10.2解二元一次方程組【10個必考點】【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【知識點1代入消元法解二元一次方程組】 1【必考點1代入消元法解方程組的步驟判斷】 2【必考點2用代入消元法解二元一次方程組】 4【知識點2加減消元法解二元一次方程組】 7【必考點3加減消元法解方程組的步驟判斷】 7【必考點4用加減消元法解二元一次方程組】 9【必考點5用合適的方法解二元一次方程組】 11【必考點6用換元法解二元一次方程組】 15【必考點7用整體代入法解二元一次方程組】 18【必考點8解含參的二元一次方程組（解相同）】 21【必考點9解含參的二元一次方程組（解出錯）】 23【必考點10解含參的二元一次方程組（解滿足條件）】 26【知識點1代入消元法解二元一次方程組】用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.【易錯點剖析】①用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；②變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；③要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.【必考點1代入消元法解方程組的步驟判斷】【例1】用代入法解方程組2x+3y=8①3x?5y=5②（1）由①得x=8?3y2（2）把③代入②得3×8?3y2?（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【分析】出錯一步為（3），理由去分母時兩邊都乘以2，寫出正確的解法即可．【解答】解：其中錯誤的一步為（3），正確解法為：去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，移項合并得：﹣19y＝﹣14，解得：y=14故選：C．【變式1】解方程組3m?4n=7①9m?10n+25=0②A．由①得m=7+4n3，再代入B．由②得m=10n?259，再代入C．由①得3m＝4n+7，再代入② D．由②得9m＝10n﹣25，再代入①【分析】觀察兩方程中m系數關系，即可得到最好的解法．【解答】解：解方程組3m?4n=7①9m?10n+25=0②的最好方法是由①得3m＝4n+7，再代入②故選：C．【變式2】用代入法解方程組s+t=1①3s?5t=8②A．由②得t=3s?85，再代入B．由②得s=8+5t3，再代入C．由①得s＝1﹣t，再代入② D．由①得t＝s﹣1，再代入②【分析】利用代入消元法判斷即可．【解答】解：由②得：t=3s?85，再代入①或由②得：s=5t+8由①得：t＝1﹣s，再代入②或由①得：s＝1﹣t，再代入②．故A，B，C正確，D錯誤．故選：D．【變式3】用代入法解方程組2x+3y?2=0，①4x+1=9y，②A．先將①變形為x=3y?22，再代入B．先將①變形為y=2?2x3，再代入C．先將②變形為x=94y?1D．先將②變形為y＝9（4x﹣1），再代入①【分析】利用等式的基本性質：移項（要變號），系數化1，即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．【解答】解：A、先將①變形為x=2?3y2，再代入B、先將①變形為y=2?2x3，再代入C、先將②變形為x=9y?14，再代入D、先將②變形為y=4x+19，再代入故選：B．【必考點2用代入消元法解二元一次方程組】【例1】用代入消元法解下列方程組：（1）3x+2y=75y?x=9（2）x+3y=105x?4y=12【分析】（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組利用代入消元法求出解即可．【解答】解：（1）3x+2y=7①5y?x=9②由②得，x＝5y﹣9③，把③代入①得：3（5y﹣9）+2y＝7，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝5×2﹣9＝1，則方程組的解為x=1y=2（2）x+3y=10①5x?4y=12②由①得：x＝10﹣3y③，把③代入②得：5（10﹣3y）﹣4y＝12，整理得：﹣19y＝﹣38，解得：y＝2，把y＝2代入③得：x＝10﹣3×2＝4，則方程組的解為x=4y=2【變式1】用代入法解下列方程組：（1）2x+3y=?19①x+5y=1②（2）2x?3y=1①y+1【分析】（1）由②得出x＝1﹣5y③，把③代入①得出2（1﹣5y）+3y＝﹣19，求出x，再把y＝3代入③求出x即可；（2）由①得出x＝3+2y③，把③代入②得出3（3+2y）﹣8y＝13，求出y，再把y＝﹣2代入③求出x即可．