第八章

多元函數微積分一、二元函數的定義

定義1設有三個變量x、y、z,

如果當自變量

x和y,在一定范圍內任意取定一組數值

、

時,按照一定的對應法則

,變量z總有唯一確定的數值

與之對應,那么就稱變量z是變量x,y的二元函數.記作:

.

其中,稱

x,y為自變量,稱z為因變量,z在

處的函數值

也可以記為

.

定義2

類似地,可以定義三元函數,四元函數及n元函數,它們和二元函數一起統稱為多元函數.第一節

二元函數的基本概念二、二元函數的定義域

定義3使二元函數的解析式

有意義的點

作成的集合稱為二元函數

的定義域,即:

有意義

。NOTE：ⅰ一般地,二元函數的定義域是坐標平面上的一個區域.ⅱ二元函數的定義域一般都是用含有x和y的不等式或不等式組表示的.例1求下列函數的定義域并作出圖形.(1)

解：(1)(2)(2)yx0a-ayx0二元函數的圖像是空間的一張曲面，其定義域是該曲面在xoy坐標平面上的投影。三、二元函數的極限

定義4設函數

在平面區域D內點

的鄰域有定義(在點

可以無定義).如果當點

無限接近點

(但不達到)時,函數值

無限接近于某一常數A,那么就稱常數A為函數

當

時的極限,記作:

或

.例2求下列二元函數的極限.(1)(2)

解：(1)

(2)設

，則

例3討論函數

當

的極限的存在性

.解：

(1)當沿曲線趨向于時,

結果會隨著k的取值不同而改變，因此極限不存在！

例4求.

解：

四、二元函數的連續性

定義

設

在點

的某個領域內有定義，若則稱

在點

處連續的.1.一元函數的連續性

2.二元函數的連續性

定義5設

在點

的某個領域內有定義，若則稱

在點

處連續的.定義6如果函數

在平面區域D內的每一點都連續,

那么就稱函數

是平面區域D內的連續函數.定義7如果函數

在點

處是不連續的,則稱點

為函數

的一個間斷點.例5求.

解：因為函數在點(1,2)處是連續的,所以

NOTE：一切二元初等函數在其定義域內都是連續的,其極限值就等于該點出的函數值,即謝謝各位第九章行列式第三節行列式的性質

例1計算行列式。

解：一、行列式的性質定義1記行列式，稱為的轉置行列式。性質1行列式與它的轉置行列式相等，即。性質2互換行列式的兩行(列),行列式的值變號。性質3行列式的某一行(列)的元素都乘以常數,等于用乘以此行列式。性質4如果行列式的某一行(列)元素都能表示成兩個數的和，那么該行列式可以表示成兩個行列式之和。性質5把行列式的某一行(列)元素都乘以同一常數，加到另外任意一行(列)的相應元素上去,行列式的值不變。例2計算行列式。

解：例3計算行列式。

解：

謝謝各位第十章矩陣和線性方程組第一節矩陣的有關概念及初等運算一、矩陣的概念由個數按一定順序排列成一個行列的矩形數表：稱為一個型矩陣，記為。其中,是該矩陣的第行的第個元素,表示該元素的行指標，表示該元素的列指標。二、矩陣的運算1.矩陣的相等（1）同型矩陣——若兩個矩陣的行數與列數分別相等，則稱它們為同型矩陣；（2）矩陣相等——兩個同型矩陣的對應位置上元素分別相等。例1設,，且

，求

。

定義2

設

與

為同型矩陣，則

為矩陣

與

的和與差，記作

。例22.矩陣的加減法3.矩陣的數乘定義3設

為常數，則矩陣

稱為

與矩陣

的數乘，簡稱數乘矩陣，記作

，即：

。例3然而，什么樣的兩個矩陣可以相乘？兩個矩陣怎么相乘？乘出來的結果是什么樣的？例4已知，,,求。2.矩陣的加減法5.矩陣的轉置例5

已知

，

，求

。特別地，若方陣

滿足

，即

，則稱

為對稱陣。方陣

的元素以主對角線為對稱軸對應相等。

例如：6.階方陣的行列式定義4

把方陣

的元素按原來的次序排列的行列式，稱為方陣

的行列式，

記作

或

。

(n為A的階數）例6

已知

是一個三階方陣，且

，則

。謝謝各位第十一章概率論的基本概念§1隨機試驗及其概率確定性現象：結果確定不確定性現象：結果不確定——確定——不確定——不確定自然界與社會生活中的兩類現象向上拋出的物體會掉落到地上買了彩票會中獎明天的天氣情況統計規律性

