高中數學（必修①?②）

第一講集合

1、什么叫集合？

由一些元素（一般地，我們把研究對象統稱為元素）組成的總體（全體）叫

集合或叫集.

2、集合的表示：

一個集合常用大寫拉丁字母如A、B、C.....表示，集合中的元素常用小寫拉

丁字母如T、b、c...表示.

3、元素與集合的關系：屬于w或不屬于定的關系.

如果。是集合A中的元素，就說a屬于A,記作a￡A;如果a不是集合A中的

元素，就說a不屬于A,記作a史A.

常用的數集及其表示法：

實數集記作R有理數集記作Q整數集記作Z

非負整數（自然數）集記作N正整數集記作N*或N+.

4、集合的描述方法

（1）自由語言描述：如：到一個定點的距離等于定長的點的集合（圓）；不等式x-7

<3的解的集合；全體整數；金星汽車廠2012年生產的所有汽車；中國的直轄市;

1-20以內的所有素數；到一條線段兩個端點距離相等的點的集合（線段的垂直平

分線）；等等.

（2）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,元素之間用逗號分開，并用

花括號“（）”括起來表示集合的方法叫列舉法.

如：設小于10的所有自然數組成的集合為A,則

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）.

設X平方=X的所有實數根組成的集合為B,則

B={0,1}.

（3）描述法：當某個集合中的元素列舉不完時,我們可以用這個集合中元素所具

有的共同特征來描述.如:x-7<3的解集是列舉不完的，那么，可如下表示：

D={x€R|x<10）.

又如：所有奇數的集合，元素是列舉不完的，那么，可表示為：E={x€Z|

x=2K+l,k6Z}.

描述法，也可以說成是，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描

述法.具體方法是:在{}內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍,再

畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

再如：犬-2=0的所有實數根組成的集合.

用自由語言表示：方程/-2-2=0的所有實數根組成的集合.

用描述法表示：A={x€R|x2-2=0}.

用列舉法表示：A={42,-V2}.

為簡便起見，可以把豎號前面表示元素取值范圍的部分省略，如：D={€

R|x<10}也可表示為：D=[xIx<10}

集合E={x￡Z|x=2K+l,k￡Z}.也可表示為：E=合|x=2K+l,k￡Z}.

5、集合的性質：

1、確定性：一個給定的集合，它的元素是確定的（如果元素不確定，就不

構成集合）；

2、無序性：元素的列舉不分先后；

3、互異性：集合中的元素不重復.

6、集合間的基本關系：

（1）子集：如果集合A中的任意元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合

B的子集，記作AqB或B皂A（讀作A含于B或B含A）

子集可理解為，兩個集合除了包含關系外還有相等共兩種情形在內.

（2）真子集：對于兩個集合A、B,如果A是B的子集，并且存在xEB，但x《A）,

就說A是B的真子集.記作AUB或BBA.

真子集可以理解為兩個集合只有包含關系，沒有相等關系.

（3）集合相等：如果集合A中任意元素都是集合B中的元素，并且集合B中的

任意元素都是集合A中的元素，就說集合A與集合B相等.（即：如果AqB,注

K.BCA,就說集合人=8）.也可以說，如果構成兩個集合A、B的元素一樣，就說

集合A=B.

兩個集合間的基本關系，除了上述用符號如A=B、AUB、A=B等表示之外,

還常常用平面上封閉曲線的內部（即Venn圖）表示。

（4）空集：不含任何元素的集合叫空集，用0表示.

并規定，空集是任何集合的子集.0=0,0cA.

⑸推論1：任何一集合是它本身的子集.AoA

推論2：如果A=B,BcC,則A=C.

7、集合的運算

①并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合稱為

集合A與集合B的并集,記作AUB,讀作A并B.

AUB={xIx￡A,或x￡B}

②交集：一般地，由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合稱

為集合A與集合B的交集，記作AC1B,讀作A交B.

AAB={|x6A,且x￡B}

③補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集

合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作g,A

即：CVA=（xI6R,且x6A}

（一般地，如果一個集合含有我們所要研究問題涉及的所有元素，就稱這個集合

為全集，通常記作U）.

設全集U={xlx是三角形},A=lx是銳角三角形}

B={xlx是鈍角三角形},則有：

AUB={xlx是銳角三角形或鈍角三角形}

Cv（AUB）={xlx是直角三角形}

并集、交集和補集，可以用以下二種方法圖示

一種是在數軸上表示

另一種是畫Venn圖（平面封閉曲線圖）表示.

