高一數學暑假綜合復習題（一）

選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知向量。，b,下列選項中錯誤的是（）

A.\a\=y[ahB.若|a?回=|a|步則a與）共線

C.若aWO且1W0,則a仍WOD.|aA|W|a||W

2.從一批產品（既有正品也有次品）中取出三件產品，設4=｛三件產品全不是次品｝,8=｛三

件產品全是次品｝,C=｛三件產品有次品，但不全是次品｝,則下列結論中錯誤的是（）

A.A與C互斥B.B與C互斥C.任何兩個都互斥D.任何兩個都不互斥

3.i是虛數單位，則W的虛部是（）

A.；iB.-giC.D.

4.設向量4=（1,-3）,6=（-2,4）,c=（-l,-2）,若表示向量4a,4》-2G23-c）,d的有

向線段首尾相連能構成四邊形，則向量4為（）

A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）

5.對于直線〃?，〃和平面a,下列命題中正確的是（）

A.如果/”Ua,n<ia,m,〃是異面直線，那么”//a

B.如果加Ua,n<ta,m,〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果機Ua,nIIa,m,〃共面，那么//〃

D.如果m//a,nIIa,m,〃共面，那么根//〃

6.某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康狀況，從男生中任意

抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查.這種抽樣方法是（）

A.簡單隨機抽樣B.抽簽法C.隨機數法D.比例分配的分層隨機抽樣

7.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為I,AO=^AB+AC）,且畫=麗，則成法=（）

A.1B.小C.-1D.-小

8.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為（）

9.直線/垂直于梯形ABC。的兩腰A8和C。，直線〃?垂直于A。和BC,則/與，”的位置關

系是（）

A.相交B.平行C.異面D.不確定

23

io.甲、乙兩個實習生每人加工一個零件，加工的零件為一等品的概率分別為w和了，兩人加工

的零件是否為一等品互不影響，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（）

151

BC-

2-4

A.12

11.在棱長為1的正方體ABCO-AiBGOi中，M,N分別是AOi,AiB的中點，過直線8。

的平面a//平面AMN,則平面a截該正方體所得截面的面積為（）

A.A/2B.卷C.小D.坐

oZ

12.如圖，△ABC是邊長為2小的正三角形，P是以C為圓心，半徑為1的圓上任意一點，則

辦?濟的取值范圍是（）

A.[1,13]B.（1,13）C.（4,10）D.[4,10]

二.填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上）

13.口袋中有形狀和大小完全相同的五個球，編號分別為123,4,5,若從中一次

隨機摸出兩個球，則摸出的兩個球的編號之和大于6的概率為一.

14.已知。=（1,3）,b=（2+X,1）,且。與8的夾角為銳角，則實數A的取值范圍是—.

15.復數2+i和-3-i的輻角的主值分別為a,夕，貝ljtan（a+份等于—.

16.設△A3C的內角A,B,C所對的邊分別為a",c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=

三.解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

已知復數z=（2+i>?-「-2（l-i）.求實數能取什么值時，復數z是⑴零；（2）虛數；（3）

1—1

純虛數；（4）復平面內第二、四象限平分線上的點對應的復數.

18.（本小題滿分12分）

如圖，觀測站c在目標A的南偏西20。方向，經過A處有一條南偏東40。走向的公路,

在。處觀測到與。相距31km的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20km到達。處,

此時測得C,。相距21km,求O,A之間的距離.

19.(本小題滿分12分)

某幼兒園根據部分同年齡段女童的身高數據繪制了以下頻率分布直方圖,

其中身高的變化范圍是[96,106](單位：厘米)，樣本數據分組為[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106],

⑴求x的值；

⑵已知樣本中身高小于100厘米的人數是36,求出樣本量N的數值;

(3)根據頻率分布直方圖提供的數據及⑵中的條件，求出樣本中身高大

于或等于98厘米并且小于104厘米的人數.

20.(本小題滿分12分)

如圖所示的多面體中，四邊形ABC。是菱形、BDE77是矩形，E￡>!?ABCD,ZBAD=6O°.

(1)求證：平面BCF7/平面AED；

(2)若BF=BD=a,求四棱錐的體積.

未參加演講社團230

(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；

⑵在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學4,A3,4,A5,3名

女同學歷，現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求4被選中且田未被

選中的概率.