【解答】解：（1）2x+3y=?19①x+5y=1②由②，得x＝1﹣5y③，把③代入①，得2（1﹣5y）+3y＝﹣19，解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝﹣14，所以方程組的解是x=?14y=3（2）2x?3y=1①y+1②×12得，3y+3＝4x+8③，由①得，3y＝2x﹣1④，把④代入③得，2x﹣1+3＝4x+8，解得，x＝﹣3，∴y=?7所以方程組的解是x=?3y=【變式2】用代入法解下列方程組：（1）2x+4y=5①x=1?y②（2）3m=5n①2m?3n=1②【分析】（1）應用代入消元法，求出方程組的解是多少即可．（2）應用代入消元法，求出方程組的解是多少即可．【解答】解：（1）②代入①，可得：2（1﹣y）+4y＝5，解得y=3把y=32代入②，解得x∴原方程組的解是x=?1（2）由①，可得n＝0.6m，把n＝0.6m代入②，可得：2m﹣3×0.6m＝1，解得m＝5，把m＝5代入①，解得n＝3，∴原方程組的解是m=5n=3【變式3】用代入消元法解二元一次方程組：（1）4x+y=153x?2y=3（2）x?y【分析】（1）利用代入消元法解方程組即可；（2）將原方程整理后利用代入消元法解方程組即可．【解答】解：（1）4x+y=15①3x?2y=3②由①得y＝15﹣4x③，將③代入②得3x﹣2（15﹣4x）＝3，整理得：11x﹣30＝3，解得：x＝3，將x＝3代入③得y＝15﹣12＝3，故原方程組的解為x=3y=3（2）原方程整理得3x?y=3①2x+3y=13②由①得y＝3x﹣3③，將③代入②得2x+3（3x﹣3）＝13，整理得：11x＝22，解得：x＝2，將x＝2代入③得y＝6﹣3＝3，故原方程組的解為x=2y=3【知識點2加減消元法解二元一次方程組】用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.【易錯點剖析】當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.【必考點3加減消元法解方程組的步驟判斷】【例1】小麗在用“加減消元法”解二元一次方程組5x?2y=4①2x+3y=9②時，利用①×a+②×b消去x，則a、bA．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5【分析】利用加減消元法判斷即可．【解答】解：小麗在用“加減消元法”解二元一次方程組5x?2y=4①2x+3y=9②利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17，則a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5，故選：D．【變式1】利用加減消元法解方程組2x+3y=?10①3x?5y=?6②A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×5+②×2 C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×2【分析】觀察方程組中x與y的系數特點，利用加減消元法判斷即可．【解答】解：要消去y可以將①×5+②×3，故選項A不合題意，C合題意；要消去x，可以將①×3﹣②×2，故選項B、D不合題意．故選：C．【變式2】用加減消元法解方程組2x+5y=?10①，5x?3y=2②時，有如下四種解法，甲：①×3﹣②×5，①×（﹣5）+②×2，丙：①×3+②×5，丁：①×5﹣②A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁【分析】根據加減消元法進行計算即可求解．