2025年統計學專業期末考試：數據分析計算題庫及解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述統計要求：根據給出的數據，完成以下描述統計的計算。1.計算以下數據集的均值、中位數、眾數、極差、方差和標準差。數據集：2,5,8,12,14,16,18,202.有一個班級有30名學生，他們的身高（單位：cm）如下：160,165,170,172,175,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200。計算班級的平均身高、身高標準差、身高的四分位數。3.一個班級有50名學生的成績（滿分100分）如下：70,72,75,78,80,82,85,88,90,92,95,97,100,102,105,108,110,112,115,117,120,122,125,127,130,132,135,137,140,142,145,147,150,152,155,157,160。計算該班級的平均成績、成績標準差、成績的百分位數。二、概率論與數理統計要求：根據以下概率論和數理統計的概念，完成相應的計算。1.一個袋子里有5個紅球和3個藍球，從中隨機取出2個球，求取出兩個紅球的概率。2.拋擲兩個公平的六面骰子，求兩個骰子的點數之和為7的概率。3.某班有男生25人，女生15人，從中隨機選取3名學生，求選取的3名學生都是男生的概率。4.一個事件A的概率為0.4，事件B的概率為0.3，且事件A和事件B相互獨立，求事件A或事件B發生的概率。5.某工廠生產的產品合格率為0.95，不合格率為0.05，從該工廠生產的100個產品中隨機抽取10個，求抽取的10個產品中不合格產品不超過2個的概率。6.某人連續三次射擊命中目標的概率均為0.6，求他連續三次射擊至少命中一次的概率。三、線性代數要求：根據以下線性代數知識，完成相應的計算。1.解下列線性方程組：x+2y=33x-2y=-52.設矩陣A為：A=[213][456][789]求矩陣A的逆矩陣。3.設向量a=[1,2,3]，向量b=[4,5,6]，求向量a和向量b的叉乘。4.設矩陣A為：A=[123][456][789]求矩陣A的特征值和特征向量。5.設向量a=[1,2,3]，向量b=[4,5,6]，求向量a和向量b的長度、夾角余弦值和點積。6.設矩陣A為：A=[123][456][789]求矩陣A的行列式和伴隨矩陣。四、回歸分析要求：根據以下回歸分析的概念，完成相應的計算。1.已知某地區房屋價格（單位：萬元）與房屋面積（單位：平方米）的樣本數據如下：面積（平方米）|價格（萬元）----------------|----------------100|200150|250120|230180|280130|240求線性回歸方程y=a+bx，并計算回歸系數a和b。2.某企業員工的工作時間（單位：小時）與他們的工作效率（單位：件/小時）的樣本數據如下：工作時間（小時）|工作效率（件/小時）------------------|---------------------40|2050|2560|3070|3580|40求線性回歸方程y=a+bx，并計算回歸系數a和b。五、假設檢驗要求：根據以下假設檢驗的概念，完成相應的計算。1.假設某批次產品的平均壽命為1000小時，現從該批次中隨機抽取10個產品，測得平均壽命為950小時，樣本標準差為50小時。假設檢驗的顯著性水平為0.05，檢驗該批次產品的平均壽命是否顯著低于1000小時。2.某廠生產的某種零件的平均直徑為1.2厘米，現從該批次中隨機抽取10個零件，測得平均直徑為1.1厘米，樣本標準差為0.1厘米。假設檢驗的顯著性水平為0.05，檢驗該批次零件的平均直徑是否顯著低于1.2厘米。六、時間序列分析要求：根據以下時間序列分析的概念，完成相應的計算。1.某城市近五年居民消費支出（單位：萬元）的樣本數據如下：年份|消費支出（萬元）-------|-----------------2019|2002020|2202021|2402022|2602023|280求該城市居民消費支出的移動平均趨勢。2.某地區近三年的GDP（單位：億元）的樣本數據如下：年份|GDP（億元）-------|----------------2021|3002022|3202023|340求該地區GDP的增長率。本次試卷答案如下：一、描述統計1.均值=(2+5+8+12+14+16+18+20)/8=11.25中位數=(14+16)/2=15眾數=16（出現次數最多）極差=20-2=18方差=[(2-11.25)2+(5-11.25)2+(8-11.25)2+(12-11.25)2+(14-11.25)2+(16-11.25)2+(18-11.25)2+(20-11.25)2]/8=25.3125標準差=√25.3125≈5.032.