22.(本小題滿分12分)

如圖所示，正四棱錐ABC。中，。為底面正方形的中心，側棱處與底面ABCD所成的角

的正切值為如.

2

(1)求側面PAD與底面45c。所成的二面角的大小;

(2)若E是依的中點，求異面直線PO與AE所成角的正切值；

(3)問在棱AD上是否存在一點F,使用1側面PBC,若存在，試確

定點尸的位置；若不存在，說明理由.

高一數學暑假綜合復習題（一）

選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知向量。，b,下列選項中錯誤的是（）

A.|a|=

B.^\a-b\=\a\\b\,貝1]a與）共線

C.若aWO且8W0,貝"a仍#0

D.〈福向

答案C

解析由向量數量積的性質可知A,B,D均正確，C錯誤.故選C.

2.從一批產品（既有正品也有次品）中取出三件產品，設A=｛三件產品全不是次品｝,B

=｛三件產品全是次品｝,。=｛三件產品有次品，但不全是次品｝,則下列結論中錯誤的是（）

A.A與C互斥B.B與C互斥

C.任何兩個都互斥D.任何兩個都不互斥

答案D

解析由題意知事件A,B,。兩兩不可能同時發生，因此兩兩互斥.

3.i是虛數單位，則的虛部是（）

1.1.

AA.21BD.一亍

C.3D.

答案C

ii（l-i）1+i11.

解析TTT=（i+i）（]_0=丁=]+.故選c.

4.設向量a=(l,-3),4=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4》-2c,2("c),d

的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量”為（）

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

答案D

解由意,彳導4a+4b—2c+2(<z—c)+d=0,貝(jd——4a—46+2c—2(a—c)=—6a—

4。+4c=(—2,-6).

5.對于直線〃和平面a,下列命題中正確的是（）

A.如果機Ua,n（ta,m,〃是異面直線，那么"http://a

B.如果，“Ua,機，〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果，〃Ua,nIIa,m,〃共面，那么//〃

D.如果機//a,nIIa,m,〃共面，那么，"http://〃

答案c

解析對于A,如圖①所示，此時〃與a相交，則A不正確；對于B,如圖②所示，此

時〃"〃是異面直線，而〃與a平行，故B不正確；對于D,如圖③所示，機與〃相交，故

D不正確.故選C.

6.某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學生的健康狀況，從男生中

任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調查.這種抽樣方法是（）

A.簡單隨機抽樣

B.抽簽法

C.隨機數法

D.比例分配的分層隨機抽樣

答案D

解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此

用的是比例分配的分層隨機抽樣.

7.△ABC的外接圓的圓心為。，半徑為1,AO=^AB+AC）,且|倒|=|而則旗?欣=

〔）

A.1B.小

C.-1D.-市

答案A

解析由題意知，。為BC的中點，且NABC=60。，|反?|=2,|油|=1,：.BABC=\X2X^

=1.

8.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為（）

答案D

43后

解析設球。的半徑為廣，則鏟尸=23,解得「=yj-

9.直線/垂直于梯形ABC。的兩腰A8和CD,直線機垂直于A。和BC,則/與機的位

置關系是（）

A.相交B.平行

C.異面D.不確定

答案D

解析根據題意，/人平面ABC。，機可能在平面ABC。內，也可能垂直平面ABC。，還

可能在平面ABC。外但不垂直于平面ABC。，所以直線/與，”可能平行、相交或異面，故選

D.

23

10.甲、乙兩個實習生每人加工一個零件，加工的零件為一等品的概率分別為］和不兩人

加工的零件是否為一等品互不影響，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（)

答案B

解析設事件A="甲實習生加工的零件為一等品"，事件B="乙實習生加工的零件

23

為一等品"，則P(A)=g,P(B)=不所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為P(AB)+P(A

D35

_2_X-

B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=^X4=

+13J12

11.在棱長為1的正方體ABC。-A山IGOI中，M,N分別是AQi,A山i的中點，過直線

BD的平面aII平面AMN,則平面a截該正方體所得截面的面積為()

A.mB.|

C.小D.坐

答案B

解析取C\D\,BiG的中點為P,Q,連接。P,BQ,BiDi,NP,PQ.易知MNIIB1D1

IIBD,ADIINP,AD=NP,二四邊形ANP。為平行四邊形，AN//OP,又8。和OP為平

面O8QP的兩條相交直線,MN,AN為平面AMN的兩條相交直線，.?.平面DBQPII平面AMN,

1y[2

即平面DBQP的面積即為所求..??四邊形。8QP為梯形，高為

〃1八，出2-恃)=乎，：.S=^PQ+BD\h=^,故選B.

