第1頁/共1頁北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)（本試卷滿分120分，考試時間100分鐘）命題：高一數(shù)學(xué)備課組一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案.【詳解】由題意可得.故選：A.2.已知命題，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件由含有一個量詞的命題的否定方法直接寫出p的否定判斷作答.【詳解】由題意得，因為全稱命題的否定是特稱命題，故則命題的否定是.故選：D3.若，，為非零實數(shù)，且，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】舉反例說明ABD是錯誤的，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C的真假.【詳解】令，，則，，因為此時，故A不成立；，故B不成立；，故D不成立；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：，，故C成立.故選：C4.不等式的解集為（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】由.故選：B5.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對進(jìn)行分類討論，由此確定正確答案.【詳解】當(dāng)時，，對應(yīng)圖象是B選項.當(dāng)時，對應(yīng)圖象D選項.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，對應(yīng)圖象是C選項.所以不可能的是A選項.故選：A6.設(shè)函數(shù)的定義域為，則“”是“為減函數(shù)”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性及充分、必要條件的定義判定選項即可.【詳解】若，則，作出函數(shù)圖象，，由圖象可知成立，但顯然不為減函數(shù)；若為減函數(shù)，又，則，所以“”是“為減函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況討論，再結(jié)合的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時，因為為二次函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：.8.設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.9.函數(shù)．若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過分類討論和，將轉(zhuǎn)化成具體的不等式，再轉(zhuǎn)化為最值問題，根據(jù)單調(diào)性求出最值，可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，，可化為，即存在，使得成立，的對稱軸為，在區(qū)間單調(diào)遞增，只要，即，解得：，又，，當(dāng)時，可化為，此時不等式恒成立，綜上所述，．故選：【點睛】本題考查了不等式有解問題，通過分類討論轉(zhuǎn)化成最值問題，使問題得到了解決，分類討論是高中數(shù)學(xué)經(jīng)常用到的解題方法，屬于中檔題.10.已知集合，若，且對任意的，，均有，則中元素個數(shù)的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知可得集合，由可知與異號或其中至少有一個為，通過列舉可得集合，即可求解.【詳解】因為集合，所以，由得，所以與異號或其中至少有一個為，又，，，所以滿足條件的集合或或或，所以集合中元素個數(shù)的最大值為.故選：.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，求得函數(shù)的定義域.【詳解】，所以的定義域為.故答案為：12.已知集合，且，則m的值為________．【答案】或##3或1【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，解方程再驗證得到答案.【詳解】，，當(dāng)時，，此時，滿足條件；當(dāng)時，，時，不滿足互異性，排除；時，，滿足條件.綜上所述：或.故答案為：或.13.函數(shù)的值域是________；單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】①.②.【解析】【分析】先求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求出值域，并根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減得到答案.【詳解】令，解得或，故定義域為，，故值域為，由于在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減可知，單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：，.14.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計劃在“五一”期間對商品進(jìn)行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應(yīng)投入_______萬元．【答案】【解析】【分析】設(shè)李明獲得利潤為萬元，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因為，即當(dāng)時，等號成立.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15.設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)時，函數(shù)的最大值點為0；②若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是；③當(dāng)時，方程有兩個不等的實根；④當(dāng)時，函數(shù)存在最大值．其中所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②④【解析】【分析】分段分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值的取值范圍，可判斷①③④的真假；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的概念，求參數(shù)的取值范圍，可判斷②的真假.【詳解】對①，當(dāng)時，函數(shù)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒有.綜上可知：當(dāng)時，函數(shù)的最大值點為0.故①正確；對②，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以要使在上單調(diào)遞增，須有.故②正確；對③，當(dāng)時，在上，，方程無解；在上，恒成立，方程無解；在上，函數(shù)，單調(diào)遞增，方程至多有1解.故當(dāng)時，方程至多有1解.③錯誤；對④，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，；在上，函數(shù)有最大值；在上，恒成立.因為，所以成立，所以此時函數(shù)有最大值，為.故④正確.故答案為：①②④三、解答題共5小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.設(shè)全集，集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式，確定集合，在根據(jù)并集運算求并集即可.（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由，即.當(dāng)時，由，即.所以.【小問2詳解】因為，若，則，由得：；若，則，成立；若，則，由得：.綜上，實數(shù)的取值范圍是：.17.解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析【解析】【分析】分，，三種情況解不等式.【詳解】當(dāng)時，原不等式可化為：.當(dāng)時，.若即時，原不等式的解為：或；若即時，原不等式的解為：；若即時，原不等式的解為：或.當(dāng)時，.因為，所以.綜上可知：當(dāng)時，原不等式的解集為：；當(dāng)時，原不等式的解集為：；當(dāng)時，原不等式的解集為：；當(dāng)時，原不等式的解集為：；當(dāng)時，原不等式的解集為：.18.已知函數(shù)．（1）若方程有兩個實根，，且滿足，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)的對稱軸，然后分，以及討論，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】方程有兩個實根，，由韋達(dá)定理可得，又，即，化簡可得，解得或，當(dāng)時，原方程為，有兩實根，滿足題意；當(dāng)時，原方程，即，其中，即方程無實根，故舍去；所以.【小問2詳解】因為，其圖像開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，滿足；當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，不滿足，故舍去；當(dāng)時，即時，函數(shù)在處取得最大值，即，即，解得，且，則；綜上所述，或.19.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）如果對，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷證明即可；（3）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性先求出函數(shù)的值域，再解不等式即可.【小問1詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以有，因為，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，即，該函數(shù)單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)是上任意兩個實數(shù)，且，即，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由（2）可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，所以在上的值域為，由恒成立，即，也就是，則，得，所以的取值范圍為.20.給定正整數(shù)，集合，若存在個不同正整數(shù)，對任意的，存在，使得或或，則稱為“可表集合”．（1）判斷是否為“可表集合”，并說明理由；（2）證明：若為“可表集合”，則；（3）若為“可表集合”，求的最小值．【答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義判斷；（2）列出滿足，，的所有情況最多個數(shù)即可證明結(jié)論；（3）列出、、、的所有情況，并說明其錯誤性，再時舉出復(fù)合題意的例子，即可說明的最小值.【小問1詳解】由于對，，有，，，，.故是“可表集合”.【小問2詳解】欲找尋的最大值，即中