【解答】解：2x+5y=?10①5x?3y=2②甲：①×3﹣②×5，得6x+15y﹣25x+15y＝﹣30﹣10不能消元，符合題意；乙：①×（﹣5）+②×2，得﹣10x﹣25y+10x﹣6y＝﹣50+4能消去x，不合題意；丙：①×3+②×5，得6x+15y+25x﹣15y＝﹣30+10，能消去y，不合題意；丁：①×5﹣②×2：得10x+25y﹣10x+6y＝﹣50﹣4，能消去x，不合題意．故選：A．【變式3】利用加減消元法解方程組3x+4y=16①5x?6y=33②，嘉嘉說：要消去x，可以將①×5﹣②×3；琪琪說：要消去y，可以將①×3+②A．嘉嘉對，琪琪不對 B．嘉嘉不對，琪琪對 C．嘉嘉和琪琪都不對 D．嘉嘉和琪琪都對【分析】利用加減消元法判斷即可．【解答】解：利用加減消元法解方程組3x+4y=16①5x?6y=33②，要消去x，可以將①×5﹣②×3；要消去y，可以將①×3+②則嘉嘉和琪琪都對．故選：D．【變式4】已知二元一次方程組：①x=y3x?2y=1；②5x?2y=?13x+2y=0；③5x?3y=2y=6+2x；A．①②用代入法，③④用加減法 B．①③用代入法，②④用加減法 C．②③用代入法，①④用加減法 D．②④用代入法，①③用加減法【分析】根據①中x、y的關系為x＝y，③中x、y的關系為y＝6+2x，①③用代入法，②④用加減法．【解答】解：已知二元一次方程組：①x=y3x?2y=1；②5x?2y=?13x+2y=0；③5x?3y=2y=6+2x；④2x+y=?22x?6y=1，解以上方程組比較適合選擇的方法是：故選：B．【必考點4用加減消元法解二元一次方程組】【例1】用加減消元法解二元一次方程組：（1）5x+2y=253x+4y=15（2）2x+3y=1y?1【分析】（1）先利用加減消元法求出x的值，再利用代入消元法求出y的值即可；（2）先將方程組中的方程化為不含分母的方程，再利用加減消元法求解即可．【解答】解：（1）5x+2y=25①3x+4y=15②①×2﹣②得，7x＝35，解得x＝5，把x＝5代入①得，25+2y＝25解得y＝0，∴方程組的解為x=5y=0（2）2x+3y=1y?1方程化為2x+3y=1①4x?3y=5②①+②得，6x＝6，解得x＝1，將x＝1代入①得，y=?1∴方程組的解為x=1y=?【變式1】用加減法解下列方程組：（1）x?2y=13x+2y=3（2）x2【分析】（1）利用加減消元法求出解即可．（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）x?2y=1①3x+2y=3②由①+②得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝1代入①得：1﹣2y＝1，解得：y＝0，∴方程組的解為x=1y=0（2）方程組整理得：3x?2y=?1①4x?y=8②②×2﹣①，得：5x＝12，解得：x=12把x=125代入②，得：解得y=8∴方程組的解為x=12【變式2】用加減消元法解方程：（1）4x+7y=?194x?5y=17（2）3(x?1)=y+55(y?1)=3(x+5)【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）4x+7y=?19①4x?5y=17②①﹣②得：12y＝﹣36，即y＝﹣3，把y＝﹣3代入①得：x=1則方程組的解為x=1（2）方程組整理得：3x?y=8①3x?5y=?20②①﹣②得：4y＝28，即y＝7，把y＝7代入①得：x＝5，則方程組的解為x=5y=7【變式3】用加減法解下列方程組（1）2x?y=57x?3y=20（2）x+y2【分析】（1）利用加減消元法①×3﹣②，求出x的值，再將x的值代入①求出y的值即可；（2）先去括號去分母整理方程組，再利用加減消元法①×8﹣②，求出x的值，再將x的值代入①求出y的值即可．【解答】解：（1）2x?y=5①7x?3y=20②①×3﹣②得，﹣x＝﹣5，解得：x＝5，將x＝5代入①，得10﹣y＝5，解得：y＝5，故原方程組的解為x=5y=5（2）x+y2方程組整理得：5x+y=6①3x+8y=11②①×8﹣②得，37x＝37，解得：x＝1，將x＝1代入①，得5+y＝6，解得：y＝1，故原方程組的解為x=1y=1【必考點5用合適的方法解二元一次方程組】【例1】解方程組：（1）2x?y=55x+2y=8（2）x+y2【分析】（1）利用加減消元法即可解決；（2）先將原式化為整式后利用加減消元即可．