是（平方分米）。【詳解】（分米）

（分米）

（平方分米）答：原來的長方形的面積是54平方分米。【點睛】本題考查長方形的面積公式的靈活運用。長方形的面積＝長×寬，據此求出長方形的長為9分米，進而求出長方形的寬為6分米。【對應練習2】一個長方形若寬增加7分米就是一個正方形，面積就增加77平方分米，求原來長方形的面積？【答案】44平方分米【分析】如圖，圖中陰影部分是增加的部分，正好是長方形，且寬是7，可以求得長方形的長是11，也就是原長方形的長，11分米減去7分米，得到原長方形的寬是4分米，長乘寬得到面積。【詳解】如圖所示：（分米）（分米）（平方分米）答：原來長方形的面積44平方分米。【點睛】求出正方形的邊長11分米后，也可以用正方形面積減去增加的面積，得到原長方形的面積。【對應練習3】一個長方形，若寬增加6分米，就是一個正方形，面積增加66平方分米，求原來長方形的面積。【答案】55平方分米【分析】如圖，寬增加6分米，增加的面積是一個長方形，一條邊是6分米，面積是66平方分米，求得另一條邊是11分米，即正方形的邊長，用正方形面積減去增加的66平方分米，求得原圖形的面積。【詳解】如圖所示：（分米）（平方分米）（平方分米）答：原來長方形的面積是55平方分米。【點睛】求出正方形邊長，即原來長方形的長后，可以算出原來長方形的寬，然后求出面積。【考點六】長方形中的最大正方形問題。【方法點撥】從一個長方形中剪一個最大的正方形，正方形的邊長要以長方形的較短邊為準。【典型例題】在下面的長方形彩紙上剪下一個最大的正方形，正方形的面積是多少平方厘米?剩下部分的面積是多少平方厘米?解析：剪下的正方形邊長最大不超過8厘米，根據長方形面積=長x寬，正方形面積=邊長x邊長可計算。8×8=64（平方厘米）（12-8）×8=32（平方厘米）【對應練習1】一塊長方形的黑板，長是11米，寬是9米，要在這塊黑板上劃分出一塊最大的正方形用來貼剪紙作品，貼剪紙作品的面積是多少平方米？合多少平方分米？解析：答：貼剪紙作品的面積是81平方米，合8100平方分米。【對應練習2】從下面的長方形紙上剪下一個最大的正方形，剩下的面積是多少平方厘米？解析：剩下的圖形是一個長方形，長是12厘米，寬是16－12＝4（厘米）面積：12×4＝48（平方厘米）答：剩下的面積是48平方厘米。【對應練習3】在一張紙長30厘米，寬21厘米里，剪下一個最大的正方形，你能求出剪下后剩下的面積嗎？解析：（30－21）×21＝9×21＝189（平方厘米）答：我能求出剪下后剩下的面積，剩下的面積是189平方厘米。【考點七】等長轉化問題。【方法點撥】長方形和正方形的周長相等時，可以通過周長求出長方形的長或寬，可以求出正方形的邊長，進而求出圖形的面積。【典型例題】一根繩子剛好可以圍成一個邊長為8分米的正方形。如果用這根繩子圍成一個長是10分米的長方形，這個長方形的面積是多少平方分米？解析：（分米）（平方分米）答：這個長方形的面積是60平方分米。【對應練習1】有兩根同樣長的鐵絲，一根圍成了一個長28厘米，寬18厘米的長方形，另一根圍成了一個正方形，這個正方形的面積是多少平方厘米？解析：（28＋18）×2＝46×2＝92（厘米）92÷4＝23（厘米）23×23＝529（平方厘米）答：這個正方形的面積是529平方厘米。【對應練習2】一根鐵絲恰好可以圍成一個長40厘米、寬20厘米的長方形，現在用它圍成一個正方形（沒有剩余），這個正方形的面積是多少平方厘米？解析：（40＋20）×2＝60×2＝120（厘米）120÷4＝30（厘米）30×30＝900（平方厘米）答：這個正方形的面積是900平方厘米。【對應練習3】有一個長方形長14米，寬10米，一個正方形的周長與這個長方形的周長一樣長，這個正方形的面積是多少？解析：（14＋10）×2＝24×2＝48（米）48÷4＝12（米）12×12＝144（平方米）答：這個正方形的面積是144平方米。