高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省名校學術聯盟2025屆高三下學期模擬沖刺數學試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以所求的否定是：.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則所以.故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，所以在上的投影向量為.故選：C4.已知均為正數，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】由均為正數，得，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：D5.同時滿足：①偶數；②沒有重復數字的三位數；③個位數不為0，這三個條件的數有（）A.64個 B.128個 C.196個 D.256個【答案】D【解析】個位數的選擇：由于是偶數且個位不能為0，個位只能是2、4、6、8中的一個，共有4種選擇.百位數的選擇：百位不能為0，且不能與個位數字重復.因此，對于每個個位數，百位有8種選擇（1-9中排除個位數）.十位數的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個位已經使用的數字，剩下的8種選擇.根據分步乘法計數原理同時滿足題設三個條件得數得總個數為種.故選：D.6.設，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C7.已知過原點且斜率存在的直線與圓交于，兩點（為圓心），當的面積最大時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設直線l的方程為：，圓心到直線距離，弦長，所以，當時，面積S最大，這時，整理得，解得，所以直線的斜率為．故選：B8.已知橢圓與雙曲線的公共焦點分別為，離心率分別為是的一個公共點．若點滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】由，得，，由，得，在中，，由余弦定理得，由橢圓定義得，即，由雙曲線定義得，即，所以.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.近些年食品安全問題日益突出，為了達到宣傳食品安全防范意識的目的，某市組織全市中學生食品安全知識競賽活動．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級中抽取10名同學作為代表隊參賽，已知該校高一?二?三年級的人數比例為，統計并記錄抽取到的10名同學的成績（滿分100分）為：，則（）A.中位數為90 B.分位數為92C.方差為58 D.代表隊中高三同學有4人【答案】AC【解析】將10名同學的成績從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，對于A，中位數為，A正確；對于B，由，得分位數為，B錯誤；對于C，平均數為，方差，C正確；對于D，由分層抽樣，得高三年級的同學有人，D錯誤.故選：AC10.已知函數，則（）A.的最小正周期為2B.為圖象的一條對稱軸C.在區間上先單調遞增后單調遞減D.在區間上恰有8個零點【答案】BCD【解析】對于A，的最小正周期為，A錯誤；對于B，，則為圖象的一條對稱軸，B正確；對于C，當時，，函數在上遞增，在上遞減，因此在區間上先單調遞增后單調遞減，C正確；對于D，由，得，解得，由，解得，而，，因此的整數值有8個，D正確.故選：BCD11.已知函數的定義域為，滿足，則（）A.B.是奇函數C.當時，D.（，且）【答案】ACD【解析】A：令，則，對；B：令，則，故，而且，若，則，錯；C：當，則，若，，則，所以，即，即是首項為，公比為2的等比數列，故，所以，對；D：令，，則，即，所以，令，則，所以且，則，所以，即是首項為，公比為的等比數列，所以，則，所以，又且，則，，所以，對.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標為__________．【答案】【解析】拋物線化為：，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________．【答案】【解析】在中，由及余弦定理，得，由正弦定理得故答案為：14.光學是物理學的重要研究領域，點光源是抽象化的物理概念，指從一個點向周圍空間均勻發光的光源.如圖1所示，有一點光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長方形的影像，此時點光源發光所形成的空間圖形是以為頂點，以長方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉軸向箭頭方向旋轉時，屏幕上映出的影像從長方形變成了梯形，則四棱錐的體積為______.【答案】72【解析】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，，因為，是矩形，則是中點，也是中點，所以，又因為平面，，所以平面，取中點，中點，連接，則，，，，又因為，平面，所以平面，而平面，所以，設，連接，所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，易得，，，，，所以，，即，，所以，從而，中由正弦定理有，，所以，解得，同理得，所以是中點，所以是的中位線，，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，過作平面的垂直，則垂足在上，，所以，從而到平面的距離為，，所以，故答案為：72．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程和解題步驟．15.在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點，記平面和平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在等腰梯形中，由，得，而為的中點，則，四邊形為平行四邊形，于，又平面平面，因此平面，而平面，平面平面，則，又平面，所以直線平面.（2）解：取的中點，連接，則，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，則，由為等邊三角形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面的法向量，則，取，得，平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當時，，，，，故曲線在點處的切線方程為.（2）當時，的定義域為，，令，解得或（舍去），所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，解得，即；當時，的定義域為，，令，解得（舍去）或，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，解得，即.綜上所述，的取值范圍是.17.已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問）中隨機選擇3道，甲做第一問，乙做第二問.4道題中甲會做其中3道題的第一問，若甲能做出第一問，則乙做出第二問的概率是；若甲做不出第一問，則乙也做不出第二問．（1）求甲和乙配合做出2道題的概率；（2）記甲和乙配合做出題目的個數為，求的分布列和期望．解：（1）甲乙配合做出2道題的事件為，則需要抽中2個或3個甲會做的題，且乙做對其中2道，因此，所以甲和乙配合做出2道題的概率為．（2）依題意，隨機變量可能的取值為，可得，，，．所以的分布列為0123數學期望.18.已知數列滿足，且．（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：．（附：當時，）證明：（1）由題意可得.構造函數，則，在單調遞增.所以，即任意時，.，，且，且，故.（2）下面用數學歸納法證明.①當時，成立；當時，成立；②假設當時，，，則當時，，且，所以，綜合①②可知，對任意，成立.，，由，則，即，，數列為遞增數列，，即.（3）要證，由，故即證.當時，成立；當時，由題附結論可知，當時，，所以，即，由，故在式兩邊同除以得，所以，即，，，由，可得數列是正項遞減數列，又數列為正項遞增數列，所以，則，又，，，綜上所述，對任意，都有，故，得證.19.給定平面上一些點的集合D及若干個點若對于為定值，我們就稱為一個穩定點集.（1）判斷集合與點構成的是不是穩定點集，并說明理由；（2）判斷集合以及點構成的是不是穩定點集，