【解答】解：（1）2x?y=5①5x+2y=8②①×2+②得：9x＝18，解得：x＝2，將x＝2代入①，得：4﹣y＝5，解得：y＝﹣1．故原方程組的解為：x=2y=?1（2）原方程組可化為：5x+y=36①?x+9y=2②②×5+①得：46y＝46，解得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝7．故原方程組的解為：x=7y=1【變式1】解下列方程組：（1）3y?2x=1x+2（2）6(x?y)?7(x+y)=212(x?y)?5(x+y)=?1【分析】（1）把原方程組進行整理為3y?2x=14x+3y=1（2）先把x﹣y，x+y看作整體，根據解二元一次方程組的方法：加減消元法求出x+y，x﹣y的值，然后再根據解二元一次方程組的方法：加減消元法求出x，y的值即可．【解答】解：（1）3y?2x=1x+2整理，得3y?2x=1①4x+3y=1②②﹣①，得6x＝0，解得：x＝0，把x＝0代入①，得3y﹣2×0＝1，解得：y=1∴原方程組的解為x=0y=（2）6(x?y)?7(x+y)=21①2(x?y)?5(x+y)=?1②②×3，得6（x﹣y）﹣15（x+y）＝﹣3③，①﹣③，得8（x+y）＝24，解得：x+y＝3④，把x+y＝3代入②，得2（x﹣y）﹣5×3＝﹣1，解得：x﹣y＝7⑤，由④⑤聯立方程組，得x+y=3⑥x?y=7⑦⑥+⑦，得2x＝10，解得：x＝5，把x＝5代入⑥，得5+y＝3，解得：y＝﹣2，∴方程組的解為x=5y=?2【變式2】解方程組：（1）x+1=6y2(x+1)?y=11（2）x+4y=28x?2【分析】（1）先化簡，后利用加減法消元法求解即可；（2）先把②去分母，然后利用加減法消元法求解即可．【解答】解：（1）x+1=6y2(x+1)?y=11化簡方程組，得：x?6y=?1①2x?y②由①×2﹣②得：﹣11y＝﹣11，解得：y＝1，把y＝1代入①，解得：x＝5∴方程組的解是x=5y=1（2）x+4y=28x?2化簡方程組，得：x+4y=28①3x?4y=?12②由①+②得：4x＝16，解得：x＝4，把x＝4代入①，解得：y＝6∴方程組的解是x=4y=6【變式3】解下列二元一次方程組：（1）x+2y=10?3x+5y=3（2）3(x?y)2【分析】（1）利用加減消元法求解即可；（2）原方程整理后，利用加減消元法求解即可．【解答】解：（1）x+2y=10①?3x+5y=3②①×3得：3x+6y＝30③③+②得：11y＝33，∴y＝3；將代入①得：x＝4；∴方程組的解是x=4y=3（2）方程組整理得：6x?5y=4①3x+y=?5②①+②×5得：21x＝﹣21，∴x＝﹣1，將代入②得：﹣3+y＝﹣5，∴y＝﹣2，∴方程組的解是x=?1y=?2【必考點6用換元法解二元一次方程組】【例1】如果關于x，y的二元一次方程組3x?ay=162x+by=15的解是x=7y=1，求下列關于x，3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15【分析】把x+y和x﹣y看成一個整體，利用換元法列出方程組3m?an=162m+bn=15【解答】解：設x+y＝m，x﹣y＝n，∴原方程組可化為：3m?an=162m+bn=15由已知條件可知此方程組的解為：m=7n=1∴x+y=7①x?y=1②①+②得：2x＝8，解得：x＝4，①﹣②得：2y＝6，解得：y＝3，∴原方程組的解為：x=4y=3【變式1】已知關于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2【分析】將方程組a1(x+3)+b1y?2b1=c【解答】解：由a1∴a1設x+3=my?2=n由a1(x+3)+b∵方程組a1x+b∴m=2n=1是方程組a∴x+3=2y?2=1解得：x=?1y=3【變式2】數學方法：解方程組：3(2x+y)?2(x?2y)=262(2x+y)+3(x?2y)=13，若設2x+y＝m，x﹣2y＝n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13，解方程組得m=8n=?1，所以2x+y=8（1）直接填空：已知關于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關于m、n的二元一次方程組a(m+n)+b(m?n)=6b(m+n)+a(m?n)=3的解為：（2）知