8、有限集合元素的個數計算：

有限集合（也稱有限集）：含有限個元素的集合稱為有限集合.有限集合中

元素的個數用Card（基數）來表示.

如：A={a,b,c},則Card(A)=3

有限集合元素的個數在實際中的應用：

求兩個集合并集的元素的個數

Card(AUB)=Card(A)+Card(B)Card(AOB)

求三個集合并集的元素的個數

Card(AUBUC)=

Card(A)+Card(B)+Card(A)Card(AflB)Card(APC)-Card(BPC)-

Card(AnBnC)

小結：

1.一個集合中的元素是確定的、互異的、無序的

2.兩個集合間的基本關系：包含、相等

3.兩個集合之間的基本運算：并、交、補

練習題：

一、填空題

1.用符號'七”或“史”填空

(1)0N,V5N,V16N

(2)一;。，%Q,eCRQ(e是個無理數)

(3)業-百+V2+V3_______|x|x-a+y[6h,aGQ,be

2.若集合A={x|xW6,xeN},B={x|x是非質數},C=A[']B,

則C的非空子集的個數為

3.若集合A={x[3Wx<7},8={xI2<x<10},則AUB=

4.設集合4={目一3〈》《2},8=*|2%-14》42%+1},且426,

則實數攵的取值范圍是

5.已知A={y|y=—》2+2x-l},6={y|y=2x+1},PldA^\B-

二、解答題

1.已知集合4=1%€^^《一CN},試用列舉法表示集合A

2.已知A={x|-2?x<5},B={x\m+\<x<2m-1},求〃？的取值范圍

3.已知集合4={〃2,。+1,一3},8={〃—3,2〃—1,〃2+1},若408={-3},

求實數。的值

4.設全集U=R,M={加|方程機1-工-1=0有實數根},

N={w|方程/一x+〃=0有實數根}，求(CQ.M)C|N.

參考答案

一、填空題

1.(1)e,g,e;(2)e,g,e,(3)e0是自然數，、石是無理數，不是自然數，716=4；

(V2-V3+也+后=a亞17?+也+百=Jd,當。=01=1時指在集合中

2.15A={0,1,2,3,4,5,6},C={0,1,4,6},非空子集有24-1=15或者

C：+C：+C：+C：=15,如果要求的不是非空子集，那么還要加上空集。在內共16

3.{x|2<x<10}，顯然AUB={x[2<x<10}

4.{左|-14人W；}2Jt-l>-3

則《得-14%J

2k+l<22

5.1yIy<0}y=-尤2+2x-l=-（》一1）2W0,A-R

二、解答題

1.解：由題意可知6-x是8的正約數，當6—x=l,x=5；當6—x=2,x=4；

當6—x=4,x=2；當6-x=8,x=-2；而x20,二x=2,4,5,即A={2,4,5}；

2.解：當機+1>2機-1,即〃？<2時，8=。,滿足B=A,即m<2；

當機+1=2“一1,即機=2時，B={3},滿足B=即機=2；

機+12—2

當機+1<2m—1即機>2時，由8uA,得《即2〈機<3：

-2/n-l<5

：.m<3

3.解：'：A\B={-3},-3eB,而/+1k一3,

.?.當a-3=-3,a=0,A={0,L-3},B={-3,-l,l},

這樣AIB={_3,1}與AIB={—3}矛盾；

當24-1=一3,。=一1,符合41B={—3}

:.。=-1

4.解：當機=0時，x=-l,BPOGM；

當初=0時，△=1+4〃？20,即M2—;，月w0

**?加之一z,/?C(jM—(機|tn<-Wj

而對于N,△=1-4〃20,即〃《；，N=[〃|〃4；]

cuMIN={xV-；)

第二講：函數

一、函數與映射的涵義：

初中數學提示我們，如果變量y隨變量x的變化而變化，并且，變量x每取

一個值，變量y都有唯一的一個值與之對應，那么，就稱變量y是變量x的函數。

可見，在生產生活和社會實踐中，函數描述的是變量之間的一種依賴關系。

高中數學從集合的定義(一些元素的總體叫集合)和對應關系出發描述函數,

顯然，變量x和變量y是兩個數集，變量x和變量y之間的關系成為兩個數集之間

的關系，描述為：對于數集4中的每一個元素x,按照某種對應關系/,在數集8

中都有唯一確定的y和它對應，記作:A->8.

