湖南省部分學校2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A. B. C. D.2．已知，若復數，則（）A.2 B.3 C. D.3．已知直線與圓相交于兩點，，則（）A.1 B.2 C.3 D.44．已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.-15．已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為是雙曲線上的一點，且，則（）A. B.5 C. D.或6．已知函數，則使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.7．已知，函數的最小正周期為，若，且的圖象關于直線對稱，則（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-48．甲、乙、丙三人各自計劃去上海旅游，他們在4月21日到4月23日這三天中的一天到達上海，他們在哪一天到達上海相互獨立，且他們各自在4月21日到4月23日到達上海的概率如下表所示：4月21日4月22日4月23日0.20.30.5若甲、乙兩人在同一天到達上海的概率小于甲、丙兩人在同一天到達上海的概率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.2020至2024年我國快遞業務量及其增長速度如圖所示，則（）A.2020至2024年我國快遞業務量逐年增長B.2020至2024年我國快遞業務量的中位數是1106億件C.2020至2024年我國快遞業務量增長速度的極差是19.4％D.估計我國2019年的快遞業務量大于500億件10．已知邊長為2的正方形ABCD的邊CD上有一點（不含端點），邊BC上有一點，且，如圖1所示．現把沿EF折起到的位置，得到棱錐，如圖2．設，棱錐的體積的最大值為，則（）A.是單調遞增函數B.函數先單調遞增后單調遞減C.當平面平面ABFED時，AP的長有最小值2，沒有最大值D.函數有最大值，沒有最小值11．已知不等式對任意成立，則實數的取值可以為（）A. B. C. D.e三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，且，則____________．13．已知某圓錐的底面圓半徑為3，母線長為5，則該圓錐的外接球的表面積為____________．14．已知有窮數列的各項均不相等，將的項從大到小重新排序后相應的項數構成新數列，稱數列為數列的“序數列”．例如數列滿足，則其“序數列”為2，3，1．若有窮數列滿足，且數列的“序數列”單調遞減，數列的“序數列”單調遞增，則____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知的內角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，求的面積；（3）若，求的周長．16．（15分）已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，且的右頂點為．（1）求的方程；（2）設過點且傾斜角為的直線與交于兩點，求．17．（15分）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，是BC的中點，是側面內的一點（含邊界）．（1）若是側面的中心，證明：．（2）若平面，試求點的軌跡的長度．（3）求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知一個盒中裝有3個大小、形狀完全相同的小球（1個紅球和2個黑球），從盒中每次隨機不放回地取出1個小球，若取出的是紅球，則將1個黑球放入盒中；若取出的是黑球，則將1個紅球放入盒中，以上取1個球再放1個球的過程稱為1次操作．假設每次取球相互獨立．（1）經過2次操作后，記盒中紅球的個數為，求的分布列；（2）求第3次操作取到紅球的概率；（3）設經過次操作后，盒中全是黑球的概率為，求數列的前項和．19．（17分）已知函數，且的圖象在點處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）若是在上的一個極值點，證明：．

高二數學試卷參考答案1．D．2．C因為，所以，則．3．B設圓心到直線的距離為，則．因為，所以，解得．4．C因為，所以，所以．5．A由雙曲線的離心率為2，可得，所以的方程為．當點在雙曲線的左支上時，．當在雙曲線的右支上時，，因為點到焦點距離的最小值為，所以不符合題意，舍去．6．B易知是偶函數，當時，，則在上單調遞增．由，得，解得．7．D因為，所以，解得．又的圖象關于直線對稱，所以，解得．因為，所以，所以.8．C設甲、乙兩人在同一天到達上海的概率為，甲、丙兩人在同一天到達上海的概率為．根據全概率公式可得．由，得，即，又，所以．9．ABD2020至2024年我國快遞業務量逐年增長，A正確．2020至2024年我國快遞業務量的中位數是1106億件，B正確．2020至2024年我國快遞業務量增長速度的極差是，C錯誤．設我國2019年的快遞業務量為億件，則，D正確．10．BD依題意得平面平面ABFED，且棱錐的高為，棱錐的底面面積，所以．由，知在上單調遞增，在上單調遞減，所以A錯誤，B正確．因為，所以D正確．因為，令，易知在上單調遞減，所以AP的長度沒有最值，C錯誤．11．ABD原不等式可化為．令，則原不等式等價于，易知在上單調遞增，所以不等式可化為，兩邊取對數即得，所以恒成立．令，則，可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，即實數的取值范圍為．故選ABD.12．2因為，所以，解得．13．設該圓錐的高為，外接球的半徑為，則．由，解得，所以該圓錐的外接球的表面積．14．因為的“序數列”單調遞減，所以數列單調遞增，則，所以．又因為，所以，所以，所以①．同理可得②，由①②得，所以.15．解：（1）因為，所以，…………2分則，即，即，………………5分在中，，則．………………6分（2）在中，由，得，…………………7分所以的面積．…………9分（3）由，…………………11分得，………………12分所以的周長為．…………13分16．解：（1）因為，所以的右焦點坐標為，………2分所以，即，…………………4分所以的方程為．………………5分（2）依題意可得直線的方程為．…………7分由得．……………………10分設，則，………………12分則．………15分17．（1）證明：如圖1，取CD的中點，連接，則平面ABCD，所以．……………………1分因為PM是的中位線，所以．…………2分因為ABCD是菱形，所以，從而．…………………3分又，所以平面MPQ，從而……………4分（2）解：如圖2，取CD的中點的中點，連接，，則．………………………5分又平面平面，所以平面．…………………6分同理平面，又，所以平面平面．………7分因為平面平面，所以MN就是點的軌跡．因為，所以點的軌跡長度為．…………………9分（3）解：設AC與BD交于點，由題設可知，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖3所示，則，，）．………………………11分設平面的法向量為，由得令，得．……………13分設平面的法向量為，則，由得令，得．………………14分設平面與平面的夾角為，則…15分18．解：（1）的所有可能取值為1,3，…………………1分,……………3分故的分布列為13……………………4分（2）（方法一）設事件表示第次取到紅球，則.………………8分（方法二）由（1）知第3次操作取到紅球的概率為．…………………8分（3）設次操作后，盒中全是黑球、1個紅球和2個黑球、2個紅球和1個黑球、全是紅球的概率分別為．由操作規則可知，當為奇數時，盒中全是黑球或2個紅球、1個黑球，當為偶數時，盒中全是紅球或1個紅球、2個黑球，即，其中．…………10分因為，……12分所以，………………………13分所以是以為首項，為公比的等比數列，……………14分則．………………………15分故．……………………17分19．（1）解：由題可知，解得．…………1分，由，解得，………………3分.…………………4分（2）證明：由（1）得．（i）當時，，所以，則，所以在上單調遞增．………………………5分（ii）當時，．令，則．因為，所以，則在上單調遞減．…7分因為，所以存在，使得，即，也即，則在上，，在上，，所以在上