12.如圖，△A8C是邊長為2步的正三角形，尸是以C為圓心，半徑為1的圓上任意一點,

則成?麗的取值范圍是（）

A.[1,13]B.（1,13）

C.（4,10）D.[4,10]

答案A

解析以C為坐標原點，平行于AB的直線為x軸，垂直于的直線為），軸建立如圖所

示的平面直角坐標系.因為是邊長為2小的正三角形，所以A（-小，-3）,B他,-

3）.設尸（cos。，sin。），0€[0,2n）,則成?麗=（cos>+小,sin?+3>（cos。一小，sin。+3）=cos?。

—3+（sin8+3）2=6sine+7.因為一iWsinOWl,所以lW6sin6+7W13.所以淳?成€[1,13].故

選A.

二.填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上）

13.口袋中有形狀和大小完全相同的五個球，編號分別為123,4,5,若從中一次隨機摸

出兩個球，則摸出的兩個球的編號之和大于6的概率為

答案I

解析畫樹狀圖如下:

2345

/n/N/Z/N/Z

23451345124512351234

共20種等可能的結果，其中摸出的兩個球的編號之和大于6的結果有8種，故所求概率

*82

為藥

5-

14.已知a=(l,3),b=(2+A,1),且a與方的夾角為銳角，則實數2的取值范圍是

答案2>—5且2W—彳

解析因為。與〃的夾角為銳角，則cos〈a,b>>0,且cos〈a,b>Wl,即。2=2+4

+3>0,b手kd,貝2>_5AW—

15.復數2+i和-3-i的輻角的主值分別為a,0,則tan(a+0等于—.

答案1

解析:復數2+i和一3-i的輻角的主值分別為a,4..,.tana=g,tan夕=；,.,.tan(a+0

tana+tan4

-1-tanatan/?一'

16.設△ABC的內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c若。+c=2a,3sim=5sin8,則角

C=.

2兀

答案T

5bqb

解析由已知條件和正弦定理，得3a=5"S.b+c=2a,貝lja=y,c=2a—/?=丁，cosC

a1+b2-c212n

=~詬—=~2>X0<C<7t,因此角C=g~.

三.解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

已知復數z=(2+i)蘇-丁三-2(l-i).求實數，“取什么值時，復數z是(1)零；(2)虛數;

1—1

(3)純虛數；(4)復平面內第二、四象限平分線上的點對應的復數.

解由于機€R,

所以復數z=(2+i)/n2-3m(l+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(nr-3m+2)i.

2m2-3m-2=0,

⑴當1,即〃?=2時，z為零.

[m2-3m+2=0,

（2）當加2_3〃7+2WO,即機W2且機W1時，Z為虛數.

2m2-3m-2=0,

⑶當4,即加=時，z為純虛數.

〔汴一3加+2WO,

(4)當2m2-3m-2=-(m2-3m+2),

即加=0或機=2時，z是復平面內第二、四象限平分線上的點對應的復數.

18.（本小題滿分12分）

如圖，觀測站C在目標A的南偏西20。方向，經過A處有一條南偏東40。走向的公路,

在C處觀測到與。相距31km的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20km到達。處,

此時測得C,。相距21km,求。A之間的距離.

解由已知，得CD=21km,BC=3\km,BD=20km.

CD2+BD2-BC21

在△BCD中，cosZBDC=2CDBD=~T

設ZADC=a,貝cosa=；,

sina嘩

在△ACD中,

A。CDAD_21

由正弦定理，得

sin/AC。sinZCAD'艮%in(60°+a)=sin60°'

所以A。=關sin（60。+a）=爰[坐|sin?

cosa+

=15km,即所求的距離為15km.

19.（本小題滿分12分）

某幼兒園根據部分同年齡段女童的身高數據繪制了以下頻率分布直方圖，其中身高的變

化范圍是[96,106]（單位：厘米），樣本數據分組為[96,98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,

[104,1061.