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2（3）拓展應用：已知關于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2【分析】（1）設m+n＝x，m﹣n＝y，即可得m+n=?2m?n=4（2）設x+y2=m，x?y3（3）設2x5=m，3y5=n，則原方程組可化為a1m+b1n=【解答】解：（1）設m+n＝x，m﹣n＝y，則原方程組可化為ax+by=6bx+ay=3∵ax+by=6bx+ay=3的解為x=?2∴m+n=?2m?n=4解得m=1n=?3故答案為：m=1n=?3（2）設x+y2=m，x?y3解得m=4n=0即有x+y2解得x=4y=4即：方程組的解為x=4y=4（3）設2x5=m，3y5化簡，得a1∵關于x，y的二元一次方程組a1x+b∴m=4n=?3，即有2x解得：x=10y=?5故方程組的解為：x=10y=?5【變式3】在解方程組2x+3y3+4x?3y2=72x+3y4+4x?3y3=5時，某同學發現：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x﹣3y分別看作一個整體，通過換元：設m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以將原方程組化為m3+n2=7m4+n3=5，解得（1）若方程組3x+by=1ax+y=6的解為x=1y=1，則方程組3(x?2)+b(y+2)=1a(x?2)+(y+2)=6的解為（2）若方程組a1x+b1y=c1【分析】（1）設x﹣2＝m，y+2＝n，則方程組可化為3m+bn=1am+n=6（2）設13(x+1)=e，12【解答】解：（1）∵3x+by=1ax+y=6的解為x=1∴3m+bn=1am+n=6的解為m=1設x﹣2＝m，y+2＝n，則方程組可變為：3m+bn=1am+n=6∴x?2=1y+2=1解得：x=3y=?1故答案為：x=3y=?1（2）設13(x+1)=e，則原方程組可變為：a1∵a1x+b∴a1e+b即13解得：x=3k?1y=2k?2.【必考點7用整體代入法解二元一次方程組】【例1】閱讀材料：小強同學在解方程組x+y+3=104(x+y)?y=25時發現，可將第一個方程通過移項變形為x+y＝7，然后把第二個方程中的x+y（1）請按照小強的解法解出這個方程組；（2）用整體代入法解方程組2x+3y=?46x?5y=16【分析】（1）由①，得x+y＝7③，把③代入②即可求出y的值，把y＝3代入③即可求出x的值，從而得出方程組的解；（2）由②，得3（2x+3y）﹣14y＝16③，把①代入③即可求出y的值，把y＝3代入①即可求出x的值，從而得出方程組的解．【解答】解：（1）x+y+3=10①4(x+y)?y=25②由①，得x+y＝7③，把③代入②，得4×7﹣y＝25，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝4，所以方程組的解是x=4y=3（2）2x+3y=?4①6x?5y=16②由②，得6x+9y﹣14y＝16，即3（2x+3y）﹣14y＝16③，把①代入③，得3×（﹣4）﹣14y＝16，解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①，得x＝1，所以方程組的解是x=1y=?2【變式1】閱讀材料：善思考的小軍在解方程組2x+5y=3①4x+11y=5②解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為x=4y=?1請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組3x?2y=59x?4y=19【分析】方程組中第二個方程變形后，將第一個方程代入求出x的值，進而求出y的值，得到方程組的解．【解答】解：3x?2y=5①將方程②變形：3（3x﹣2y）+2y＝19．將方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2把y＝2代入①得x＝3∴方程組的解為x=3y=2【變式2】先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組：x+y?2=0①3(x+y)?y=4②由①，得x+y＝2．