【考點八】長方形和正方形的面積最大值問題。【方法點撥】當周長不變時，長和寬越接近，面積越大，其中當長和寬相等時，此時是一個正方形。【典型例題1】正方形的面積最大值。王爺爺要用一段36米長的籬笆圍成一塊四邊形菜地，怎樣圍菜地的面積才能最大呢？（無法靠墻）（1）把你設計的方案用畫圖的方法表示出來。（2）算一算你設計的這塊菜地的面積，并說一說這樣圍面積最大的理由。【答案】（1）（2）81平方米，因為在四邊形的周長相等時，正方形的面積最大。【分析】（1）在長方形、正方形、平行四邊形、梯形的周長相等時，正方形的面積最大。（2）根據正方形的周長＝邊長×4，那么邊長＝周長÷4，據此求出邊長，再根據正方形的面積＝邊長×邊長，把數據代入公式。【詳解】（1）設計成正方形面積最大。36÷4＝9（米）作圖如下：（2）9×9＝81（平方米）答：這樣圍成的面積是81平方米，因為在四邊形的周長相等時，正方形的面積最大。【點睛】本題考查正方形面積的計算，應熟練掌握并靈活運用。【對應練習】用100米長的柵欄圍成一個四邊形的羊圈，羊圈的面積最大是多少？【答案】625平方米【詳解】試題分析：要使羊圈的面積最大，必須圍成正方形，正方形的周長相當于100米長的柵欄，然后根據正方形的周長公式：C=4a，求邊長為：100÷4=25（米），再根據正方形的面積公式：S=a2；求出面積即可得出答案．解：100÷4=25（米），25×25=625（平方米）；答：羊圈的面積最大是625平方米．點評：本題關鍵是確定個四邊形的羊圈的形狀是正方形，知識點：正方形的周長公式：C=4a，正方形的面積公式：S=a2．【典型例題2】長方形的面積最大值。用一根16分米的鐵絲圍成長和寬都是整分米數的長方形。圍成的長方形中，面積最大是多少平方分米？(1)完成表格。長/分米()()()()寬/分米()()()()面積/平方分米()()()()(2)圍成的長方形中面積最大是平方分米，這時圍成的圖形又叫形。(3)如果這根鐵絲長26分米，那么圍成的長方形中面積最大是平方分米。【答案】(1)765412347121516(2)16正方(3)42【分析】根據長方形的周（長＋寬）×2，長方形的面積＝長×寬，把數據代入公式解答。【詳解】（1）16÷2＝8（分米）8＝7＋1＝6＋2＝5＋3＝4＋47×1＝7（平方分米）6×2＝12（平方分米）5×3＝15（平方分米）4×4＝16（平方分米）填表如下：長/分米7654寬/分米1234面積/平方分米7121516（2）圍成的長方形中面積最大是16平方分米，這時圍成的圖形又叫正方形。（3）26÷2＝13（分米）13＝7＋67×6＝42（平方分米）答：如果這根鐵絲長26分米，那么圍成的長方形中面積最大是42平方分米。【點睛】此題主要考查長方形的周長公式、面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。【對應練習1】王叔叔用24根1米長的木條圍一個長方形或正方形花圃，一共有幾種不同的圍法？面積最大是多少平方米？（先填表，再回答問題。）長（米）寬（米）面積（平方米）【答案】圖見詳解；6種；36平方米【分析】王大叔要用24根1米長的柵欄圍成一個長方形花圃，長方形的周長就是由24根1米長柵欄圍成，根據長方形的周長公式求出一條長和寬是多少，再把它分成兩個整數相加的形式可確定長和寬各是多少，再根據長方形的面積公式即可求解。【詳解】24÷2＝12（米）12＝1＋1112＝2＋1012＝3＋912＝4＋812＝5＋712＝6＋611×1＝11（平方米）10×2＝20（平方米）9×3＝27（平方米）8×4＝32（平方米）7×5＝35（平方米）6×6＝36（平方米）一共有6種不同的圍法，面積最大是36平方米。長/米11109876寬/米123456面積/平方米112027323536【點睛】本題主要考查了學生根據長方形的周長公式和面積公式解答問題的能力。