高中PAGE1試題2023-2024學(xué)年北京市順義一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1，3)，則A．?1+3i B．?1?3i C．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（1，0），則向量AB→A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）3．（4分）下列函數(shù)中，最小正周期為π且是偶函數(shù)的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x4．（4分）在△ABC中，a＝2，c＝3，∠C=π6，那么sinA．36 B．33 C．135．（4分）在△ABC中，“cosA＜cosB”是“A＞B”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）將函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則A．sin(2x+π6) C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（1，﹣2），Q（3，4），則cos∠POQ＝（）A．53 B．55 C．?58．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x+cos2x，則（）A．f（x）的最小值為0 B．f（x）的最小正周期為π2C．將f（x）向右平移π8個(gè)單位所得圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π9．（4分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，若3bsinA=acosB，6S=A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形10．（4分）已知點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P都在單位圓上，且|AB|=3，則PAA．32 B．3 C．1 二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知向量a→=(?2，3)，b→=(x，?6)．若a→∥b→，則x＝12．（5分）復(fù)數(shù)1﹣i的模等于；虛部等于．13．（5分）已知向量a→，b→，c→在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示，則（a→14．（5分）已知圓柱的底面半徑為3，體積為32π3的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為，圓柱的體積為15．（5分）如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD﹣A′B′C′D′容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A′D′始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA′時(shí)，AE+BF是定值．其中所有正確的命題的序號(hào)是．三、解答題（共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16．（14分）已知向量a→=（﹣1，3），（Ⅰ）求a→?b（Ⅱ）求a→與b（Ⅲ）求|2a→17．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA與平面ABCD垂直，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若AP＝1，AB＝2，AD＝3，求四棱錐P﹣ABCD的體積．18．（14分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π（Ⅰ）求f(π（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為1，求m的取值范圍．19．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為m，M、N分別為PC、AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求證：BC∥m．20．（14分）①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b?ac?cosAcosC=0；③已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足_____．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c＝3，求△ABC面積的最大值．21．（15分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（1）若csinC﹣asinA＝（c﹣b）sinB，①求A；②若bc＝2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA→（2）若cos2B+cos2C﹣cos2A＝1，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|＝t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．

2023-2024學(xué)年北京市順義一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案BBCCCCDCAA一、選擇題（每小題4分，共40分，四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1，3)，則A．?1+3i B．?1?3i C．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1，3則z=?1+故z＝﹣1?3i故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，1），B（1，0），則向量AB→A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）【分析】根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)即可求出向量AB→【解答】解：∵A（﹣2，1），B（1，0），∴AB→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）下列函數(shù)中，最小正周期為π且是偶函數(shù)的是（）A．y=sin(x+π4) B．yC．y＝cos2x D．y＝sin2x【分析】利用三角函數(shù)的奇偶性與周期性的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：y=sin(x+π4)的周期T＝2π≠πy＝f（x）＝tanx滿足f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），即y＝tanx為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；y＝f（x）＝cos2x滿足f（﹣x）＝f（x），即y＝cos2x為偶函數(shù)，且其周期T=2π2=πy＝f（x）＝sin2x滿足f（﹣x）＝﹣f（x），即y＝sin2x為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的奇偶性與周期性，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）在△ABC中，a＝2，c＝3，∠C=π6，那么sinA．36 B．33 C．13【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理的公式，即可求解．【解答】解：∵a＝2，c＝3，∠C=π∴由正弦定理可得，sinA=asinC故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）在△ABC中，“cosA＜cosB”是“A＞B”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵y＝cosx在（0，π）內(nèi)單調(diào)遞減，∴cosA＜cosB?A＞B，∴cosA＜cosB是A＞B的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分必要條件的判斷，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）將函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則A．sin(2x+π6) C．cos2x D．﹣cos2x【分析】根據(jù)平移變換法則求解g（x）解析式．【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(2x?π6)可得y＝sin[2（x+π3）?π6]＝sin（2x故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換法則，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（1，﹣2），Q（3，4），則cos∠POQ＝（）A．53 B．55 C．?5【分析】利用向量坐標(biāo)的數(shù)量積可求得答案．【解答】解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（1，﹣2），Q（3，4），∴OP→=（1，﹣2），∴cos∠POQ=OP故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x+cos2x，則（）A．f（x）的最小值為0 B．f（x）的最小正周期為π2C．將f（x）向右平移π8個(gè)單位所得圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π【分析】化簡得出：f(x)=2sin(2x+π4)，然后可求出f（x）的最小值，從而判斷A的正誤；求出f（x）的周期，從而判斷B【解答】解：f(x)=2f（x）的最小值為?2，Af（x）的最小正周期為T=2π2=π將f（x）向右平移π8得到g(x)=2sin[2(x?x∈[0，π4]時(shí)，2x+π4∈[π4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的最值和周期計(jì)算公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，平移變換，是基礎(chǔ)題．9．（4分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，若3bsinA=acosB，6S=A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，推出B=π【解答】解：3bsinA=acosB由正弦定理可知，3sinBsinA=sinAcosBA，B∈（0，π），則sinA＞0，故tanB=33，即B6S=3則6?12bcsinA=3故A=π所以△ABC的形狀為等腰三角形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）已知點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P都在單位圓上，且|AB|=3，則PAA．