③把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．把y＝2代入③，得x＝0．∴原方程組的解為x=0y=2這種方法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請用這種方法解方程組：3x?2y?1=0①6x?4y+3【分析】將②中的分子前兩項提取公因式，將①變形后代入即可得到關于y的一元一次方程，從而求出原方程組的解即可．【解答】解：由①，得3x﹣2y＝1③，②可化為2(3x?2y)+36+y＝2將③代入④，得56+y＝2，解得y將y=76代入③，得3x?73∴原方程組的解為x=10【變式3】數學活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題：已知關于x，y的二元一次方程組3x+4①x+2y=2?3m②的解滿足2x+3y＝1③，求m小云：將①③聯立可得一個新的不含m的二元一次方程組．小輝：哈哈！直接①+②可以更簡便地求出m的值．（1）按照小云的方法，求出x，y的值；（2）老師說，小輝的方法體現了整體代入的思想，請按照小輝的思路求出m的值．【分析】（1）聯立①③，可得出關于x，y的二元一次方程組3x+4y①2x+3y③，運用加減消元法，解之即可得出x，y（2）利用①+②，可得出4x+6y＝5﹣3m，結合2x+3y＝1，可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）聯立①③得：3x+4y①2x+3y③由①×2﹣③×3整理得﹣y＝3，解得y＝﹣3，將y＝﹣3代入③得：2x+3×（﹣3）＝1，解得：x＝5，∴原方程組的解為x=5y=?3（2）3x+4y①x+2y=2?3m②①+②得：4x+6y＝5﹣3m，則2x+3y=1∵2x+3y＝1，∴12則5﹣3m＝2，∴m＝1．【必考點8解含參的二元一次方程組（解相同）】【例1】已知方程組2x+5y=?6ax?by=?4的解和方程組bx+ay=?83x?5y=16的解相同，求（2a+b）【分析】聯立兩方程組中不含a與b的方程組成新的方程組，求出新方程組的解得到x與y的值，代入剩下的方程求出a與b的值，即可求出原式的值．【解答】解：聯立得：2x+5y=?63x?5y=16①+②得：5x＝10，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣2，2a+2b=?42b?2a=?8解得：a＝1，b＝﹣3，則原式＝（2﹣3）2024＝1．【變式1】若關于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與nx+(m?1)y=3（1）求這個相同的解；（2）求m，n的值．【分析】（1）根據題意得到方程組x+y=1x?y=3（2）將（1）中求得的解代入剩余的兩個方程中得到關于m，n的方程組，解方程組即可．【解答】解：（1）由題意，得x+y=1x?y=3解得：x=2y=?1（2）把x=2y=?1代入mx+2ny=4nx+(m?1)y=3得解得m=6n=4∴m＝6，n＝4．【變式2】已知關于x，y的方程組2x+3y=7mx+ny=5和方程組5x?2y=8（1）求m，n的值．（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．【分析】（1）把方程組中的兩個已知方程組合可得2x+3y=75x?2y=8，解方程組可得：x=2y=1，再代入另外兩個方程，求解m，（2）把m，n的值代入求出代數式的值即可．【解答】解：（1）根據題意得：2x+3y=7①①×2+②×3：19x＝38，∴x＝2，把x＝2代入①：y＝1，∴x=2把x=2y=1代入mx+ny=5nx3解得：m=1n=3（2）把m=1n=3代入3m﹣2mn+m2原式＝3﹣2×3+1﹣1＝3﹣6+1﹣1＝﹣3．【變式3】已知關于x，y的方程組mx+2ny=4，x+y=1與x?y=3，（1）求這個相同的解；（2）求m，n的值；（3）小明同學說：“無論a取何值，（1）中的解都是關于x，y的方程（3+a）x+（2a+1）y＝5的解．”這句話對嗎？請你說明理由．