【對應練習2】用一根鐵絲正好圍一個每條邊長都是4厘米的五邊形（如圖）。如果用這根鐵絲圍一個長、寬均為整厘米數的長方形（包含正方形）。（1）寫出所有圍法長方形的長、寬的長度。（2）其中圍出最大長方形的面積是多少平方厘米？（列表、圖畫、列式都是解決問題的好辦法）【答案】（1）長：5厘米，寬5厘米；長：6厘米，寬4厘米；長：7厘米，寬3厘米；長：8厘米，寬2厘米；長：9厘米，寬1厘米（2）25平方厘米【分析】（1）先計算出這根鐵絲的長度，鐵絲的長度即為圍成長方形（包含正方形）的周長，對長方形的長或寬進行賦值，然后根據長方形的周長公式，分別計算出這個長方形的寬或長，據此解決。（2）通過長方形面積公式，分別計算出圍成長方形的面積，然后比較即可，據此解決。【詳解】鐵絲的長度：4×5＝20（厘米）寬為1厘米時，長為：（20－1×2）÷2＝18÷2＝9（厘米）寬為2厘米時，長為：（20－2×2）÷2＝16÷2＝8（厘米）寬為3厘米時，長為：（20－3×2）÷2＝14÷2＝7（厘米）寬為4厘米時，長為：（20－4×2）÷2＝12÷2＝6（厘米）寬為5厘米時，長為：（20－5×2）÷2＝10÷2＝5（厘米）所以圍成的長方形的長和寬分別為：長：5厘米，寬5厘米；長：6厘米，寬4厘米；長：7厘米，寬3厘米；長：8厘米，寬2厘米；長：9厘米，寬1厘米（2）長：5厘米，寬5厘米，面積為5×5＝25（平方厘米）長：6厘米，寬4厘米，面積為6×4＝24（平方厘米）長：7厘米，寬3厘米，面積為7×3＝21（平方厘米）長：8厘米，寬2厘米，面積為8×2＝16（平方厘米）長：9厘米，寬1厘米，面積為9×1＝9（平方厘米）答：圍出最大長方形的面積是25平方厘米。【點睛】解決本題的關鍵是熟練掌握長方形的周長和面積公式。【對應練習3】先填表再解答。長方形或正方形周長面積邊長是（

）厘米20厘米長6厘米、寬4厘米長7厘米、寬（

）厘米21平方厘米長（

）厘米、寬2厘米20厘米（1）分析表中的數據，從中你發現了什么？（2）小明用20米長的籬笆圍成一塊長方形或正方形的雞圈養雞。根據你的發現，他怎樣圍才能讓圍成的雞圈面積最大？最大面積是多少？①圍的方法：②最大面積：【答案】長方形或正方形周長面積邊長是（5）厘米20厘米25平方厘米長6厘米、寬4厘米20厘米24平方厘米長7厘米、寬（3）厘米20厘米21平方厘米長（8）厘米、寬2厘米20厘米16平方厘米（1）發現：這4個圖形的周長相等，面積不相等。長和寬越接近，面積就越大或當長和寬相等時，面積最大。（2）①圍的方法：圍成邊長是5米的正方形。②最大面積：25平方米【分析】正方形邊長＝周長÷4，正方形面積＝邊長×邊長，長方形的周長＝（長＋寬）×2，長方形面積＝長×寬，由此完成表格；（1）通過觀察表格中的周長和面積的變化，發現這4個圖形的周長相等，面積不相等。長和寬越接近，面積就越大或當長和寬相等時，面積最大；（2）根據（1）的發現，長和寬越接近面積越大，要想雞圈面積最大，正方形時面積最大，再計算出面積，由此解答。【詳解】長方形或正方形周長面積邊長是（5）厘米20厘米25平方厘米長6厘米、寬4厘米20厘米24平方厘米長7厘米、寬（3）厘米20厘米21平方厘米長（8）厘米、寬2厘米20厘米16平方厘米（1）發現：這4個圖形的周長相等，面積不相等。長和寬越接近，面積就越大或當長和寬相等時，面積最大。（答案不唯一，合理即可）（2）①圍的方法：圍成邊長是5米的正方形。②最大面積：5×5＝25（平方米）答：圍成邊長是5分米的正方形面積最大，最大面積是25平方米。【點睛】解答本題的關鍵是根據計算出的周長和面積，通過對比、觀察、總結發現規律，從而利用規律解決問題。【考點九】長方形的拼接裁剪問題。【方法點撥】兩個或多個相同的長方形進行拼接，可以把寬拼接在一起，也可以把長拼接在一起。