高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省石家莊市2025屆普通高中畢業年級教學質量檢測（二）數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意，所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，所以集合，則.故選：A.3.如果，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則，則，即，充分性成立；若，，則，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要條件.故選：C4.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為12，到軸的距離為9，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】設拋物線的焦點為，由拋物線的定義知，因為點到軸的距離為9，即，所以，解得.故選：D5.已知一個圓柱的底面直徑與其外接球半徑均為2，則該圓柱的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，軸截面為，所以圓柱的側面積為，故選：B.6.如圖，在中，已知，D是BC邊上的一點，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，又因為，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得.故選：D7.設點為雙曲線右支上的動點，為該雙曲線的右焦點，已知點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設雙曲線的左焦點為，由雙曲線的定義得，所以最小值為.故選：B.8.已知函數，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知函數定義域為，又，故為偶函數，當時，，所以，令，結合對勾函數在單調遞增，在單調遞增，由復合函數的單調性可知：在上單調遞增，又在上單調遞增，故在上單調遞增，易知在上單調遞增，結合函數為偶函數，所以由可得，平方得：，解得或，所以不等式的解集為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.當研究兩個變量之間的關聯程度時，若相關系數的絕對值越接近于1，則兩個變量的線性相關程度越弱B.在評估模型擬合效果時，決定系數越接近1，表示模型對數據擬合效果越好C.通過樣本數據得到的回歸直線一定經過點D.設關于分類變量與的獨立性檢驗的原假設為與無關，根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到，依據的獨立性檢驗（），沒有充分證據推斷不成立，即認為與無關.【答案】BC【解析】因為相關系數絕對值越接近1兩個變量的線性相關程度越強，故A選項錯誤.因為決定系數越接近1，表示模型對數據的擬合效果越好，故B選項正確.因為回歸直線一定經過樣本均值點，故C選項正確.因為應拒絕原假設，即認為與有關聯，而非無關，故D選項錯誤.故選：BC10.點在所在平面內，下列說法正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則為的重心C.若，則D.若為邊長為2的正三角形，為的中點，點在線段上運動，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，所以鈍角三角形，故A正確；對于B，因為，取的中點，連接，則有，所以，所以，所以為的重心，故B正確；對于C，因為，，所以點在線段上，如圖所示：取的四等分點，靠近的點為，取的四等分點，靠近的點為，連接則有∥且,所以的高是的高的，所以，故C錯誤；對于D，以為原點，邊所在的直線為軸，邊所在的直線為軸，建立平面坐標系，如圖所示：易知直線的方程為，設，因為，所以，所以，，又因為，所以當時，取最小值，為；當時，取最大值，為；所以，即，故D正確.故選：ABD.11.函數，則下列說法正確的是（）A.當時，的極小值為0B.若有3個零點，，，則C.若，則為奇函數D.當時，在區間上單調遞增【答案】BD【解析】對于A，當時，，則，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；所以為的極小值，故A錯誤；對于B，由可知是其一個零點，令，令，設是的兩個根，由韋達定理得，所以，若函數的3個零點為，，，則，故B正確；對于C，令，當時，，所以函數不是奇函數，故C錯誤；對于D，，因為當時，，當時，，所以，所以，當時，在區間上單調遞增，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分（其中14題第一個空2分，第二個空3分）.12.已知為第一象限角，，則__________.【答案】【解析】因為，且為第一象限角，則，所以.故答案為：13.若圓被直線所截得的弦長為10，過點作圓的切線，其中一個切點為，則的值為__________.【答案】【解析】由弦長為，結合垂徑定理可得：，解得，結合已知點，可得：所以，故答案為：.14.卷積神經網絡（ConvolutionalNeuralNetwork，簡稱CNN）是人工神經網絡的一種，它在圖象識別中扮演關鍵角色，即使圖象經歷平移，旋轉等變換也能準確識別.它的工作原理是用卷積核在原圖上進行步長為1的運動掃描，卷積核與掃描部分的對應位置數字相乘并求和得出新的值，例如下圖中卷積核對一個圖象運算，圖中虛線部分經過運算為，，依此規律完成第1階段的卷積運算，同理完成第2階段的卷積運算，得到卷積結果為.根據以上信息卷積核按照步長為1進行運動掃描，一個的圖象，記表示其第行，第列數據，滿足，卷積核為，圖象經歷__________個階段卷積核運算后，卷積結果為一個數值；若滿足（），則__________.（參考數據：）【答案】①.99②.29【解析】根據題意，圖象經過第1階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數據，滿足，經過第2階段后得到圖象，記，表示其第行，第列數據，滿足，00依次類推，經過第98階段后得到圖象，如圖經過第99階段后得到，則，解得，即，又，所以.故答案為：，29.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數列的前項和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）設等差數列的公差為d，則，解得，，.（2）由（1），所以①②.①－②得..16.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，，又是的中點，則且，由是的中點，底面為矩形，則，故，，所以，所以四邊形為平行四邊形，則，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：底面為矩形，可得，平面平面，平面平面，，平面PAB，所以平面，則，，可以以，，分別為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，，，所以，設平面EFD的一個法向量為，則，令，則，依題意，可得平面PAB的一個法向量為，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：（2）底面為矩形，，平面平面，平面平面，平面，所以平面PAB延長，交于點，連接，過點作，垂足為點，連接.平面，平面，，，平面，平面ADH，，為二面角的平面角，，，，，，，，在中，，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知函數，其中.（1）若，求的單調區間；（2）若，，為的兩個不同的極值點，求的最小值.解：（1）因為，所以，，令，解得或，令，解得；所以的單調遞增區間為和，單調減區間為.（2）由題意知：，，有兩個不等正根，，解得：，；令，則，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，即的最小值為.18.在一個溫馨的周末，甲同學一家人齊聚在寬敞明亮的客廳里進行擲游戲幣活動，假設每次擲游戲幣出現正面的概率為，且，每次擲游戲幣的結果相互獨立.（1）當時，若甲連續投擲了兩次，求至少出現一次正面向上的概率；（2）若規定每輪游戲只要連續不斷的出現三次正面向上，則游戲結束，每輪最多連續投擲6次.①甲在一輪游戲中恰好投擲了5次游戲結束的概率為，求的表達式；②設甲在一輪游戲中投擲次數為，求的最大值.解：（1）設事件表示第次正面向上，其中.且，，設事件：“至少出現一次正面向上”.（2）①設事件：“恰好投擲了5次游戲結束”，則.故.所以.②由題意知，，，..則.令，，當時，，即在上單調遞減，故，因此，的最大值為.19.已知橢圓的離心率為，，分別為的左，右焦點，點為曲線在第一象限內圖象上的一點，的周長為，若為坐標原點，記，，.（1）求的方程及的值；（2）若，為上不同的兩點，滿足，設，，的面積分別為，，，求證：當變化時，為定值；（3）請探究