(1)求X的值；

(2)已知樣本中身高小于100厘米的人數是36,求出樣本量N的數值；

(3)根據頻率分布直方圖提供的數據及⑵中的條件，求出樣本中身高大于或等于98厘米

并且小于104厘米的人數.

解(1)由題意，得(0.050+0.100+0.150+0.125+幻義2=1.解得％=0.075.

(2)設樣本中身高小于100厘米的頻率為pi,

：.pi=(0.050+0.100)X2=0.300,而pi=R",

,'N~pi_0.300-120-

(3)樣本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的頻率為p2=(0.100+0.150+

0.125)X2=0.750,

身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人數為〃=p2N=120X0.750=90.

20.(本小題滿分12分)

如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形、3。所是矩形，田_1面488，ZBAD=60°.

(1)求證：平面BCF〃平面4瓦)；

(2)若BF=BD=a,求四棱錐A—8DEE的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）32/

6

【解析】

（1）根據菱形的性質、矩形的性質，結合線面平行的判定定理、面面平行的判定定理進行證明即可；

（2）根據線面垂直的判定定理，結合線面垂直的性質、棱錐的體積公式進行求解即可.證明：（1）由A8CD是

菱形，BC//AD

.面ADE，AZ）u面ADE，8C〃面ADE

由8。"是矩形BF//DE

???8F6而ADE，DEu面ADEBFH面ADE

.BCu面8CF,BFu面BCF,BC^BF=B；.面BCF〃面ADE

（2）連接AC,ACDBO=O由ABC￡>是菱形，..ACLBD

由EDI面ABCD,ACu面ABC。.EDJ.AC

ED，BDu而BDEF，EDCBD=D；.A0上而BDEF，

則A0為四棱錐4-BDEF的高

由ABC。是菱形，ZfiM>=60。，則△AB。為等邊三角形，

由⑶/二臺/二。；則

5A￡）=a,AO=——a>SBDEF=a~,

2

326

21.（本小題滿分12分）

某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表（單位:

人）:

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率;

(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學Ai,A2,小，A*4.3

名女同學B2,&.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求4被選中且8未

被選中的概率.

解(1)設“該同學至少參加上述一個社團”為事件A,

8+2+51

貝ljP(A)=農=y

所以該同學至少參加上述一個社團的概率為;.

⑵從5名男同學和3名女同學中各隨機選1人的所有樣本點有：(Ai,Bi),(Ai,&),(4,

B3),(A2,Bl),(A2,B2),(A2,B3),(A3,Bl),(A3,B2),(A3,83),(A4,Bl),(A4,82),(A4,

ft),(A5,Bl),(A5,&),(A,B3),共15個，且這15個樣本點發生的可能性是相等的.其

中4被選中且B未被選中的有(Al,82),(Al,&)共2個，所以4被選中且B未被選中的概

2

率為P=F

22.(本小題滿分12分)

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，0為底面正方形的中心，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為亞

2

(1)求側面PAD與底面A6CZ)所成的二面角的大??；

(2)若七是A?的中點，求異面直線與AE所成角的正切值;

（3）問在棱AO上是否存在一點F，使EEJ_側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理

由.

【答案】（1）60°；（2）*0；（3）點尸為A￡＞的四等分點.

5

【解析】

（1）取中點M，設「。_1面43。。，連則NPMO為二面角的平面角，

利用解直角三角形可求其正切值.

（2）連OE,則NOE4為異面直線PO與AE所成的角，根據勾股定理求得PO,進而求得OE后可求

tanNOEA的值.

（3）可證點F為AD的四等分點.

（1）取中點M，設PO_L面A3CD，連MO,MP,

則ZPMO為二面角的平面角，

NP4。為側棱PA與底面ABCO所成的角，tanZPAO=—，

2

J2RPOr

設AB=a,AO=J”，PO=AOtanZPAO=—a.tanZPMO=--=V3,

22MO

ZPMO=60°.

（2）連OEQEHPD,NOE4為異面直線P￡）與AE所成的角.

因為AO_L3Z),AO，PO,BDC\PO^O,所以AO,平面PBD.

。￡(=平面尸8￡>,所以AO_LOE.