【典型例題1】裁剪問題。在一個長10厘米、寬8厘米的長方形紙上剪去一個邊長是4厘米的正方形，小林想到了兩種剪法（如下圖），剩下部分的周長和面積分別是多少？【答案】①周長是36厘米，面積是64平方厘米；②周長是44厘米，面積是64平方厘米【分析】長方形周長＝（長＋寬）×2，長方形面積＝長×寬，正方形周長＝邊長×4，正方形面積＝邊長×邊長。①的周長可以看成長是10厘米，寬是8厘米的長方形周長，根據長方形周長公式計算即可，面積用長方形的面積減去邊長是4厘米正方形面積即可；②的周長可以看成長是10厘米，寬是8厘米的長方形周長再加上兩個正方形邊長即可，面積用長方形的面積減去邊長是4厘米正方形面積即可。【詳解】①＝18×2＝36（厘米）＝80－16＝64（平方厘米）②＝18×2＋4＋4＝36＋4＋4＝44（厘米）＝80－16＝64（平方厘米）答：①剩下部分的周長是36厘米，剩下部分的面積是64平方厘米；②剩下部分的周長是44厘米，剩下部分的面積是64平方厘米【對應練習1】李奶奶正在剪窗花，她在一張長48厘米，寬32厘米的長方形紙上剪下一個最大的正方形，剪完后，剩下的部分是什么形狀？它的面積是多少？

【答案】長方形；512平方厘米【分析】從長方形紙上剪下最大的正方形，則這個正方形的邊長等于長方形的寬。剩下的長方形的長為原來長方形的寬，剩下的長方形的寬為原來長方形的長與寬的差。根據長方形的面積＝長×寬解答。【詳解】32×（48－32）＝32×16＝512（平方厘米）答：剩下的部分是長方形，面積是512平方厘米。【點睛】解決本題的關鍵是明確最大正方形的邊長等于長方形的寬。再根據長方形的面積公式解答。【對應練習2】如圖，一個長13厘米，寬8厘米的長方形，剪去了一個邊長5厘米的正方形，求剩下圖形的面積。

【答案】79平方厘米【分析】根據題意可知，剩下圖形的面積＝長方形的面積－正方形的面積，長方形的面積＝長×寬，正方形的面積＝邊長×邊長，依此計算并解答。【詳解】13×8＝104（平方厘米）5×5＝25（平方厘米）104－25＝79（平方厘米）答：剩余圖形的面積是79平方厘米。【點睛】解答此題的關鍵是要熟練掌握長方形和正方形的面積的計算方法。【對應練習3】在一個長12厘米，寬8厘米的長方形紙中，減去一個邊長是6厘米的正方形．（剪的方法如圖）（1）求出剩下部分的周長是多少？（2）求出剩下部分的面積是多少？【答案】40厘米；60平方厘米【詳解】試題分析：（1）由圖可知：剩下部分的周長與原來長方形的周長相等；（2）剩余部分的面積即為長方形面積減去正方形的面積．解：（12+8）×2，=20×2，=40（cm），（2）12×8﹣6×6，=96﹣36，=60（平方厘米）；答：（1）剩余部分的周長為40厘米；（2）剩余部分的面積為60平方厘米．點評：此題解答關鍵為弄清周長與各邊的關系，得出規律：在長方形內減去一個正方形后，周長不變，面積為長方形面積減去正方形面積．【典型例題2】拼接問題。有兩個相同的長方形，長36厘米，寬18厘米。（1）拼成一個正方形，它的周長是多少？（2）拼成一個長方形，它的周長是多少？（3）拼成的兩個圖形，面積相等嗎？是多少？【答案】（1）144厘米；（2）180厘米；（3）相等；1296平方厘米【分析】（1）如圖一，把兩個長方形沿長拼在一起，拼成一個正方形，正方形的邊長為36厘米，正方形的周長＝邊長×4，把數據代入計算即可解答。（2）如圖二，把兩個長方形沿寬拼在一起，拼成一個長方形，長方形的長為36＋36＝72（厘米），寬為18厘米，長方形的周長＝（長＋寬）×2，把數據代入計算即可解答。（3）拼成的兩個圖形的面積都等于原來的兩個長方形的面積和，所以拼成的兩個圖形的面積相等，長方形的面積＝長×寬，所以36乘18等于原長方形的面積，再乘2即等于原來兩個長方形的面積和，也就是拼成的兩個圖形的面積。【詳解】（1）36×4＝144（厘米）答：正方形的周長是144厘米。