32 B．3 C．1 【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為E，得|OE|=12，∠AOB＝120°，將PA→?PB【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，因?yàn)閨OA||OB|＝1，|AB|=3所以|OE|=12，∠則PA=OA=?1=1因?yàn)椹?≤cos∠POE≤1，所以?1則PA→?PB故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知向量a→=(?2，3)，b→=(x，?6)．若a→∥b→，則x＝【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行、垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：a→=(?2，3)，b→則3x＝（﹣2）×（﹣6），解得x＝4，a→則﹣2x+3×（﹣6）＝0，解得x＝﹣9．故答案為：4；﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）復(fù)數(shù)1﹣i的模等于2；虛部等于﹣1．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及模長公式求解．【解答】解：復(fù)數(shù)1﹣i的模等于1+1=故答案為：2；﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知向量a→，b→，c→在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示，則（a→【分析】結(jié)合已知條件求出斜率的數(shù)量積的向量，然后求解向量的數(shù)量積即可．【解答】解：由題意向量a→=（2，﹣1），b→a→則（a→+b故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知圓柱的底面半徑為3，體積為32π3的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為2，圓柱的體積為36π【分析】利用球的體積公式、圓柱的體積公式，直接求解．【解答】解：因?yàn)榍虻捏w積為32π3，則球半徑r滿足43π又因?yàn)榍蚺c圓柱的上、下底面相切，所以圓錐的高為2r＝4，所以圓柱的體積為V＝π×32×4＝36π．故答案為：2；36π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球、圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD﹣A′B′C′D′容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A′D′始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA′時(shí)，AE+BF是定值．其中所有正確的命題的序號(hào)是①③④．【分析】①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面判斷即可；②水面四邊形EFGH的面積不改變；可以通過EF的變化EH不變判斷正誤；③棱A′D′始終與水面EFGH平行；利用直線與平面平行的判斷定理，推出結(jié)論；④當(dāng)E∈AA′時(shí)，AE+BF是定值．通過水的體積判斷即可．【解答】解：①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面AA′B′B平行平面CC′D′D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變；EF是可以變化的EH不變的，所以面積是改變的，②是不正確的；③棱A′D′始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的判斷定理，可知A′D′∥EH，所以結(jié)論正確；④當(dāng)E∈AA′時(shí)，AE+BF是定值．水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所以正確．故答案為：①③④【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識(shí)，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．三、解答題（共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16．（14分）已知向量a→=（﹣1，3），（Ⅰ）求a→?b（Ⅱ）求a→與b（Ⅲ）求|2a→【分析】（Ⅰ）直接利用向量的數(shù)量積公式求解a→?b（Ⅱ）利用向量的數(shù)列數(shù)量積公式；求解向量a→與b（Ⅲ）通過向量的模的議事規(guī)則求解|2a→【解答】解：（Ⅰ）向量a→=（﹣1，3），所以a→?b（Ⅱ）cos＜a→，b→＞=a→?（Ⅲ）|2a→?b【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，向量的夾角以及向量的模的求解，是基礎(chǔ)題．17．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA與平面ABCD垂直，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若AP＝1，AB＝2，AD＝3，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【分析】（Ⅰ）連接AC∩BD＝F，連接EF，則易得PB∥EF，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明；（Ⅱ）根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）證明：如圖，連接AC∩BD＝F，連接EF，則F為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，∴PB∥EF，又PB?平面AEC，EF?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA與平面ABCD垂直，又AP＝1，AB＝2，AD＝3，∴四棱錐P﹣ABCD的體積為13【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，四棱錐的體積的求解，屬基礎(chǔ)題．18．（14分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π（Ⅰ）求f(π（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為1，求m的取值范圍．【分析】（I）由題可得f(x)=sin(2x+π【解答】解：（I）f(x)=sin(2x?π∴f（π6（Ⅱ）若f(x)=sin(2x+π由2kπ?π2≤2x+π6≤2kπ+π2所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ?π（Ⅲ）∵x∈[0，m]，∴2x+π6∈[π6∴2m+π∴m≥π故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥π【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為m，M、N分別為PC、AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求證：BC∥m．【分析】（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EM，由題意可證得四邊形ANME為平行四邊形，再由線面平行的判斷定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由題意可證得BC∥平面PAD，再由線面平行的性質(zhì)定理可證得結(jié)論．【解答】證明：（Ⅰ）取PD的中點(diǎn)E，連接AE，EM，因?yàn)镸，N分別是PC，AB的中點(diǎn)，所以EM∥CD，且EM=12所以EM∥AN且EM＝AN，所以四邊形ANME為平行四邊形，所以MN∥AE，而MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD；（Ⅱ）因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD∩平面PBC＝m，BC?平面PBC，所以BC∥l．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平行平行的性質(zhì)的應(yīng)用及線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（14分）①（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）；②2b?ac?cosAcosC=0；③已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足_____．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c＝3，求△ABC面積的最大值．【分析】（Ⅰ）先選擇條件，再根據(jù)三角形的正、余弦定理，求出角C；（Ⅱ）根據(jù)題（Ⅰ）再結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若選擇①：由①及正弦定理可得（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得cosC=a又C∈（0，π），∴C=π若選擇②：由②及正弦定理得2sinB?sinAsinC所以2sinBcosC﹣sinAcosC﹣cosAsinC＝0，即2sinBcosC﹣（sinAcosC+cosAsinC）＝0，即sinB（2cosC﹣1）＝0，由sinB≠0，∴cosC=1又C∈（0，π），故C=π若選擇③：由③可得csinB=3bcosC，∴∵sinB≠0，∴sinC=3cosC，∴tanC=又C∈(0，π)，C=π（Ⅱ）S△ABC根據(jù)余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，即9＝a2+b2﹣ab，9+ab＝a2+b2≥2ab，則ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以S△ABC=34ab≤【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．21．（15分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（1）若csinC﹣asinA＝（c﹣b）sinB，①求A；②若bc＝2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求PA→（2）若cos2B+cos2C﹣cos2A＝1，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|＝t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余