圓錐曲線橢圓知識點一：橢圓的定義知識點一：橢圓的定義平面內與兩個定點的距離之和等于常數（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統一方程參數方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數2，即（）題型一、橢圓的定義【典例11】已知F1、F2是定點，|F1F2|＝6．若動點M滿足|MF1|+|MF2|＝6，則動點M的軌跡是（）A．直線 B．線段 C．圓 D．橢圓【典例12】如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線【典例13】已知橢圓C上任意一點都滿足關系式，則橢圓C的標準方程為.【典例14】已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【變式11】方程表示的曲線是，其標準方程是.題型二、橢圓標準方程【典例21】已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．【典例22】已知橢圓的焦點在坐標軸上，且經過和兩點，則橢圓的標準方程為.【典例23】過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是．【變式21】過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為．【變式22】已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標準方程為．題型三、橢圓方程的充要條件表示橢圓的充要條件為：表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.【典例31】方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【典例32】已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓B．當曲線表示雙曲線時，的取值范圍是C．當時，曲線表示一條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線【變式31】對于方程表示的曲線，下列說法正確的是（

）A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線 B．若為負角，則曲線為雙曲線C．若為正角，則曲線為橢圓 D．若為橢圓，則其焦點在軸上知識點2:橢圓的性質知識點2:橢圓的性質范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱焦點、、焦距離心率焦點三角形面積焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③題型一、焦點三角形【典例11】該橢圓的左右焦點為，點是上一點，滿足，則的面積為．【典例12】已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【典例13】（多選題）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，P是C上一點，則（

）A． B．的最大值為8C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【變式11】（多選題）已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（

）A．存在點，使B．C．的最小值為D．周長的最大值為8【變式12】已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．題型二：橢圓上兩點距離的最值問題【典例42】已知是橢圓的上頂點，點是橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【典例42】如果點P是橢圓上一個動點，是橢圓的左焦點，那么的最大值是，最小值是．【典例43】已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是．題型三：橢圓上兩點距離的最值問題【典例31】已知點在橢圓上，點，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5【典例32】已知橢圓的右焦點為，點，點是上的動點，則的最小值為（

）A．5 B． C．10 D．【典例33】設實數x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【典例34】若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式31】已知橢圓外一點A(5，6)，l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例32】已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）知識點三：直線與橢圓的位置關系位置關系將直線方程與橢圓方程聯立，消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，則（1）直線與知識點三：直線與橢圓的位置關系位置關系將直線方程與橢圓方程聯立，消去(或)，得到關于(或)的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交?；（2）直線與橢圓相切?；（3）直線與橢圓相離?.弦長公式設直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關于的一元二次方程的的系數，是判別式）點差法是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，運用點差法求的斜率；設，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故 題型一：直線與橢圓的位置關系【典例11】直線與曲線的公共點的個數是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【典例12】直線與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍（

）A． B． C． D．【典例13】已知離心率為的橢圓的右焦點為，點為橢圓上第一象限內的一點，滿足垂直于軸，且.(1)求橢圓的方程；(2)直線的斜率存在，交橢圓于兩點，三點不共線，且直線和直線關于直線對稱，證明：直線過定點.題型二：橢圓的弦長問題【典例21】已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線對稱，求．【典例22】已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.【變式21】已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標準方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F兩點，且的面積為，求t的值.題型三：點差法的應用【典例31】若橢圓的弦恰好被點平分，則的直線方程為.【典例22】已知為橢圓內一點，經過作一條弦，使此弦被點平分，則此弦所在的直線方程為.【典例23】已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；(3)求過點且被平