設4,8為兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系/,使對于集合

A中任意一個數x,在集合8中都有唯一確定的數/(x)和它對應，那么就稱了:

AB為從集合A到集合8的一個函數。記作y=/(x),x&A.其中，x叫

做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值,

函數值的集合{/(x)|xeA}叫做函數的值域，值域是集合8的子集。可以理解為y

=/(x)cB,函數的實質就是“兩個數集間的一種確定的對應關系”

比如：二次函數y=ax2+bx+c(aH0)的定義域是R,值域是B.當a>0

qc?4ac-b2}w,nqcf?4ac-b2

時，B=<y|y>----------卜；當a<0時，B=1y|y?----------->,

4a4a

(U\2(A—h2y

(因為：y-ax2+bx+c=>a\x---=>-----n-r----，對于R中的任意一

I2a)I4〃J

個數x,在B中都有唯一的數）=ax2+bx+c（awO）和它對應。）函數符號為

y=/CO-

二、函數的定義域：通常由問題的實際背景確定，如果只給出解析式，沒有明

確定義域，那么，函數的定義域就是使式子有意義的實數的集合。

三、函數的構成要素：定義域、對應關系（函數關系）和值域。

如果兩個函數定義域相同,且對應關系完全一致,這兩個函數相等.

四、函數的表示法：解析法、圖象法、列表法三種。

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.（注意：函數圖象可

以是連續曲線或直線、折線、離散點等）

列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

對于一個個具體的問題，我們要學會選擇適當的方法表示問題中的函數關系。如:

出租車的計費、個人所得稅納稅額等等，其費用與里程、納稅額與個人所得收入

的對應關系，可以用分段函數來表示.

五、函數區間：

定義名稱符號

[x\a<x<b\閉區間[a,b]

[x\a<x<b}開區間，b)

{x\a<x<b]半開半閉區間la,h)

[x\a<x<h]半開半閉區間(a,b]

六、映射：（映射，實際上是一種—對應關系）

設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系/,使對于集合A中

的任意一個元素X,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應了:

為從集合A到集合8的一個映射。如：設集合A為某場電影票上的號碼

（A=｛x|x是某場電影票上的號碼｝）,集合8是某電影院的座位號

（｛x|x是某電影院的座位號｝）,對應關系/：電影票號碼對應于電影院的座位號,

那么該對應了:4-8是一個映射。

映射，實際上是一種---對應關系，如：

數軸上的點對應實數(A={P|P是數軸上的點}-8=R)

平面直角坐標系中的點對應集合B={(x,y)|xee/?}

(尸={尸|尸是平面直角坐標系中的點})T■集合{(x,y)|xeR,yeR})

每一個三角形對應它的內切圓(A={x|x是三角形}->B={x|x是圓})

4.如果從集合A到集合8不是一一對應關系，就不是映射，如：新華中學的班級,

與新華中學的學生兩個集合之間，由于不是一一對應關系/(一個班級對應的學

生不止一個)，所以從班級一學生這種對應關系/不是映射。反之，如果是學生一

班級(每個學生都有唯一確定的一個班級與之對應)，那么，就是一一對應關系f,

是映射。同樣的道理，圓與圓內接三角形兩個集合，由于圓f圓內接三角形不是

一一對應關系了,所以從圓->圓內接三角形這個對應關系,不是映射。

7.函數的基本性質

(1)函數單調性與最大(小)值

函數是描述事物運動變化規律的數學模型.

①增(減)函數:一般地，如果對于定義域/內某個區間D上的任意兩個自變量玉,々，

當/<X2時，都有那么就說函數y=/(x)在區間D上是增函數；

反之，如果當王<X2時，都有/(xj〉/(x2),就說函數y=/(x)在區間D上是減

函數.

②函數的單調區間：如果函數y=/(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函

數y=/(x)在這一區間具有單調性，區間D叫做函數y=/(x)的單調區間.

③函數的最大(小)值：如果函數y=/(x)在其定義域內/內存在某個不(或者說

x0e/),使得/(x0)=M,并且對于任意自變量x(或者說xe/)，都有/(x)WM,

我們稱M是函數y=/(x)的最大值；反之，如果都有我們就稱M是

函數y=/(x)的最小值.

④求函數的最大(小)值

首先，判斷函數在其定義域內的增減性，其次，才能推證函數有無最大或最小值.

★最大用max表示，最小用min表示.一般地，研究函數性質的常用方法是先猜

想，再證明.