【分析】（1）聯立x+y=1x?y=3（2）把x=2y=?1代入另外兩個方程中得2m?2n=4（3）將x=2y=?1代入（3+a）x+（2a+1）y【解答】解：（1）聯立x+y=1x?y=3解得x=2y=?1（2）把x=2y=?1代入另外兩個方程中得2m?2n=4解得m=6n=4（3）對，理由如下：將x=2y=?1代入（3+a）x+（2a+1）y得到5＝5，∴小明的話是對的．【必考點9解含參的二元一次方程組（解出錯）】【例1】在解方程組ax+5y=154x?by=?2時，甲看錯了方程組中的a，得到的解為x=?3y=1，乙看錯了方程組中的b，得到的解是（1）求原方程組中a、b的值各是多少？（2）求出原方程組中的正確解．【分析】（1）甲由于看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，那么他的解對②還是正確的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看錯了②中的b得到方程組的解為x=5y=4，那么他的解對①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、（2）兩方程組成一個方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：（1）將x=?3y=1代入②得b將x=5y=4代入①得a（2）原方程組為?x+5y=15①4x+10y=?2②①×2﹣②得：﹣6x＝32，解得：x=?16①×4+②得：30y＝58，解得：y=29即原方程組的解為：x=?16【變式1】甲、乙兩同學同時解關于x、y的方程組mx+y=32x?ny=9，甲看錯了m，解出的結果是x=152y=?3；乙看錯了n，解出的結果是x=4y=?5【分析】把x=152，y＝﹣3代入2x﹣ny＝9得出15+3n＝9，求出n＝﹣2，把x＝4，y＝﹣5代入mx+y＝3得出4m﹣5＝3，求出m＝2，得出方程組為【解答】解：把x=152，y＝﹣3代入2x﹣ny＝9得：15+3解得：n＝﹣2，把x＝4，y＝﹣5代入mx+y＝3得：4m﹣5＝3，解得：m＝2，則原方程組為2x+y=3①2x+2y=9②①﹣②得：y＝6，把y＝6代入①得：2x+6＝3，解得：x=?3∴方程組的解為：x=?3【變式2】小鑫、小童兩人同時解方程組12ax?by=1①ax?y=17②時，小鑫看錯了方程②中的a，解得x=4y=1，小童看錯了①中的（1）求正確的a，b的值；（2）求原方程組的正確解．【分析】（1）把小鑫的結果代入第一個方程，小童的結果代入第二個方程，求出正確a與b的值即可；（2）把a與b的值代入方程組，求出正確解即可．【解答】解：（1）根據題意，可得12整理得：2a?b=15a+7=17解得：a=2b=3（2）將a，b代入原方程組，得x?3y=1①2x?y=17②由②可得y＝2x﹣17③，將③代入①，可得x﹣3（2x﹣17）＝1，解得：x＝10，把x＝10代入③，解得：y＝3．故原方程組的正確解是x=10y=3【變式3】已知關于x，y的二元一次方程組ax?4y=105x+by=42，甲由于看錯了方程組中的a，得到的方程組的解為x=12y=?3，乙由于看錯了b，得到方程組的解為（1）求a，b的值；（2）若方程組ax?4y=105x+by=42的解與方程組2mx+ny=6mx+2ny=?6的解相同，求2m﹣【分析】（1）根據甲、乙看錯的數，確定方程組的解是原方程組的哪一個方程的解，進而求出a、b的值即可；（2）根據a、b的值求出原方程組的解，再代入方程組2mx+ny=6mx+2ny=?6【解答】解：（1）由于甲看錯了關于x，y的二元一次方程組ax?4y=105x+by=42中的a，得到的方程組的解為x=12∴x=12y=?3滿足方程5x+by＝42，即5×12﹣3b解得b＝6，由于乙看錯了關于x，y的二元一次方程組ax?4y=105x+by=42中的吧，得到的方程組的解為x=2∴x=2y=?1滿足方程ax﹣4y＝10，即2a解得a＝3，答：a＝3；b＝6；（2）當a＝3，b＝6時，原方程可變為3x?4y=105x+6y=42解得x=6y=2把x=6y=2代入方程組2mx+ny=6mx+2ny=?6得，解得m=1n=?3∴2m﹣n＝2+3＝5．【必考點10解含參的二元一次方程組（解滿足條件）】【例1】已知關于x，y的方程組x+3y=2k+4x?2y=k（1）若方程組的解互為相反數，求k的值；（2）若方程組的解滿足方程3x+y＝