平均身高=(160+165+170+172+175+177+178+179+180+181+182+183+184+185+186+187+188+189+190+191+192+193+194+195+196+197+198+199+200)/30≈183.7身高標準差=5.4四分位數：Q1=170,Q2（中位數）=183,Q3=1963.平均成績=(70+72+75+78+80+82+85+88+90+92+95+97+100+102+105+108+110+112+115+117+120+122+125+127+130+132+135+137+140+142+145+147+150+152+155+157+160)/50≈95.6成績標準差=9.6百分位數：P10=70,P25=82,P50（中位數）=95,P75=108,P90=120二、概率論與數理統計1.P(兩個紅球)=(5/8)*(4/7)=5/142.P(點數之和為7)=P(1+6)+P(2+5)+P(3+4)=(1/6)*(1/6)+(1/6)*(1/6)+(1/6)*(1/6)=3/36=1/123.P(三個男生)=(25/50)*(24/49)*(23/48)=23/1964.P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)=0.4+0.3-0.4*0.3=0.525.P(不合格產品不超過2個)=P(0個不合格)+P(1個不合格)+P(2個不合格)=C(100,0)*0.05^0*0.95^100+C(100,1)*0.05^1*0.95^99+C(100,2)*0.05^2*0.95^98≈0.81876.P(至少命中一次)=1-P(三次都未命中)=1-(0.4)^3≈0.9187三、線性代數1.解線性方程組：x+2y=33x-2y=-5解得：x=1,y=12.求矩陣A的逆矩陣：A=[213][456][789]A的逆矩陣A?1=[1/11/21/3][1/21/51/6][1/31/61/9]3.向量a和向量b的叉乘：a=[1,2,3]b=[4,5,6]a×b=|ijk||123||456|=i(2*6-3*5)-j(1*6-3*4)+k(1*5-2*4)=-3i+6j-3k=[-3,6,-3]4.求矩陣A的特征值和特征向量：A=[123][456][789]特征值：λ1=0,λ2=3,λ3=6特征向量：對應λ1的特征向量是自由向量，對應λ2的特征向量是[1,-1,1]，對應λ3的特征向量是[1,1,1]5.向量a和向量b的長度、夾角余弦值和點積：|a|=√(12+22+32)=√14|b|=√(42+52+62)=√77cos(θ)=(a·b)/(|a|·|b|)=(1*4+2*5+3*6)/(√14*√77)≈0.649a·b=1*4+2*5+3*6=326.求矩陣A的行列式和伴隨矩陣：A=[123][456][789]|A|=1*(5*9-6*8)-2*(4*9-6*7)+3*(4*8-5*7)=0A的伴隨矩陣A*=[5-62][-86-4][2-45]四、回歸分析1.線性回歸方程y=a+bx：求解b：b=(Σ(xy)-(Σx)(Σy)/n)/(Σ(x2)-(Σx)2/n)b=[(2*200+5*250+8*230+12*280+14*260+16*250+18*240+20*230)-(2+5+8+12+14+16+18+20)*(200+250+230+280+260+250+240+230)/8]/[(22+52+82+122+142+162+182+202)-(2+5+8+12+14+16+18+20)2/8]b=2.5求解a：a=(Σy-bΣx)/na=(200+250+230+280+260+250+240+230-2.5*(2+5+8+12+14+16+18+20))/8a=223.75線性回歸方程：y=223.75+2.5x2.線性回歸方程y=a+bx：求解b：b=(Σ(xy)-(Σx)(Σy)/n)/(Σ(x2)-(Σx)2/n)b=[(40*20+50*25+60*30+70*35+80*40)-(40+50+60+70+80)*(20+25+30+35+40)/5]/[(402+502+602+702+802)-(40+50+60+70+80)2/5]b=1.5求解a：a=(Σy-bΣx)/na=(20+25+30+35+40-1.5*(40+50+60+70+80))/5a=10線性回歸方程：y=10+1.5x五、假設檢驗1.假設檢驗：H0:μ=1000H1:μ<1000t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(950-1000)/(50/√10)≈-3.162由于t<-t臨界值（查表得t臨界值），拒絕H0，認為該批次產品的平均壽命顯著低于1000小時。2.假設檢驗：H0:μ=1.2H1:μ<1.2t=(樣本均值-總體均值)/(樣