⑤函數奇偶性

偶函數：一般地，如果對于函數y=/(x)定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),

那么函數y=/(x)就叫偶函數.偶函數圖象關于y軸對稱.

奇函數：一般地，如果對于函數y=f(x)的定義域內任意一個x,都有

/(_x)=_/(x),那么函數>=/(x)就叫奇函數.奇函數圖象關于坐標原點對稱.

習題：

1.已知函數/*)是定義在R上的奇函數，當x20時，f(x)=x(l+x),畫出函數/(x)的圖

象.

解法1:設xeR,且x>0,1?函數/(x)是定義在A上的奇函數

???當-X<0時，函數在x左半軸的圖象與函數在右半軸的圖象關于原點對稱，

設此時函數解析式為/(-X),則

-1?/(-x)+/(x)=0

/(-X)=-f(x)=-x(l+x)=~x-x2=(-X)-(-x)2)

(x)在x<0時，其解析式為：f(x)=x-x2=-x2+x

x(l+x)(x?0)

"x)=2

-x~+x(x<0)

解法2：設xeR,且x<0,此時，函數/(x)在x軸負半軸的圖象解析式為/(x),???-X叁0,

并且當x>0時，/(x)=x(l+x),/(-x)=-x(l-x)=-x+x2

又,?,函數/(x)是定義在R上的奇函數

/(-x)=-/(x)???/(x)=_/(_x)=-(-X+X2)=x-x2

x(\+0)

???/(x)=4，''做這類題目，一般是設所要求的部分，再利用函數奇偶性倒推,

-x2+x(x<0)

即可求得)

2.經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件)與價格(元)均為時

間t(天)的函數，且銷售量近似滿足g(t)=80-2t(件)，價格近似滿足于f(t)=

15+-r(0<t<10)

2

/(x)=<（元）.

25-1r(10<t<20)

（I）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0S￡20）的函數表達式;

（ID求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.

15+|r(80-r)(0<t<10)

解：（I）由已知，由價格乘以銷售量可得銷售額:

25-1f(80-r)(10<t<20)

_+30)(40-r),OSt<101_J-r2+10/+1200,(0^t<10)'

[(50T)(40-r),10<z<20j[t2-90r+2000,(10<t<20)

(n)由(I)知①當04t410時產-t2+10t+1200=-(t-5)2+1225

函數圖象開口向下，對稱軸為t=5,該函數在t￡[0,5]遞增，在t￡(5,10]遞減

??.ymax=1225(當t=5時取得),ymin=1200(當t=0或10時取得)

②當10<t420時y=t2-90t+2000=(t-45)2-25

圖象開口向上，對稱軸為t=45,該函數在在t￡(10,20]遞減，t=10時，y=1200,ymin=600(當

t=20時取得)

由①②知ymax=1225(當t=5時取得),ymin=600(當t=20時取得)

由①②知ymax=1225(當t=5時取得),ymin=600(當t=20時取得)

第三講基本初等函數（指數函數、對數函數、嘉函數）

1.指數函數（細胞的分裂、人口的增長、生物體體內碳14的衰減（每經過5730

年衰減為原來的一半）等可以用指數函數表示）

（1）/?次方根？如果x"=a（〃>1,且〃￡N*）則有：

當〃為偶數時，a為正數,〃的〃次方根有兩個：x=±y/a

?當貨在加！.J正數。的〃次方根是一個正數：了=標［廠

x"=。=><當〃為奇數時乂

［負數a的〃次方根是一個負數：%=標）

負數沒有偶次方根

0的任何次方根都是0,記作而=0

布叫做根式，〃叫做根指數，a叫做被開方數，（折）"=a

當〃奇數時,〃7=a

?當〃為偶數時，防同】(這里不是兩種結果，"

-a,a<0

.而是一種結果(當〃為偶數時，折為一個非負實數).

★要注意(標廠與叱的區別.

正數的正分數、負分數指數寡與正數的正整數、負整數指數嘉的意義相仿.

0的正分數指數嘉等于0,0的負分數指數嘉沒有意義.

有理數指數霹：對于任意有理數r,s,均有下面的運算性質：

(1)優優=a』(a>O,r,se0)

(2)(ar)'=ars(a>O,r,5eg)(3)(ah)'=arar(a>O,h>O,r,seQ)

無理數指數賽：廢(。>0,￡無理數)是一個確定的實數，有理數指數累的運算性質

同樣適用于無理數指數罪.