對隨機現象的觀察、記錄、試驗統稱為隨機試驗。它具有以下特性：可以在相同條件下重復進行（可重復性）事先知道可能出現的結果（可觀察性）進行試驗前并不知道哪一個試驗結果會發生（隨機性）拋一枚硬幣，觀察試驗結果；對某路公交車某停靠站登記下車人數；對某批電子產品測試其輸入電壓；對聽課人數進行一次登記；一、樣本空間1.樣本空間——隨機試驗E的所有可能結果組成的集合，記為

?。2.樣本點——樣本空間的元素，即?的每個結果。?={正面，反面}；一枚硬幣拋一次記錄一城市一日中發生交通事故次數?={0,1,2,…}；記錄某地一晝夜最高溫度x，最低溫度y?={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；記錄一批產品的壽命x?={x|a≤x≤b}二、隨機事件1.隨機事件——試驗?

的樣本空間S的子集，簡稱事件（常用A、B、C表示）;2.事件A發生——在每次試驗中，當且僅當A中的一個樣本點出現，則稱事件A發生；3.基本事件——由一個樣本點組成的單點集。S＝{0,1,2,…}；例1觀察89路公交車浙大站候車人數，

記A＝{至少有10人候車}＝{10,11,12,…},

A為隨機事件，A可能發生，也可能不發生。

每次試驗一定發生的事件稱為必然事件，每次試驗一定不發生的事件稱為不可能事件，例2投擲一枚骰子，觀察出現的點數，其樣本空間為S，其有6個基本事件，其中

A：“出現3點”，則B：“出現奇數點”，則

C：“出現的點數小于3

”，則

這些都是隨機事件。A={3}B={1,3,5}C={1,2}例如：今天周五，明天周六；例如：在裝有紅、黑兩種顏色球的袋子中摸出白球。三、事件間的關系與事件的運算1.事件的關系（包含、相等）SAB

記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}

2.事件的運算A與B的和事件，記為ABSABS

A與B的積事件，記為ABEABE

上述內容可以作如下推廣：

A與B的差事件，記作AB?AB?

互不相容（互斥）事件

對立事件（逆事件）*事件A、B中必有一個發生，且僅有一個發生，A的對立事件記為。*兩個互相對立的事件一定是互不相容的事件，反之不成立。*。謝謝各位第十二章隨機變量及其分布§1隨機變量*

常見的兩類試驗結果：

示數的：降雨量；候車人數；發生交通事故的數量…

示性的：明天的天氣（晴、小雨…）；化驗結果（陰性、陽性…）

為了進行定量的數學處理，必須把隨機現象的結果數理化，這就是引進隨機變量的原因。隨機變量概念的引進使得對隨機現象的處理更簡單與直接，也更統一而有力。隨機試驗一：

檢查1件產品是否合格，則其樣本空間為S={合格品，不合格品}，

可設置一個隨機變量X如下樣本點X的取值合格品0不合格品1隨機試驗二：

檢查3件產品是否合格，則樣本空間里有8個樣本點，分別是(000)(001)(010)(011)(100)(101)(110)(111)

可設置一個隨機變量X表示“3件產品中不合格品的數量”，于是有每一個樣本點e,都有唯一一個數值與之對應，則X是定義在樣本空間?上的一個實值單值函數，定義域是樣本空間?，值域是{0,1,2,3}。隨機變量——設隨機試驗的樣本空間S={e}，X=X(e)

