第第頁湖北省宜荊荊2024屆高三下學期五月高考適應(yīng)性考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y=3xA．{α|αC．{α|α2．從一個容量為m(m≥3,A．15 B．14 C．123．復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點A，B，z1=3+4i，將點A繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)A．3-4i B．-4-3i C．4-3i D．-3-4i4．如果一個等差數(shù)列前10項的和為54，最后10項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有()A．36項 B．37項 C．38項 D．39項5．直線y=kx與圓(x?1)2+(y?1)2=1交于M、NA．11+k2 B．k26．有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x>y>z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，A．Ax+by+cz B．a(chǎn)z+by+cx C．a(chǎn)y+bz+cx D．a(chǎn)y+bx+cz7．互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()A．24種 B．36種 C．42種 D．48種8．設(shè)D=(x?aA．2 B．2+1 C．3 D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．設(shè)U為全集，集合A、B、C滿足條件A∪A．B?A C．A?(CU10．在△ABC中，A，B，C所對的邊為a，b，c，設(shè)BC邊上的中點為M，△ABC的面積為S，其中a=23，A．若A=π3，則S=33 B．C．AM=3 D．角A的最小值為π11．對于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)φA．若n為質(zhì)數(shù)，則φ(n)=nC．數(shù)列{nφ(2n三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)f(x)=13．已知橢圓：x2a2+y25=1(a>5)，14．祖暅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學家祖暅提出的一個求體積的著名命題：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處截面積相等，則體積相等.由曲線x24?y23=1,y=±四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，已知（1）求數(shù)列{a（2）令bn=12(16．如圖，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是邊長為2的正三角形，BC=4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為l（1）證明：直線l⊥平面PAC；（2）設(shè)點Q在直線l上，直線PQ與平面AEF所成的角為α，異面直線PQ與EF所成的角為θ，求當AQ為何值時，α17．已知函數(shù)f(x)=ex?lnx?a,g(x)=ex?（1）求a的最小值；（2）求證：g(18．已知拋物線E:x2=2py(p（1）求拋物線E的方程；（2）已知P為平面上一動點，且過P能向E作兩條切線，切點為，M，N，記直線PM，PN，PF的斜率分別為k1，k2，k①求點P的軌跡方程；②試探究：是否存在一個圓心為Q(0,λ)(λ>0)，半徑為1的圓，使得過P可以作圓Q的兩條切線l1l2，切線l1l2分別交拋物線E于不同的兩點A19．龍泉游泳館為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可選擇A和B兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該游泳館在App平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：y=110i=1參考公式：b=（1）因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，已知銷售量y和日期t呈線性關(guān)系，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程(結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示)；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為14，選擇B套餐的概率為34，并且A套餐可以用一張優(yōu)惠券，B套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為n張的概率為Pn（3）記（2）中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列①求Pn②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列{an}，若對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N0，使得當n>N0

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因為角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，

則終邊在直線y=3x上的角α的取值范圍為：{α|α=2kπ+2．【答案】A【解析】【解答】解：因為當選取簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是15，則選取分層隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性也為15.

故答案為：D.3．【答案】C【解析】【解答】解：因為z1=3+4i，將點A繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點B，

則z2=3+4icos?90°4．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)這個數(shù)列為n項，因為一個等差數(shù)列前10項的和為54，

則S10=10a1+10×92d=10a1+45d=54,(1),

因為最后10項的和為146，則S5．【答案】C【解析】【解答】解：因為直線y=kx與圓(x?1)2+(y?1)2=1交于M、N兩點，設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2,

聯(lián)立直線與圓的方程，即(x?1)2+6．【答案】A【解析】【解答】解：因為x>y>z，且a<b<c，

又因為ax+by+cz?az+by+cx=ax?z+cz?x=x?za?c>0，

所以，ax+by+cz<az+by+cx，

又因為ay+bz+cx?ay+bx+cz=cx?z+bz?x=x?zc?b<0，7．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)題意，這件事分兩類完成，

第一類：先放紅色菊花，再放黃色菊花，最后放白色菊花，

第一類分三步完成：

第一步放紅色菊花，只有一種擺放方法；

第二步放黃色菊花，有A22=2種擺放方法；

第三步放白色菊花，有A42=12種擺放方法；

則第一類共有的擺放方法種數(shù)為1×A22×A42=24；

第二類：先放紅色菊花，再放白色菊花，最后放黃色菊花，

第二類分三步完成：

第一步放紅色菊花，只有一種擺放方法；

第二步放白色菊花，有A28．【答案】A【解析】【解答】解：D=(x?a)2+(ex?2a)2+a+1的幾何意義是兩點Ax,ex,Ba,2a間的距離，

令fx=ex,gx=2x,D的幾何意義是f(x)圖象上一點A，到g(x)圖象上一點B的距離為d1，

9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：當U=1,2,3,A=1,B=2,3,C=1,2,3時，