指數函數：函數y=a"叫做指數函數，其中x是自變量，定義域為R.

指數函數的性質：

(1)當0<a<1時，>=能圖象在R上是減函數，且過定點(0,1)即當x=O,y=l,

定義域為((-00,+00)),值域為(0,+00)

(2)當a〉1時，y=a'圖象在R上是增函數，且過定點(0,1)即當x=0,y=l定

義域為((-00,+00)),值域為(0,+00)

★(3)兩個底為互為倒數的指數函數圖象關于y軸對稱，如y=2'與)'=(；)”的圖象

關于),軸對稱.

銀行復利儲蓄類似指數增長模型：設原有量為N,每次的增長率為P,經過x次增長后，該

量增長到y,則丁=^^1+/>)'(》€/\0,形如y=ka'(keR,且％=0；。〉0且(復

利儲蓄：把前一期的本利加起來做為下一期的本，再計算下一期的利息)

所謂“半衰期”：是指物質的量衰減為原來的一半(!)所經過的時間.如死亡生物組織中碳

2

14(C14)每經過5730年衰減為原來的一半，即5730年為碳14的半衰期.

練習比較下列每對數的大小：

1.725,1.73

0.8一°,，0.8?2

1.703,0.931

解：；y=1.7,在R上是增函數，A1.72-5<1.73

：y=08在R上是減函數，0.8"」<O.8-02

V1.703>1.7°=1,0.931<0.9°=1/.1.70-3>0.9".

2.對數函數（地震震級的變化規律、溶液產”的變化規律等可以用對數函數表示）

對數：一般地，如果優=N（a>0,且。工1）,那么數x叫做以a為底N的對數

（log）,記作x=log“N,其中。叫做對數的底數，N叫做真數（實際上是指數函

數值）.

log?N:以任一正數a（a>0,且aW1）為底的對數

IgN（常用對數）：以10為底的對數叫做常用對數，

?記作：log10N=1gN?

InN（自然對數）:以無理數e=2.71828...為底數的對數

記作：log,N=lnN

★對數與指數之間的關系：當>0,且awl時，a，=No（等價于）x=log.N.

負數和0沒有對數

bg“1=0

log”a=1

In10=2.303（e2303=10）

對數運算性質：

如果a〉0且M>0,N>0,（「M,N均為指數函數y=4的y值，

而y無論0<a<1還是a>1都為正值）那么，

（1）l0g°（M.N）=log.M+log。N

M

（2）/0g“二=log0,"TogaN

(3)log.M"=〃log"M(〃wR)

⑸"仔黑"KE

,H

(6)log,"=log.

例題：噫.=1*4…孤

c,1.1,

=2Iogax+-loguy--logrtz

?設地震震級為M,A為被測地震的最大振幅，A。為“標準地震”的振幅，則里

AA

氏震級A/=1gA—1g=1g—或者說，—=10w(7.6級地震振幅是5級地震振幅的

AA)

398倍!)

恩橋斯曾把對數的發明、解析兒何的創始和微積分的建立并稱為17世紀數學的三

大成就.

對數函數：一般地，函數y=log〃x(a>0,且awl)叫做對數函數，其中x叫做自變

量，★定義域為(0,+oo)(；由a*=yologrty-x,顯然，指數函數a*=y中y的值域

(y>0)就是對數函數log.y=x中x的定義域(0,+oo)

對數函數y=log“x(a>0,a*1)的圖象和性質

1.y=log“x(a>1)的圖象

(1)過定點(1,0)即x=l,>>=0

(2)在(0,+oo)上是增函數

(3)定義域(0,+oo),值域為A

2.y=log〃x(0<a<l)的圖象

(1)過定點(1,0)即x=l,y=0

(2)在(0,+s)上是減函數

(3)定義域(0,+oo),值域為R

★互為反函數的兩個函數圖象關于y=x對稱.如y=a*與y=log“x的圖象關于直

線y=x對稱.

例題：溶液酸堿度是通過PH刻畫的.P”=Tg［/T］（［"+］表示溶液中氫離

子的濃度，單位是摩爾/升）

由此，可知，溶液中［4+］濃度越大，P"越小，溶液的酸性越強，反之，溶液

中［"+］濃度越小，P"越大，溶液的堿性越強.

