第6節空間向量及其運算和空間位置關系最新考綱1.了解空間向量概念，了解空間向量基本定理及其意義，了解空間向量正交分解及其坐標表示；2.了解空間向量線性運算及其坐標表示；3.了解空間向量數量積及其坐標表示.1/471.空間向量相關概念知

識

梳

理名稱概念表示零向量模為____向量0單位向量長度(模)為_____向量

相等向量方向______且模______向量a＝b01相同相等2/47相反向量方向______且模_______向量a相反向量為－a共線向量表示空間向量有向線段所在直線相互____________向量a∥b共面向量平行于同一個______向量

相反相等平行或重合平面3/472.空間向量中相關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a(a≠0)與b共線充要條件是存在實數λ，使得______.b＝λa4/47(2)共面向量定理(3)空間向量基本定理假如向量e1，e2，e3是空間三個不共面向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數λ1，λ2，λ3，使得a＝______________，空間中不共面三個向量e1，e2，e3叫作這個空間一個基底.xa＋yb1λ1e1＋λ2e2＋λ3e35/473.空間向量數量積及運算律(1)數量積及相關概念①兩向量夾角〈a，b〉[0，π]相互垂直6/47②兩向量數量積已知空間兩個非零向量a，b，則_____________________叫做向量a，b數量積，記作______，即a·b＝__________________.(2)空間向量數量積運算律①結合律：(λa)·b＝_________；②交換律：a·b＝________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.|a||b|cos〈a，b〉a·b|a||b|cos〈a，b〉λ(a·b)b·aa·b＋a·c7/474.空間向量坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝08/475.直線方向向量和平面法向量(1)直線方向向量：假如表示非零向量a有向線段所在直線與直線l______或______，則稱此向量a為直線l方向向量.(2)平面法向量：直線l⊥α，取直線l方向向量a，則向量a叫做平面α法向量.平行重合9/476.空間位置關系向量表示位置關系向量表示直線l1，l2方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝_____l1⊥l2n1⊥n2?__________直線l方向向量為n，平面α法向量為ml∥αn⊥m?__________l⊥αn∥m?n＝_____平面α，β法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝_____α⊥βn⊥m?________________λn2n1·n2＝0n·m＝0λmλmn·m＝010/47[慣用結論與微點提醒]1.共線向量定理推論11/47診斷自測1.思索辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.(

)(2)對任意兩個空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空間一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量.(

)(4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角.(

)12/47解析對于(2)，因為0與任何向量數量積為0，所以(2)不正確；對于(3)，若a，b，c中有一個是0，則a，b，c共面，所以(3)不正確；對于(4)，若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×13/472.在空間直角坐標系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD位置關系是(

) A.垂直 B.平行 C.異面 D.相交但不垂直∴AB∥CD.答案

B14/4715/47答案

A16/474.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則|b|＝________.

解析a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，17/4718/476.(·嘉興測試)設直線l方向向量為a，平面α法向量為n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，則直線l與平面α位置關系為________；

若a＝(－1，－1，1)，則直線l與平面α位置關系為________.答案

l⊥α

l∥α或l?α19/47考點一空間向量線性運算20/4721/47規律方法

(1)選定空間不共面三個向量作基向量，這是用向量處理立體幾何問題基本要求.用已知基向量表示指定向量時，應結合已知和所求向量觀察圖形，將已知向量和未知向量轉化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則進行運算.(2)首尾相接若干向量之和，等于由起始向量始點指向末尾向量終點向量，我們把這個法則稱為向量加法多邊形法則.提醒

空間向量坐標運算類似于平面向量中坐標運算.22/4723/47答案

B24/47考點二共線定理、共面定理應用【例2】

已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA中點，用向量方法求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.25/4726/4727/47【訓練2】(1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三點共線，則m＋n＝________. (2)已知空間四點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四點共面，則t值為________.28/47答案

(1)－3

(2)029/47考點三空間向量數量積應用【例3】

如圖所表示，已知空間四邊形ABCD各邊和對角線長都等于a，點M，N分別是AB，CD中點.(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN長；(3)求異面直線AN與CM所成角余弦值.30/4731/4732/4733/4734/4735/47【訓練3】

如圖所表示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1長；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1與AC夾角余弦值.36/4737/4738/4739/47考點四利用空間向量證實平行與垂直證實：PQ∥平面BCD.40/4741/4742/4743/47規律方法

(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關向量坐標，是利用向量法證實平行和垂直關鍵.(2)證實直線與平面平行，只須證實直線方向向量與平面法向量數量積為零，或證直線方向向量與平面內不共線兩個向量共面，或證直線方向向量與平面內某直線方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這么就把幾何證實問題轉化為向量運算.(3)用向量證實垂直方法①線線垂直：證實兩直線所在方向向量相互垂直，即證它們數量積為零.②線面垂直：證實直線方向向量與平面法向量共線，或將線面垂直判定定理用向量表示.③面面垂直：證實兩個平面法向量垂直，或將面面垂直判定定理用向量表示.44/47【訓練4】

如圖所表示，已知四棱錐P－ABCD底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側面PBC⊥底面ABCD.證實：(1)