姓名:準考證號:所在院校:考姓名:準考證號:所在院校:考場號:座位號:專業:第十四屆全國大學生數學競賽預賽試卷參考答案(數學A類，2022年)題號一二三四五六總分2.密封線左邊請勿答題，密封線外不得有姓名及相關標記.密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線一、(本題15分)在空間直角坐標系中已知單葉雙曲面S的方程為x2+g2-z2=1.求過P=(1,1,1)點落在單葉雙曲面S解答.設過P點直線的方向向量(單位向量)為設它整體落在單葉雙曲面S上，代入S的方程，得到12由方程(1)和(2)得到得到兩條過P且落在單葉雙曲面S上的直線(x,y,z)=(1,1,1)+vit,(x,y,z)故兩直線夾角為60°(或120°,跟直線定向有關)...3姓名:準考證號:所在院校:考場號:座位號:姓名:準考證號:所在院校:考場號:座位號:專業:證二、(本題15分)設kb存在并求其值.明極限{An},{Bn}有界.記由Stolz公式或利用定積分，我們有另一方面，對于n≥2,有(12分)(12分)-O---O--4證明.令,矩陣B,矩陣B與A可使得B=A*.數且a>b.再由detB=1得到a2-ab-b2=1.若b=1,則由a2-ab-b2=1易得a=2,因此若b>1,考察矩陣令a?=a-b,b?=2b-a,則有2a-3b=a?-b?,即顯然a?為正整數.注意到a2-ab-b2=1,若a≥2b,則有1+b2=a2-ab=a(a-b)≥2b2,即b2≤1,矛盾，由此得到b?=2b-a也是正整數.顯然a2-a?b?-b2=detB?=(detA)-1detB=1,即a?(a?-b?)=1+bi>0,從而a?>b?.這表明矩陣B?中的元素a?,b?滿足矩陣B中元素a,b所滿足的條-O密封線答題時不要超過此線O中中的元素as,bs滿足as>bs>0,a2-asb?-b2=1且b?為最小正整數,即bs=1……………(15分)u6四、(本題20分)設n≥2為正整數，證明多項式f(x)=x"-x-1在有理數域Q證明.對任意多項式F(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1C+ao,用F(x)表顯然有F(x)=F(x)且若F(x)=G(x)H(x)為多項式G(x)和H(x)的乘積，則F(x)=G(x)H(x)是互反多項式G(x)和Ha)的乘積.下面證明f(x)=xn-x-1在有理數域◎上不可約.若n=2,則結論顯然成下面設n≥3.若f(x)在Q上可約，由于f(x)本原，所以存在整系數多時degh(x)=n-r.進個步地，由于f(x)的首項系數為1,常數項為-1,我們可令k(x)=g(x)h(x)∈Za],即由于degh(x)=degh(x)=n-r,我們有degk(x)=f(z)f(x)=-a2n-x2-1+a"+1+3a"+a”?1-x-1.記k(x)=bnx"+bn-1xn-1+…+b?x+bo,則顯然有bn,bo=±1.比較(1)式兩7所以b2+…+b2-1=1.由于b?,…,bn-1均為整數，所以b?,…,bn-1中恰有一個為±1而其余均為0,即k(x)形如k(x)=bnxr"+bix2+bo,1≤i≤n-1,k(x)k(x)=bnbox2n+bnb;x2n-i+b;box"+i+3x"+bnb;x2+b;box"?下面看(1)式中次數<n的各項系數，常數項bnbo=-1,由此得到bo=-bn.且bi=bo=-bn,這時k(x)=bnx"-bnx-bn=bnf(x).若n-i<i,有i=n-1且b;=bn=-bo,這時k(x)=bnx"+bnxn-1-bn=-bnf(x).這樣我們證明了k(x)=±f(x)或者k(x)=±f(x).若k(x)=±f(x),則有h(x)=±h(x).故h(x)的任一復根就是f(x)和f(x)的公共根.類似地，若k(x)=±f(x),則有g(x)=±g(x).故g(x)的任一復根也此得到αn-1=-α,即α"=-α2.從而α2+α+1=0,故α3=1,所以α"=1,α或者α2.若α"=1,則有1=α+1,即α=0,矛盾.若α"=α,則有α=α+1,矛盾.若α"=α2,則有α2=a2,即α=0,矛盾.所以f(x)=x"-x-1在Q上不可約.姓名:準考證號:注：也可以利用多項式f(x)與f(x)互素來說明f(x)和姓名:準考證號:8五、(本題15分)設五、(本題15分)設,函數f在[-1,2]證明.記.|,mn=[n|βnl]+1.則.從而存在N≥1使≤…(5分)9(0,+α)上一致連續.f六、(本題20分)設f在(0,+x)的任意閉區間上Rieman可積.對于x≥0,定義t.(1)若α∈(-1,0)且,證明：F在姓名:姓名:準考證號:所在院校:考場號:座位號:專業:密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線八八≤因此，F在(0,+α)上一致連續.數C?,C?使得lg(x)|≤C?+C?x,Vx≥0.G以T為周期.從而G有界.設若A≠0,則Vx≥0.若A=0,則由我們