是定義在樣本空間S上的實值單值函數，稱X=X(e)為隨機變量。NOTE：1.隨機變量用大寫字母X,Y,Z,W…；2.隨機變量的取值隨試驗的結果而定，而試驗的各個結果出現有一定的概率，因而隨機變量的取值有一定的概率；記{X=2}表示X取值為2，則其對應樣本點有3個，因此P{X=2}=3/8;3.隨機變量的引入，使我們能用隨機變量來描述各種隨機現象，并能利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行深入廣泛的研究和討論。§2離散型隨機變量及其分布研究隨機變量，只需要知道兩件事：a.可能取值

b.取到每一個可能值得概率一般用如下形式表達其中，表示所有可能的取值，而由概率的定義可知，滿足以下兩個條件：可以想象成：概率1以一定的規律分布在各個可能值上，這就是表格稱為分布律的原因。三個主要的離散型隨機變量（一）0—1分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值，分布律為事實上，當一個隨機試驗的樣本空間只有兩個元素，我們總可以在樣本空間S上定義一個服從（0—1）分布的隨機變量。例如：對新生兒性別進行登記，拋硬幣一次出現正反面。

例1設有批量N=50的一批產品，內有2件不合格產品，現采取（0—1）抽檢方法來驗收這批產品，以X

表示是否抽取到不合格產品，求

X的分布律。（不合格記為1）解：由題意知則其分布律為（二）伯努利試驗、二項分布伯努利試驗——試驗E只有兩個可能結果：，則稱E為伯努利試驗。n重伯努利試驗——將試驗E重復獨立地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗。n重伯努利試驗是一種重要的數學模型，應用廣泛，是研究最多的模型之一。以X表示n

重伯努利試驗中事件A發生的次數，則在n此試驗中，A發生k次的概率為記q=1-p,則顯然因為為二項式的展開式中出現的那一項，我們稱隨機變量X服從參數為n和p的二項分布，記為。二項分布是一種常用的離散分布，譬如：檢查10件產品，10件產品中不合格品的數量X服從二項分布b(10,p)，其中p為不合格品率；調查50個人，50個人中患色盲的人數Y服從二項分布b(50,p)，其中p為色盲率；射擊5次，5次中命中次數Z服從二項分布b(5,p)，其中p為射手的命中率。例2某特效藥的臨床有效率為0.95，今有10人同時服用，問至少有8人治愈的概率是多少？例3設隨機變量X~b(2，p)，Y~b(3，p).若P{X>=1}=5/9，試求P{Y>=1}.

例4設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理，考慮2種配備維修工人的方法，其一是4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法再設備發生故障時不能及時維修的概率大小。設隨機變量X

所有可能取的值為0,1,2，…,

而取各個值的概率為（三）泊松分布其中

是常數，則稱服從參數為

的泊松分布，記為

。NOTE:1.泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率;2.在歷史上泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數學家泊松引入的。近數十年來，泊松分布日益顯示其重要性，成了概率論中最重要的幾個分布之一.泊松定理設

是一個常數，

n

是任意正整數，設，則對于任一固定的非負整數

k，有上述定理表明當n很大，p

很小的時候有以下近似式例5保險事業是最早使用概率論的部門之一。保險公司為了估計企業的利潤，需要計算各種各樣的概率，下面是典型問題之一。若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率等于0.005，現有10000個這類人參加人壽保險，試求在未來一年中在這些保險者里面：⑴有40個人死亡的概率；⑵死亡人數不超過70個的概率。解：以X

表示未來一年中這些人里面死亡的人數，則X~b(10000,0.005)

于是有謝謝各位第十三章概率統計初步第一節統計量的基本概念數據預處理，以問卷調查為例：1.對于用數學方法對觀察值、試驗數據進行處理，第一步要解

決的問題就是將試驗結果數量化2.問卷的可靠性分析（信度分析、效度分析）3.其他的數據處理定義1總體——試驗的全部可能的觀察值（研究對象的全體）

個體——每一個可能觀察值（構成總體的每個成員）容量——總體重所包含的個體的個數有限總體——容量是有限的

無限總體——容量是無限的例1研究某大學的學生身高情況。則“所有身高值全體”就是總體，“每個學生的身高”就是個體。一共20000個學生，則容量就是20000，是有限總體。定義2從總體抽取一個個體，就是對總體進行一次觀察并記錄結果。于是獨立、重復的觀察次，按次序就有，這是一組相互獨立、都與具有相同分布的隨機變量。稱“”為來自總體的一個簡單隨機樣本，稱為樣本容量。書中所提到的樣本都是指簡單隨機樣本。定義3設