OE=-PD=-yjPO2+DO2=—a,

224

..AO_2y[lQ

,*tan/—AEO=----=------。

EO5

(3)延長MO交8C于N,取PN中點G，連EG、MG.

因為BCLMN,BC±PN,MNcPN=N,

故BC_L平面PMV,因BCu平面PBC,

故平面PMN_L平面P8C,

又PM=PN,4PMN=60°，故\PMN為等邊三角形，

所以MG_LPN,由MGu平面MGLPN,故8C_LMG

因為BCCPN=N,所以MG,平面PBC.

取AM的中點/，EG/IMF,：.MF=LMA=EG,

2

J.四邊形EGMF為平行四邊形，所以MG//EF

:.EF上平面PBC.即F為四等分點

【點睛】

本題考查考查空間中的垂直關系以及空間角的計算，解題時注意三種垂直關系的轉化，空間角的計算需構造空

間角，把空間角放置在可解的三角形中來討論，本題為難題.

高一暑假綜合復習題（二）

--選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知加，〃是實數，?,?是向量，則下列命題中正確的為（）

（T）m（a-b）=ma-mb；②（m-n）a=ma-na；③若ma=mb,貝a=；④若ma=na,貝m=

n.

A.①④B.①②C.①③D.③④

2.抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件

正品

3-若（x-i）i=y+2i,x,y€R,貝復數x+>i=（）

A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i

4.已知向量a=（l,2）,b=Q,-3）,若向量c滿足（c+a）//6cl（a+》），則c等于（）

7生7/7

--|

BC1一§

39D.\9

5.已知直線/,m,平面%B，下列命題正確的是（）

A.mill,IIIa=>mIIaB.III/3,mII￡,lUa,mUa=>aII。

C.IIIm,lUa,mU60ali0D.III°,mII°,lUa,mU。，lC\m=IIP

6.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某方面

的情況，計劃采用比例分配的分層隨機抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應在這三校分別抽

取學生（）

A.30人，30人，30AB.30人，45人，15人

c.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

&+

6caABAC1n.

7.已知非零向量A3與AC滿足'BC=0,且t.?=)，貝I△

\AB\\AC\"

ABCM)

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等

三角形D.等邊三角形

8.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為兀，則球的

面積為（）

8兀32兀8二兀

A.yB.D.3

9.如圖，等邊三角形A3C的邊長為1,8C邊上的高為A。，沿AO把△ABC折起來，則下

列結論不正確的是（）

A.在折起的過程中始終有A。！平面C

B.三棱錐A-OB'C的體積的最大值為浙

C.當/"。。=60。時，點4至42C的距離為呼

D.當NB'。。=90。時，點。到平面4。夕的距離為

10.甲、乙兩位同學各拿出6張游戲牌，用作擲骰子的獎品，兩人商定：骰子朝上的面的點數

為奇數時甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝得所有12張游戲牌，并結束游戲.比

賽開始后，甲積2分，乙積1分，這時因意外事件中斷游戲，以后他們不想再繼續這場游戲,

下面對這12張游戲牌的分配合理的是（）

A.甲得9張，乙得3張B.甲得6張，乙得6張

C.甲得8張，乙得4張D.甲得10張，乙得2張

11.已知正四棱柱ABC。-AiBGOi中，AB=2,CCi=2?E為的中點，則直線AG與

平面的距離為（）

A.1B.仍C.\[2D.2

12.若平面向量￡、二"兩兩的夾角相等,且同=1,忖=1,口=4,則悔+辦一書（）

A.0B.6C.0或新D.0或6

二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)

13.同學甲參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規則規定：答對第一、二、三個問

題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三個問

題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學甲得分不低于300分

的概率是一.

14.已知向量。=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若aIIb,(a+b)l.(b-c),M(x,y),

N(y,x),則向量疝V的模為一.

15.若復數z滿足為虛數單位)，則z在復平面內所對應的圖形的面積為

16.在某點8處測得建筑物AE的頂端A的仰角為仇沿8E方向前進30m至點。處測得頂

端A的仰角為2氏再繼續前進10小m至。點，測得頂端A的仰角為4仇則。等于—.

三.解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

設關于x的方程是'-(tan0+i)x-(2+i)=0,

(1)若方程有實數根，求銳角。和實數根；

(2)證明對任意OWE+界€Z),方程無純虛數根.