純凈水中［〃+］=10'摩爾/升，PH=7

3.嘉函數（正方體的體積與邊長間的關系、理想狀態下氣體的壓強與體積的關系

可以用嘉函數表示）

嘉函數：形如y=（a為常數，awR）的函數叫做嘉函數.

嘉函數的共同特征：圖象都過點（1,1）.

嘉函數的奇偶性和單調增減性質由寡函數的a的取值決定.

本章小結：

1.整數指數是、有理數指數是、無理數指數累的運算性質相同.即：實數指數募運

算性質相同.

2.指數函數的定義、圖象與性質

3.對數的定義及其運算性質（對數出現早于指數，對數與指數存在互逆關系）

4.對數函數的定義、圖象與性質

5.指數函數與對數函數的關系6,函數是描述客觀世界變化規律的數學模型，不同

的變化規律需有不同的函數模型描述.

6.研究函數時，要充分重視函數圖象的作用

練習題

一、選擇題

1、下列函數中，在區間（0,+8）不是增函數的是（）

A.y=2XB.y=lgxC.y=x3D.y=—

x

2、函數y=log2x+3（x>l）的值域是（）

A.[2,+oo)B.(3,+00)C.[3,+00)D.(—00,+00)

3、若〃={y|y=2*},P={y[y=J^T},則MAP()

A.{y|y>l}B.{y\y>l}C.{y|y>0}D.{y|y>0}

4、對數式b=log加2(5-。)中，實數a的取值范圍是()

A.a>5,或a<2B.2<a<5

C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<4

5、已知/（x）=a-*（a>0且awl）,且/（-2）>/（—3）,則。的取值范圍是（）

A.a>0B.a>1C.a<\D.0<a<1

6、函數y=(a?T尸在(-8,+8)上是減函數，則a的取值范圍是()

A.IaI>1B.IaI>2C.a>后D.1<|aI<41

6、函數y=Jog］（>2—1）的定義域為()

A、[—V2,—1)U(1,5/2]B、(-V2,-1)U(1,V2)

C>[-2,-1)U(1,2]D、(-2,-l)U(l,2)

8、值域是（0,+°°）的函數是（)

A、y=52~xC、y=Jl-2'D、

B、-r

9、函數〃x）=|log的單調遞增區間是

2

A、B、(0,1]C、(0,+8)D、[l,+oo)

10、圖中曲線分別表示），=l°g〃光，

y=\oghx9y=\ogcx9y=的圖

a,b,3d的關系是（）

A、0<a<b<l<d<c

B、0<b<a<l<c<d

C、0<d<c<l<a<b

D、0<c<d<l<a<b

11>函數f(x)=log5(5-4x-x2)的單調減區間為()

A.(一8,-2)B.[一2,+°°]C,(一5,-2)D.[-2,1]

,r

12、a=log0.50.6,b=logv20.5,c=log百石，貝lj()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

13、已知y=log“(2-奴)在[0,1］上是x的減函數，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+oo]

14、設函數/(x)=/d)lgx+l,則f(10)值為()

X

A.1B.-lC.10D.—

10

二、填空題

15、函數y=Jlog.x-l)的定義域為.

16、.函數y=2i"的值域為

112

17、將(%)°,log^Jog。，由小到大排順序：

18.設函數小)｛；益;。則“1%3)=-------------

19、計算機的成本不斷降低，如果每隔5年計算機的價格降低工，現在價格為8100

3

元的計算機，15年后的價格可降為

20、函數)，=log?》在［2,+8)上恒有|y|>l,則a的取值范圍是。

21、已知函數f(x)=(l°gj-log,%+5,X《［2,4］,則當x=,f(x)有最

44

大值;當*=時，f(x)有最小值

三、解答題:

22、點(2,1)與(1,2)在函數/(x)=23〃的圖象上，求〃x)的解析式。

］+X

23、已知函數〃x)=lg-(1)求/(x)的定義域；(2)使/(x)>0的x的

1-x

取值范圍.

2

24、設/(x)=l------(1)求f(x)的值域；(2)證明f(x)為R上的增函數；

2V+1

。、—1

25、已知函數f(x)=a*+1(a>0且aWl).

(1)求f(x)的定義域和值域；

(2)討論f(x)的單調性.