（2）（36＋36＋18）×2＝90×2＝180（厘米）答：長方形的周長是180厘米。（3）36×18×2＝648×2＝1296（平方厘米）答：拼成的兩個圖形的面積相等，是1296平方厘米。【對應練習1】有兩個完全相同的長方形，長是18厘米，寬是9厘米。把它們拼成一個長方形或正方形，它們的周長和面積分別是多少？你有什么發現？【答案】90厘米；324平方厘米；發現見詳解【分析】如下圖，把兩個長方形的寬拼在一起，可以拼成一個長方形，長方形的長為18＋18＝36（厘米），寬為9厘米，把長方形的長拼在一起，可以拼成一個正方形，正方形的邊長為18厘米，長方形的周長＝（長＋寬）×2，長方形的面積＝長×寬，正方形的周長＝邊長×4，正方形的面積＝邊長×邊長；把數據代入計算出長方形和正方形的面積和周長，然后得結論。【詳解】拼成長方形時：周長：（18＋18＋9）×2＝45×2＝90（厘米）面積：（18＋18）×9＝36×9＝324（平方厘米）拼成正方形時：周長：18×4＝72（厘米）面積：18×18＝324（平方厘米）90厘米＞72厘米，324平方厘米＝324平方厘米所以長方形和正方形的面積相等，長方形的周長大于正方形的周長。答：拼成長方形時，周長是90厘米，面積是324平方厘米；拼成正方形時，周長是72厘米，面積是324平方厘米。我發現：拼成的長方形和正方形面積相等，長方形的周長比正方形的周長長。【對應練習2】兩個大小一樣的長方形，長是34厘米，寬是17厘米，把這兩個長方形拼成一個大長方形，拼成的大長方形的面積和周長分別是多少？【答案】面積1156平方厘米；周長是170厘米【分析】根據題意可知，把這兩個長方形拼成一個大長方形，有一種拼組的方法：把兩個長方形的寬拼組一起，就會拼成一個長34＋34＝68（厘米），寬17厘米的長方形，再根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，長方形的面積＝長×寬，代入數據解答即可。【詳解】拼成的大長方形的長是34＋34＝68（厘米），寬是17厘米。（68＋17）×2＝85×2＝170（厘米）68×17＝1156（平方厘米）答：拼成的大長方形的面積是1156平方厘米；周長是170厘米。【點睛】此題考查了長方形的周長與面積公式的實際應用以及長方形的拼組，解答此題的關鍵是：先弄清楚新長方形的長和寬，進而可以逐步求解。【對應練習3】有兩個完全相同的長方形，長是24分米，寬是12分米。（1）拼成一個正方形，它的周長和面積各是多少？（2）拼成一個長方形，它的周長和面積各是多少？【答案】（1）96分米；576平方分米（2）120分米；576平方分米【分析】（1）把長拼在一起，形成一個邊長為24厘米的正方形，再根據正方形的周長和面積公式計算即可解答。（2）把寬拼在一起，形成一個長為24＋24＝48厘米、寬為12厘米的長方形，再根據長方形的周長和面積公式計算即可解答。【詳解】（1）24×4＝96（厘米）24×24＝576（平方厘米）答：它的周長是96厘米，面積是576平方厘米。（2）（24＋24＋12）×2＝60×2＝120（厘米）（24＋24）×12＝48×12＝576（平方厘米）答：它的周長是120厘米，面積是576平方厘米。【點睛】首先要分析清楚拼成的圖形的長和寬（或邊長）是多少，這是解答本題的關鍵。【典型例題3】拓展型。四個同樣形狀的長方形和一個小正方形拼成一個大正方形，如右圖．已知大正方形面積是81平方厘米，小正方形面積是25平方厘米，長方形長多少厘米。【答案】7厘米【詳解】試題分析：大正方形面積是81平方厘米，邊長應是9厘米；小正方形面積是25平方厘米，邊長應是5厘米；大正方形邊長減去小正方形邊長正好等于長方形的兩個寬，所以長方形的寬應是（9﹣5）÷2=2（厘米）；根據“長方形的長=面積÷寬”，代入數值進行解答即可．