是具有分布函數的隨機變量，若

是具有同一分布函數的、相互獨立的隨機變量，則稱

為從分布函數

（或總體

、或總體

）得到的容量為

的簡單隨機樣本，簡稱樣本，它們的觀察值

稱為樣本值，又稱為

的

個獨立的觀察值。二、常用統計量定義4設

是來自總體

的一個樣本，

是

的函數，若

中不含未知參數，則稱

是一統計量。統計量的分布稱為抽樣分布。統計量是隨機變量的函數，也是一個隨機變量。設

是相應于樣本的樣本值，則稱是

的觀察值.1.樣本平均值定義5設

是來自總體的一個樣本，

是這一樣本的觀察值，定義如下統計量：2.樣本方差3.樣本標準差謝謝各位第四篇離散數學第十四章二元關系與數理邏輯第十四章二元關系與數理邏輯第一節集合及其基本運算一、集合及相關性質1.集合的概念定義1集合是一些可確定的，可分辨的事物組成的整體。組成這個集合的事物，稱為集合的元素。一般地，集合用A、B、C…表示，元素用a、b、c…表示。NOTE:若是集合A的一個元素，則記為，讀作“屬于A”．反之，記作，讀作“不屬于A”。2.集合的特征確定性互異性無序性3.集合的表示列舉法——列舉出集合所有的元素或表達出元素的規律描述法——刻畫出元素的共同屬性{x/x具有的特征}二、集合間的關系NOTE：注意：“”表示元素與集合間的從屬關系，“”表示集合與集合間的從屬關系．三、集合的運算1.設有全集E，A和B是其上任意兩個集合。(1)并集——(2)交集——(3)差集——(4)補集——2.集合的運算規律設A、B、C為任意集合，則有恒等式如下：交換律：，結合律：，分配律：，等冪律：，同一律：，零一律：，設A、B、C為任意集合，則有恒等式如下：互補律：，吸收律：，摩根律：，對合律：另外有例7證明。證:左

右例8化簡。解:原式謝謝各位第十五章

圖論基礎第一節圖的基本概念第一節圖的基本概念一、圖的定義和表示1.圖的定義

二、圖和邊的分類1.有向圖——2.無向圖——3.混合圖

——

4.環——5.帶環圖——6.平行邊——每條邊均有方向的圖，一般用D表示

。每條邊均是無向邊的圖，一般用G表示

。既含有有向邊又含有無向邊的圖

。若一條邊連接同一個點，則稱該邊為環。允許有環的圖稱為帶環圖。在無向圖中，若兩條或兩條以上的邊都與同一對結點相連，稱這些邊為平行邊；而在有向圖中，若兩條或兩條以上方向相同的有向邊連接著同一對結點，也稱這些邊為平行邊

。7.多重圖——8.線圖

——

9.簡單圖——

10.權——允許有平行邊的圖稱為多重圖。不含平行邊的圖稱為線圖

。即不包含環，又不包含平行邊的圖稱為簡單圖

。一個圖中，結點或邊上還帶有一些數字信息，這樣的圖叫帶權圖。其中邊上的數字叫邊的權，結點上的數字叫點的權。三、圖的相關概念及定理1.

鄰接

——

同類元素的關系2.

關聯

——

異類元素的關系3.

孤立點

——

不與任何邊關聯的點

。4.

零圖

——

只有點，沒有邊的圖

。5.

平凡圖

——

最簡單的零圖。（只有一個點）6.

無向完全圖

——

任意兩點間都有邊關聯的無向圖，簡稱完全圖，記為

，其

中

為結點數。7.

有向完全圖

——

任意兩點間都有兩條相向的邊連接的有向圖。8.無向圖的度

——

無向圖中，結點

的度數就是與

相關聯的邊的條數，記為