26、已知〃x)=2+log3X(xe[l,9]),求函數y="(x)f+/，)的最大值與最小值。

參考答案：

一、選擇題DCCCDDABDDCBBA

二、填空題

15.{x|l<x<2}16.{y\0<y<2]17.1og21-:log05|^(|yV2

18.4819.2400元

123

2O.(-,1)U(1,2)21.4,7;2,—

三、解答題

22.解：:(2,1)在函數/卜)=23"的圖象上，，l=22'+b

又二(1,2)在f(x)=2血6的圖象上，.?.2=2"b

可得a=-l,b=2,/(x)=2-z

23.(1)(-1,1),(2)(0,1)

24.(1)(-1,1)(2)略

――1y+i

25.⑴易得f(x)的定義域為{x|x0}?設y=/TT,解得a'=-yT①

y+1y+\

*a>0當且僅當->-1>0時,方程幽解.解--1>0得

??f(x)的值域為{yI-l<y<lL

(優+1)-22

(2)f(x)=ax+1=i-a'+1.

1°當a〉l時，?國+1為增函數，且一+1>0.

22al

；優+1為減函數,從而f(x)=1-?'+1=ax+1為增函數.

C!'-1

2。當0〈a〈l時，類似地可得f(x)=優+1為減函數.

26.[6,13]

第四講函數的應用

1.函數與方程

函數零點：對于函數y=/(x),使/(x)=0的實數x叫做函數y=/(x)的零點.這樣

函數的零點就是方程/(x)=0的實數根，也就是函數y=f(x)的圖象與x軸的交點

的橫坐標.

函數y=/(x)的零點與相應的方程/(幻=o的實數根的關系

二次函數^=0%2+云+°(。/0)的圖象與》軸相交的交點橫坐標就是該函數函數值

^=0時相應的一元二次方程G2+云+，=0僅。0)的實數根(解)(又稱函數零點)

(1)如果圖象與x軸相交<=>ax2+bx+c=0(aw0)的判別式△=/-4ac》0(其中，

有兩個交點u>△=〃-4ac〉0;有一個交點o△=〃-4ac=0).

⑵如果圖象與x軸不相交o△=。2一4〃<0.

推廣到一般情況，則有：

方程/(x)=O有實數根。函數y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數y=/(x)有零點.

由此可見，確定函數的零點，就是求方程的實數根，求方程的實數根，就是確定函數的零點.

一般地，對于不能用公式求根的方程/(x)=O來說，我們可以將它與函數y=/(x)

聯系起來，利用函數性質找出零點，從而求出方程的根.

一般地，如果函數v=Ax)在區間［a力］上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有

f(a).f(b)<0,那么，函數y=Ax)在(a:)內有零點,即存在ce(a,ZO,使得/(c)=0,

這個c也就是方程/(x)=0的根.

用二分法求方程的近似解

二分法:對于在區間［a,6］上連續不斷且/(a)./(b)<0的函數y=/(x),通過不斷

地把函數/(x)零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得

到零點近似值(此時，零點所在區間內的任意一點可作為函數零點的近似值)的

方法叫做二分法.

給定精確度&(伊普西龍)，用二分法求函數/(x)零點近似值的步聚:

1.確定區間L,b],驗證<0,給定精確度&;

2.求區間(a,b)的中點c；

3.計算/(c)；

(1)若/(c)=O,則c就是函數的零點點；

(2)若/(a)./(c)<0,則令匕=c(此時，x0G(a,c))；

(3)若/(c)./3)<0,則令a=c(此時，x0e(c,b)).

4.判斷是否達到精確度&,即若,則得到零點近似值。(或匕),只要。力

滿足|a-6|<￡,我們就可以用a或6作為零點近似值，否則重復2~4步聚，直到滿足

條件\a-b<&為止.

2.函數模型及其應用

(1)在函數定義域內，對數函數、指數函數和卷函數的增減差別

對數函數y=log“x(a〉1),指數函數y=a'(a〉1),黑函數y=x"(〃〉0)在

區間(0,+oo)上都是增函數，但這三類函數的增長是有差別的：比如：

x

(1)在區間(2,3),logox<a<x"；

n

(2)在區間(0,1),logax<x<a\

x

(3)在區間(4,+oo),lognx<x"<a.

從圖象上看，>=優(a〉1)和y=x"(〃>0)的圖象有兩個交點，這表明它們

在自變量不同的區間內有不同的大小關系，有時能〉x",有時x”〉a*,但是當自

變量越來越大時，y=優呈快速增長，而>=/顯得微不足道.

★在計算器或計算機中，類似1.05E+06(1.05E6)數，其中的“E”表示底數10,

6表示IO,的指數.