解：（81﹣25）÷4÷[（9﹣5）÷2]，=14÷2，=7（厘米）；答：長方形長7厘米．點評：此題應根據題意，先算出大正方形的邊長和小正方形的邊長，進而求出每個長方形的面積，根據長方形的面積計算公式即可得出結論．【對應練習1】如圖是用五個相同的小長方形拼成的一個大長方形，大長方形的周長是88厘米，求大長方形的面積。【答案】480平方厘米【詳解】試題分析：由圖可知：小長方形的2條長與3條寬相等，大長方形的長是小長方形長的2倍，寬是小長方形的長加寬，設小長方形的長為a厘米，表示出大長方形的長和寬，根據周長是88厘米，列出方程求出小長方形的長和寬，進而求出大長方形的長和寬以及面積．解：小長方形的2條長與3條寬相等，那么小長方形的長：寬=3：2，寬是長的；設小長方形的長為a厘米，則小長方形的寬是a厘米，大長方形的長是2a厘米；寬是a+a=a（厘米）；（2a+a）×2=88，2a+a=44，a=44，a=12；小長方形的長就是12厘米，寬就是12×=8（厘米）；大長方形的長是小長方形長的2倍，寬是小長方形的長加寬，所以：大長方形的長是：12×2=24（厘米）大長方形的寬是：12+8=20（厘米）大長方形的面積是：24×20=480（平方厘米）答：這個大長方形的面積是480平方厘米．點評：根據圖找出小長方形長和寬之間的關系，以及大長方形的長和寬與小長方形長和寬的關系，利用大長方形的周長是44厘米，求出小長方形的長和寬，進而求解．【對應練習2】拼圖與計算：用4塊同樣大小的長方形板，拼成一個正方形后，中間空出的小正方形面積是25平方厘米，已知長方形的長為11厘米，那么每個長方形板的面積是多少？并畫出拼圖示意圖．【答案】66平方厘米，【詳解】試題分析：由題意可知：中間空出的小正方形邊長為5（25=5×5）厘米，然后畫出圖，進而得出長方形的寬為11﹣5=6（厘米）；進而根據“長方形的面積=長×寬”進行解答即可．解：如圖：長方形的寬為：11﹣5=6（厘米）；11×6=66（平方厘米）；答：長方形板的面積是66平方厘米．點評：解答此題的關鍵是先求出長方形的寬，進而根據長方形的面積計算方法進行解答即可．【對應練習3】如圖，寬為50厘米的矩形圖案由10個一樣的小長方形拼成，其中一個小長方形的面積為多少平方厘米？【答案】400平方厘米【分析】根據圖形可得5個小長方形的寬的長度之和是50厘米，據此可以求出小長方形的寬，小長方形的一條長等于4條寬的和，分別求出小長方形的長，再求面積。【詳解】小長方形的寬：50÷5＝10（厘米），小長方形的長：50－10＝40（厘米）所以一個小長方形的面積＝長×寬40×10＝400（平方厘米）答：其中一個小長方形的面積為400平方厘米。【考點十】正方形的拼接裁剪問題。【方法點撥】多個相同的正方形進行拼接，可以拼成一個新的正方形，也可以拼成一個新的長方形。【典型例題1】裁剪問題。在一張邊長是10厘米的正方形紙中，剪去一個長6厘米、寬4厘米的長方形。小明想到了三種剪的方法（如下圖）。剩余部分的面積各是多少？剩余部分的周長呢？（單位：厘米）【答案】76平方厘米；40厘米、48厘米、52厘米【分析】根據對圖中信息的了解，這三個長方形都是減去了一個長為6厘米，寬為4厘米的長方形，計算面積的時候，用原來的面積減去長為6厘米，寬為4厘米的長方形的面積，得到的就是它們的面積；計算它們的周長時，利用平移法，將圖中的長和寬平移，不難發現，第一個圖形的周長不變，第二個圖形的周長多了兩條寬，第三個圖形多了兩條長，據此計算。【詳解】剩余部分的面積：10×10－6×4＝100－24＝76（平方厘米）剩余部分的周長：10×4＝40（厘米）10×4＋4×2＝40＋8＝48（厘米）10×4＋6×2＝40＋12＝52（厘米）答：剩余部分的面積都是76平方厘米，剩余部分的周長分別是40厘米、48厘米、52厘米。【對應練習1】一張正方形紙的邊長是15厘米。