()12345678910射靶次數

18.(本小題滿分12分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別

為用b,c,且cos(A-8)cos8-sin(4-8)sin(A+C)=-不

⑴求sinA的值;

⑵若。=4蛆，b=5,求向量前在冊上的投影向量的長度.

19.(本小題滿分12分)

甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(單位：環)如下圖所示.

⑴填寫下表：

平均數方差中位數命中9環及以上

甲71.21

乙5.43

P

(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析:

①從平均數和方差結合分析偏離程度；

②從平均數和中位數結合分析誰的成績好些;

③從平均數和命中9環及以上的次數相結合看誰的成績好些；AH

④從折線圖上兩人射擊命中環數及走勢分析誰更有潛力.

20.(本小題滿分12分)

如圖，PD1平面ABC。，四邊形ABC。是矩形，PD=DC=2,BC=2y[2.

(1)求「8與平面ADC所成的角的大小;

(2)求異面直線PC,BO所成角正弦值.

21.(本小題滿分12分)

某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入

下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、

四輪的問題的概率分別為060.4,0.5,02已知各輪問題能否正確回答互

不影響.

(1)求該選手被淘汰的概率；

(2)求該選手在選拔中至少回答了2個問題后最終被淘汰的概率.

22.(本小題滿分12分)

如圖，在圓錐中，已知P。！底面。。，PO=?。。的直徑A8=2,。是AB的中

點，。為AC的中點.

(1)證明：平面P。。！平面出C；

⑵求二面角B-PA-C的余弦值.

高一暑假綜合復習題（二）

--選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知〃"〃是實數，明?是向量，則下列命題中正確的為（）

①-b）=ma-mb；②（加一〃）a=ma-na；③若ma=mb,貝a=；④若ma=na,貝

m=n.

A.①④B.①②

C.①③D.③④

答案B

解析①②顯然正確.③中當機=0時，對于任意兩向量a,b,〃m=〃力都成立，但不

一定有。=仇故③錯誤.④中當。=0時，不成立.故選B.

2.抽查10件產品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結果，故它的對立事件為含

有1或0件次品，即至多有1件次品.

3.若(x—i)i=y+2i,x,y€R,則復數x+>i=()

A.—2+iB.2+i

C.1-2iD.1+2i

答案B

解析(x—i)i=y+2i即xi+1=y+2i,

故y=l,x=2,所以復數x+yi=2+i.

4.已知向量a=(l,2),b=(2,-3),若向量c滿足(c+a)//A,c_L(a+)),則c等于()

答案D

解析設c=(x,y),貝ljc+a=(1+x,2+y),a+b=(3,-1),由已知可得

2(2+y)+3(x+1)=0,

.3x_y=0,

7

x=

9177、

解得7即c=9,-3>

y31

5.已知直線/,m,平面a,仇下列命題正確的是（）

A.mII/,/IIa=>mIIa

B.III￡,mII￡,lUa,mUa今aII（J

C./IIm,lUa,mUgaH0

D.Z///?,mIIfi,lUa,根Ua,lC\m=M^aII[i

答案D

解析A中，機可能在a內，也可能與a平行；B中，a與夕可能相交，也可能平行；C

中，a與夕可能相交，也可能平行；D中，平面a內的兩條相交直線/，機分別與平面廠平行,

依據面面平行的判定定理可知a//夕.故選D.

6.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某

方面的情況，計劃采用比例分配的分層隨機抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應在這三校分

別抽取學生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

答案B

n0（）1

解析先求抽樣比耳=3600+5400+1800=而,再各層按抽樣比分別抽取，則甲校抽取

3600X擊=30（人），乙校抽取5400X卷=45（人），丙校抽取1800X卷=15（人），故選B.

&+\-BC=O,且丹?￥=；,則△48。為（）

7.已知非零向量油與流滿足

J油\AB\\AC\"

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形

D.等邊三角形

答案D

解析￥+空?就=0,二/A的平分線所在的向量與求垂直，所以△ABC為等腰

l|AB|\AC\)

_AC1.?.cosA=；,「./Aq故△ABC為等邊三角形.