一般地，對于指數函數y=a*(a>1)和黑函數〉=工"(〃>0),在區間(0,+8)

上，無論〃比。大多少，盡管在x的一定變化范圍內，優會小于x",但由于能的增長快于￡

的增長，因此，總存在一個/，當X〉與時，就會有罐>x".

同樣地，對于對數函數y=log〃x(a>1)和嘉函數y=x"(〃>0),在區間(0,+8)上,

隨著x的增大，log“x增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x的一定

變化范圍內，log〃x可能會大于x",但由于log,,X增長慢于x"的增長，因此總存在一個小,

當X>X。時，就會有log”X<x".

綜上所述，①在區間（0,+00）上，盡管對數函數y=log“X（a>l）,指數函數y=a*

（a>l）和幕函數丁=X"（〃>0）都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個

“檔次”上，隨著隨著x的增大，y=ax（a>l）的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于

幕函數y=x"（n>0）的增長速度，而對數函數y=logax（a>1）會越來越慢.因此，總

會存在一個當x>x（）時，就有k）g“x<x"V/.

有與上述同樣的方法，可得到：

②在區間（0,+oo）上，盡管對數函數y=log“x（0<a<1）,指數函數y=a*（0<

。<1）和幫函數>=》"（〃<0）都是減函數，但它們的減少速度不同，而且不在同一個“檔

次”上，隨著x的增大，y=ax（0<a<l）的減少速度越來越快，會超過并遠遠大于幕函

數y=x"（〃<0）的減少速度，而對數函數y=log〃x（0<a<1）始終是負值.因此，總會

存在一個玉,當x>x（）時，就有log。xVa*Vx".

（2）函數模型的應用實例（體會在實際問題中建立函數模型的過程）

習題：

1:某公司生產某種產品的固定成本為150萬元，而每件產品的可變成本為0.25萬元，每件產

品的售價為0.35萬元.若該公司生產的產品全部銷售出去，則：

（1）分別求出總成本yl（單位：萬元），單位成本y（單位：萬元）2,銷售總收入y3（單位:

萬元），總利潤y4（單位：萬元）與總產量x（單位：件）的函數解析式；

（2）根據所求函數的圖象，對這個分司的經濟效益作出簡單分析.（當x=_時，公司虧損；當x=_

時，公司不賠不賺；當x=_時，公司盈利）

解：設產量為工件，則

弘=150+0.25%

j2=0.25+150/X

%=0.35%

y4=0.1X-150

由此可見,

X大于1500盈利

等于1500不賺不賠

小于1500虧損

2.某地區今年1月,2月,3月患某種傳染病的人數分別為52.61.68o為了預測以后各月的的患病

人數，甲選擇了模型kax八2+bx+c,乙選擇了模型y=pq^x+r,其中y為患病人數，x為月份數，

a,b,c,p,q,r都是常數，實際4月、5月、6月份的患病人分別為74,78,83,你認為誰選擇的模

型好.

解：若選擇甲模型y=ax?+bx+c,則有：52=a+b+c,61=4a+2b+c,68=9a+3b+c,解得：a=

-1.b=12,c=41,甲模型為y=-f+12x+41,照此模型推算，可得四月份：y=73,五月份：

y=76,六月份：y=77.

7729

若選擇乙模型，則有：52=pq+r,61=p^2+r,68=pq3+r解得：q=—,p=-------,r=92.5,

914

7707

則乙模型為y=-￡6『+92.5,照此模型推算，可得：四月份：y=661/9?73,

五月份：y=6292/81?78,六月份：y=59029/729?81.

故應選擇乙模型.

3.某人開汽車以60km/〃的速率從A地到150M"遠處的B地，在B地停留1/2后，再以

50km/h的速率返回A地.把汽車與A地的距離xkm表示為時間t的函數，并畫出函數圖

象.

解：分段函數

60r(0<r<2.5)

x=<150(2.5<t<3.5)>

150-50(/-3.5)(3.5<t<6.5)

4.設計一個杯子，其三視圖如圖所示，現在向杯中勻速注水，杯中水面的高度h隨時間t變化

的圖象是()

正發圖他視圖

O

解視圖

k上k

o]t

A.B.C.D.

分析：由三視圖可以看出，此幾何體是一個圓柱，如果往其中注水，由于其橫截面始終不變,

故其水面高度應該是勻速上升的，接合函數的知識來選擇正確選項即可

解：由三視圖可知杯子是圓柱形的，由于圓