在它的邊上剪去一個長5厘米、寬3厘米的長方形，剩下的紙的周長是多少厘米？面積呢？先畫出你剪的方法，再計算。【答案】60厘米；210平方厘米。（答案不唯一）【分析】如圖，在一張邊長為15厘米的正方形邊上剪去一個長5厘米、寬3厘米的長方形，剩下的紙的周長，在減少兩條線段的同時，也增加了兩條相等的線段，所以剩下的周長還等于原正方形的周長，面積用正方形面積減去剪下的長方形面積，據此即可解答。【詳解】如圖：按下圖這樣剪：（答案不唯一）周長：15×4＝60（厘米）面積：15×15－5×3＝225－15＝210（平方厘米）答：剩下的紙的周長是60厘米，面積是210平方厘米。【點睛】本題是考查長方形和正方形的周長和面積，要認真審題，把可能出現的情況都想到，然后再任選一種解答。【對應練習2】如圖：一張長為8分米的正方形紙中剪去了一個長3分米、寬2分米的長方形．剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長是多少？【答案】58平方分米，36分米【分析】根據題意可知，剩下的面積＝正方形的面積﹣長方形的面積；剩下的周長，可以把長方形的長通過平移，也就是正方形的周長加上長方形的兩條寬邊，由此列式解答。【詳解】面積：8×8﹣3×2＝64﹣6＝58（平方分米）周長：8×4＋2×2＝32＋4＝36（分米）答：剩下部分的面積是58平方分米，剩下部分的周長是36分米。【點睛】此題主要考查正方形、長方形的周長和面積的計算，解答此題還要明確：從正方形紙中剪去了一個長3分米、寬2分米的長方形，面積比原來減少了，而周長比原來增加了。【典型例題2】拼接問題。有兩個大小一樣的正方形，邊長是18厘米，拼成一個長方形后周長是多少？面積是多少？【答案】108厘米；648平方厘米【分析】由題可知，拼成的長方形的長是2個18厘米，寬是18厘米，根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，長方形的面積＝長×寬，即可解答。【詳解】18×2＝36（厘米）（36＋18）×2＝54×2＝108（厘米）36×18＝648（平方厘米）答：長方形的周長是108厘米，面積是648平方厘米。【點睛】此題主要考查了長方形的周長和面積公式。【對應練習1】4個邊長是4厘米的小正方形，拼成一個大正方形，這個大正方形的周長和面積各是多少？【答案】周長是32厘米；面積是64平方厘米【分析】把4個邊長是4厘米的小正方形拼成一個大正方形，這個大正方形的邊長就是4＋4＝8（厘米），然后根據正方形的周長＝邊長×4，以及正方形的面積＝邊長×邊長進行計算即可解答。【詳解】這個大正方形的邊長是：4＋4＝8（厘米）8×4＝32（厘米）8×8＝64（平方厘米）答：這個大正方形的周長是32厘米；面積是64平方厘米。【點睛】此題應根據題意進行拼組，然后根據正方形的周長、面積計算公式，進行計算即可得出結論。【對應練習2】用9塊邊長6厘米的正方形紙片拼成一個正方形。（1）請你在下邊先畫圖。（2）所拼成圖形的周長和面積各是多少？【答案】（1）見詳解；（2）72厘米；324平方厘米【分析】（1）用9塊正方形紙片拼成一個正方形，可以拼成3行，每行2塊正方形紙片。則大正方形的邊長應為3×6＝18厘米。據此畫圖即可。（2）正方形的周長＝邊長×4，正方形的面積＝邊長×邊長，代入數據計算即可。【詳解】（1）（2）3×6＝18（厘米）18×4＝72（厘米）18×18＝324（平方厘米）則所拼成圖形的周長是72厘米，面積是324平方厘米。【點睛】熟練掌握正方形的周長、面積公式，靈活運用公式解決問題。【對應練習3】用6個邊長為1厘米的小正方形可以拼成一個大長方形，有幾種拼法？畫圖表示出來。拼成的長方形的面積是多少？