滿足A∪B=A∪C，此時，A∩B=?,A?≠C,所以選項A和選項B不一定成立；

因為A∩(CUB)=1，A∩(CUC)=?，所以，選項C不一定成立；

對于D，若?x∈CUA∩B,則x不屬于A，但x∈B,因為A10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，因為a=23，b2+c2=24，A=π3，

由余弦定理得出cosA=b2+c2?a22bc，即cosπ3=12=24?2322bc，

則bc=12，則三角形△ABC的面積為S=12bcsinA=12×12×sinπ3=6×32=33，所以A對；

對于B，因為2bc≤b2+c211．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、若n為質(zhì)數(shù)，則小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)有n?1個，

即φ(n)=n?1，故A正確；

B、易知φ(6)=1，φ(5)=4，則φ(6)<φ(5)，即數(shù)列φ(n)不是單調(diào)遞增，故B錯誤；

C、小于等于2n的正整數(shù)中與2n互質(zhì)的數(shù)為1,3,5，?，2n?1，總2n?2n?1=2n?1個，則12．【答案】-1【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)=ln(e2x?a)?x(x∈R)為偶函數(shù)，

則f(?x13．【答案】(【解析】【解答】解：由于p1(x1,y1)與p2(x2,y2)關(guān)于原點對稱，則x1+x2=0,y1+y2=0,

又因為M(3,6)，則MP1→=14．【答案】32π【解析】【解答】解：如圖：

直線y=m與y軸交于P，由y=my=32x得出x=±32m,

因此直線y=m與直線y=±32x交于B，C，且PB=PC=233m，

由x24?y23=1y=m得出x=±4+4m23，因此直線y=m與雙曲線15．【答案】（1）解：（1）因為數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，

又因為an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an+222=2Sn，

當n=1時，有a1+22=2S1,S1=a1,所以，a1+22=2（2）解：（2）令cn=bn?1,則cn=12an+1an【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等差中項公式和等比中項公式得出an+222=2Sn，再利用an,Sn的關(guān)系式和檢驗法以及等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{16．【答案】（1）證明：（1）因為E，F(xiàn)分別為PC，PB的中點，所以BC∥EF，

又因為EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，所以，BC∥平面EFA，

又因為BC?平面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，所以，l∥BC，

因為PA=PC=AC=2，所以，AE⊥PC,因為AC⊥BC,平面PAC⊥平面AC，

平面PAC∩平面ABC=AC，BC?（2）解：（2）如圖，以C為原點，以CA，CB所在的直線為x，y軸，過點C作z⊥平面ACB,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C0,0,0,A2,0,0,E12,0,32,F12,2,32,P1,0,3,Q2,y,0,

所以，CP→=1,0,3為平面AEF的法向量，EF【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合線線平行和線面平行的關(guān)系、線線垂直和線面垂直以及面面垂直的關(guān)系，進而證出直線l⊥平面PAC.

（2）利用空間建系的方法得出點的坐標和向量的坐標，再結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關(guān)系得出平面的法向量，再由數(shù)量積求向量夾角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進而得出滿足條件的點Q，從而證出α+17．【答案】（1）解：（1）f'(x)=ex?1x,f''x=ex+1x2>0,

故f'x在0,+∞上單調(diào)遞增，f'(12)=e12?2<0,f'1=e?1>0,

由零點存在性定理可知，存在唯一的x（2）證明：（2）由題意fx1=fx2=0,即a=ex1?【解析】【分析】(1)確定函數(shù)的最小值求出a的最小值.

(2)由題意fx1=f18．【答案】（1）解：（1）設(shè)拋物線E的準線l:y=?p2,

H為拋物線上任意一點過H作HH1⊥l于點H1，

由拋物線的定義可得：HF=（2）解：(2)①設(shè)Pm,n,過點P且斜率存在的直線l:y=kx?m+n,

聯(lián)立x2=4yy=kx?m+n消去y，整理得：x2?4kx+4km?4n=0?，

由題意可知△=16k2?44km?4n=0，即k2?mk+n=0，

k1,k2是該方程的兩個不相等的實根，由韋達定理可得k1+k2=mk1k2=n，

又因為F0,1，所以，k3=n?1m，m不等于0，由1k1+1k2=2k3，有k1+k2k1k2=2k3,

所以，mn=2mn?1，因為m不等于0，所以n-1=2n，則n=-1，

所以，點P的軌跡方程為y=?1(【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義以及共線時的距離最小即可求出p，進而得出拋物線的標準方程.

(2)①聯(lián)立直線與拋物線方程，進而根據(jù)兩點求斜率公式表達直線PM，PN，PF的斜率，進而得出點P的軌跡方程；②利用圓的切線方程求解方法和直線與拋物線的位置關(guān)系，再結(jié)合韋達定理和兩點求斜率公式以及點到直線的距離公式，進而得出λ的知，從而得出圓心坐標，進而得出圓Q的標準方程.19．【答案】（1）解：(1)剔除第10天數(shù)據(jù)y?新=19n=19yi=2.2×10?0.49=2.4，（2）解：（2）①由題意可知，Pn=14Pn?1+34Pn?2n