二角形.又二-,二~=5,

\AB\\AC\"

8.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為兀，則球的表面積為()

答案C

解析設球的半徑為R,則截面圓的半徑為南二L...截面圓的面積為5=兀巾_1)2

=(/?2-1)71=71,；.R2=2,...球的表面積5=4兀/?2=8兀

9.如圖，等邊三角形ABC的邊長為1,邊上的高為AD,沿A。把AABC折起來,

則下列結論不正確的是()

ir

A.在折起的過程中始終有AD1平面C

B.三棱錐A-DB'C的體積的最大值為赤

C.當/"。。=60。時，點4至1）2C的距離為享

D.當NB'。。=90。時，點。至4平面4。夕的距離為1g

答案D

解析因為A。！。。，ADVDB',且。CCDB'=D,所以A。！平面OB'C,故A正

確；當DB'10C時，△。夕C的面積最大，此時三棱錐A-D8'C的體積也最大，最大值

為之又坐淺,故B正確；當/"OC=60。時，△￡）夕C是等邊三角形，設"C

的中點為E,連接AE,。瓦則AE18'C,即AE為點A到夕。的距離,AE=+

=乎，故C正確；當NB'。。=90。時，CD1DB',CD1AD,故。。1平面,則

C。就是點C到平面AO"的距離，CD=1,故D不正確.

10.甲、乙兩位同學各拿出6張游戲牌，用作擲骰子的獎品，兩人商定：骰子朝上的面的

點數為奇數時甲得1分，否則乙得1分,先積得3分者獲勝得所有12張游戲牌，并結束游戲.比

賽開始后，甲積2分，乙積1分，這時因意外事件中斷游戲，以后他們不想再繼續這場游戲,

下面對這12張游戲牌的分配合理的是（）

A.甲得9張，乙得3張B.甲得6張，乙得6張

C.甲得8張，乙得4張D.甲得10張，乙得2張

答案A

解析由題意，得骰子朝上的面的點數為奇數的概率為:，即甲、乙每局得分的概率相等,

所以繼續游戲甲獲勝的概率是:+3x；=],乙獲勝的概率是:=：?所以甲得到的游戲牌為

31

12X^=9（張）,乙得到的游戲牌為12X4=3（張）,故選A

11.已知正四棱柱ABC。-中，AB=2,CCi=2巾,E為C。的中點，則直線AG

與平面8即的距離為（）

A.1B.小

C.yf2D.2

答案A

解析如圖，連接AC交BD于點。.在△CGA中，易證OEIIAG.又OEU平面BDE,

AOQ平面BDE,：.AC\II平面BOE,直線ACi與平面BED的距離為點A到平面BED的距

離.連接AE.在三棱錐E—中，VEJBD=；SyBoXEC=；xTx2X2x6=￥.在三棱錐

A-BOE中，BD=2?BE=y[6,DE=46,J.S^EBD=2/義（祈>-（啦>=2啦.設點A

到平面8即的距離為4,則以一BDE=1^EBDX%=gx26X%=￥〃=￥，解得/?=1,故選

A.

12.若平面向量入入"兩兩的夾角相等,且同=1,忖=1,『|=4,貝IJ悔+26-4=()

A.0B.6C.0或#D.0或6

【答案】D

【解析】

分兩種情況討論：(1)三個向量￡、B、2的夾角均為0'；(2)三個向量￡、5、"的夾角均

為120。.利用平面向量數量積的運算性質可求得結果.分以下兩種情況討論：

(1)三個向量外B、"的夾角均為0。，則慳+2石一相2問+2忖第=0；

(2)三個向量￡、b、2的夾角均為120。，則a-c=>c=lx4x1_g)=_2,a石=/=-g,

以,12a+2b—c|-=4a~+4/>"+c"+8a-b—4a-c—Ab,c=4+4+16—4+8x2=36,

.1.|2a+2^-c|=6.

綜上所述，|2￡+2B_q=0或6.

故選：D.

二.填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)

13.同學甲參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規則規定：答對第一、二、三

個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三

個問題的概率分別為080.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學甲得分不低于

300分的概率是—.

答案0.46

解析設“同學甲答對第i個題”為事件A(i=1,2,3),則P(4)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)

=0.5,且4,A2,4相互獨立，同學甲得分不低于300分對應于事件(AIA2A3)U(AMM3)U

(ZIA2A3)發生，故所求概率為P=P[(A1A2A3)U(A12A3)U(?A2A3)]

=PG41AM3)+P(AiA2A