【答案】兩種第一種拼法：面積為：6×1＝6（平方厘米）第二種拼法：面積為：3×2＝6（平方厘米）【分析】可以把6個邊長為1厘米的正方形都擺在同一行，拼成一個長為6厘米，寬為1厘米的長方形；接下來根據長方形面積的計算公式求出面積；還可以把六個正方形擺成兩行，每行三個，拼成一個長為3厘米。寬為2厘米的長方形，進而求出面積。【詳解】第一種拼法：面積為：6×1＝6（平方厘米）第二種拼法：面積為：3×2＝6（平方厘米）【點睛】本題關鍵要將兩種拼法給拼出來再分別計算面積。【考點十一】鋪磚問題其一。【方法點撥】解決鋪磚問題的方法：1.要鋪的圖形的面積+地磚的面積=地磚的總塊數。2.要鋪的圖形的長可以鋪的塊數×要鋪的圖形的寬可以鋪的塊數=地磚的總塊數。【典型例題】佳興小區有一塊邊長為8米的正方形休閑場地，用面積是4平方分米的彩色方磚來鋪這塊休閑場地，共需要多少塊?解析：8×8=64（平方米）64平方米=6400（平方分米）6400÷4=1600（塊）答：共需要1600塊。【對應練習1】狀狀家的衛生間長6米，寬3米，用面積是9平方分米的方磚鋪地，需要多少塊方磚?解析：

6×3=18（平方米）18平方米=1800平方分米1800÷9=200（塊）【對應練習2】濤濤裝修長4米，寬3米的書房。如果書房地面要鋪上邊長是2分米的正方形地磚，一共需要多少塊？(1)濤濤的計算方法如下：4×3＝12（平方米）12平方米＝1200平方分米1200÷2＝600（塊）你同意濤濤的做法嗎？同意的請說理由；不同意的寫新的解答過程。(2)如果每塊地磚的售價是18元，濤濤買這些地磚至少要花多少錢？解析：(1)不同意4×3＝12（平方米）12平方米＝1200平方分米2×2＝4（平方分米）1200÷4＝300（塊）答：一共需要300塊。(2)300×18＝5400（元）答：濤濤買這些地磚至少要花5400元。【對應練習3】一條校園小路長120米，寬3米。用邊長3分米的水泥方磚鋪地，需要這種水泥方磚多少塊？校園小路的面積：120×3＝360（平方米）360平方米＝36000平方分米每塊方磚的面積：3×3＝9（平方分米）方磚的塊數：36000÷9＝4000（塊）答：需要這種水泥方磚4000塊。【考點十二】鋪磚問題其二。【方法點撥】地磚的總塊數×每塊磚的面積=要鋪的圖形的面積。【典型例題】一間廚房用長方形的地磚鋪地，每行鋪15塊，鋪20行。（1）這個廚房一共鋪多少塊地磚?（2）如果每塊地磚長4分米，寬3分米，這個廚房的面積是多少平方米?解析：（1）15×20=300（塊）（2）4×3×300=3600（平方分米）=36（平方米）【對應練習1】明明家用邊長是8分米的方磚鋪地，臥室正好用了50塊方磚，明明家臥室的面積是多少平方米?解析：8×8×50=3200（平方分米）3200平方分米=32平方米【對應練習2】工程隊用邊長為4分米的方磚鋪會議室地面，沿著長正好鋪了35塊，沿著寬正好鋪了25塊，會議室的面積有多少平方米？解析：4×4＝16（平方分米）16×（35×25）＝16×875＝14000（平方分米）14000平方分米＝140平方米答：會議室的面積有140平方米。【對應練習3】學校會議室是一個長方形。如果用邊長5分米的方磚來鋪地面，沿著長邊可鋪20塊，沿著寬邊可鋪10塊。學校會議室地面面積有多少平方米？解析：5×5×（10×20）＝25×200＝5000（平方分米）＝50平方米答：學校會議室地面面積有50平方米。【考點十三】鋪磚問題其三。【方法點撥】確定最優的鋪磚方案時，需根據不同磚的類型確定磚的塊數以及對應的金額，找出最省錢的方案。【典型例題】李紅家準備在客廳地面上鋪方轉，選擇哪種方磚便宜，需要這種方磚多少塊？解析：邊長2分米，面積是（）平方分米，每平方分米的單價是：（元），邊長1分米，面積是（）平方分米，單價是3元。2，所以選擇邊長2分米的方磚便宜。6米＝60分米4米＝40分米（60×40）÷（2×2）＝2400÷4＝600（塊）答：選擇邊長2分米的方磚便宜，需要