8情境新穎的立體幾何選填題??一、答題概要1．模型構造?：根據題意構造柱、錐、球等幾何模型，梳理線面關系（如利用圓錐旋轉軸特性）．?2．方法選擇?：動態問題優先向量法（建系），復雜模型可用綜合法或補形法（如補長方體簡化計算）．?3．三視圖與球體問題?：快速還原直觀圖，結合對稱性分析；球體接切問題用等體積轉化或截面性質?．?4．幾何法與向量法結合?：涉及角度或距離時，幾何法可避免復雜建系（如等體積法求高）．?注意?：選填題常隱含特殊幾何關系（如正投影對稱性、極限位置），需結合動態分析排除干擾?．二、典例解析例1（2022北京）已知正三棱錐P－ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內部的點構成的集合．設集合T={Q∈S∣PQ≤5}，則T表示的區域的面積為（）A．B．C．2D．3解：求出以P為球心，5為半徑的球與底面△ABC的截面圓的半徑后可求區域的面積．設頂點P在底面上的投影為O，連接BO，則O為△ABC的中心，且OB=，故OP=．因為PQ=5，故OQ=1，故S的軌跡為以O為圓心，1為半徑的圓，而三角形ABC內切圓的圓心為O，半徑為＞1，故S的軌跡圓在三角形ABC內部，故其面積為，故選B．例2（2022浙江）如圖，已知正三棱柱ABC－ABC1，AC=AA1，E，F分別是棱BC，A1C1上的點．記EF與AA1所成的角為，EF與平面ABC所成的角為，二面角F－BC－A的平面角為，則（）A．≤≤B．≤≤C．≤≤D．≤≤解：如圖所示，過點F作FP⊥AC于P，過P作PM⊥BC于M，連接PE，則=∠EFP，=∠FEP，=∠EMP，≤1，≥1，≥，所以≤≤，選A．例3已知平面⊥平面，∩=l．點A∈，但Al，直線AB∥l，AC⊥l，直線m∥，m∥，則下列六種位置關系中，一定正確的有（）．①AB②AB∥m③AB∥ ④m∥l⑤AC⊥m ⑥AC⊥A．3個B．4個C．5個D．6個解：閱讀題意，作出示意圖，根據線線、線面、面面平行與垂直的判定或性質，容易判斷①、②、③、④、⑤種位置關系都是正確的．對于⑥，雖然AC⊥l，但AC不一定在平面內，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直（AC⊥lAC與l可以是相交垂直，也可以是異面垂直），選C．例4某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段．在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（）．A．2 B．2 C．4 D．2cknmab解：將問題特殊化．考查cknmab如圖，設長方體的長、寬、高分別為m，n，k，由題意得：m2+n2+k2=7，m2+k2=6，所以n=1．而1+k2=a2，1+m2=b2，所以a2+b2=8．因此（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16，a+b≤4，選C．得a+b≤4，當且僅當a=b=2時取等號．例5把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，所構成三棱錐C－ABD的主視圖與俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積為（）CBCBAD11主視圖CABD俯視圖11A．B．C．D．解：在直觀圖中，過C作CE⊥BD交BD于E，連接AE．因為ABCD是正方形，所以E是BD的中點，進而AE⊥BD．注意到平面ABD⊥平面CBD，因此CE⊥AE，根據題意中所示的主視圖與俯視圖，說明等腰直角△ACE就是三棱錐C－ABD的左視圖，其面積為，選D．例6設三棱錐V－ABC的底面是正三角形，側棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點）．記直線PB與直線AC所成角為，直線PB與平面ABC所成角為，二面角P－AC－B的平面角為，則（）A．＜，＜ B．＜，＜ C．＜，＜ D．＜，＜分析：本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成角、直線和平面所成角和二倍角的概念和計算，解答的方法是通過明確各種角，應用三角函數知識求解，而后比較大小，充分運用圖形，可事半功倍．解：設G為AC的中點，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，過P作PF∥AC于F，過D作DH∥AC，交BG于H，則=∠BPF，=∠PBD，=∠PED，因此，可得＜．又，可得＜，選B．說明：本題考查空間三種角的求法，常規解法下易出現的錯誤的有：不能正確作出各種角，未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡單解法．OFEACBDGOFEACBD例7如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，OFEACBDGOFEACBD解：由題意，連接OD，交BC于點G，由題意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的長度與BC的長度成正比．設OG=x（也可以設正三角形的邊長為a），則x∈（0，2.5），BC=，DG=5－x，三棱錐的高h=，△ABC的面積S=，所以V=，x∈（0，2.5）．令f（x）=5x4－2x5，x∈（0，2.5），f′（x）=20x3－10x4．令f′（x）≥0，即x4－2x3≤0，解得x≤2，則f（x）≤f（2）=80，∴V≤cm3，∴體積最大值為cm3．例8（2022全國）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A．B．C．D．解：設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r.設四邊形ABCD對角線夾角為，則SABCD=AC·BD·sin≤AC·BD≤·2r·2r=2r2，（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立），即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為2r2．又r2+h2=1，則VO－ABCD=·2r2·h=≤，當且僅當r2=2h2即時等號成立，選C．例9（2022新高考）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E－ACD，F－ABC，F－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（）A．V3=2V2B．V3=2V1C．V3=V1+V2D．2V3=3V1解：設AB=ED=2FB=2a，因為ED⊥平面ABCD，FB∥ED，則V1=ED·S△ACD=，V2=FB·S△ABC=．連接BD交AC于點M，連接EM，FM，易得BD⊥AC．又ED⊥平面ABCD，AC平面ABCD，則ED⊥AC．又ED∩BD=D，ED，BD平面BDEF，則AC⊥平面BDEF．又BM=DM=BD=，過F作FG⊥DE于G，易得四邊形BDGF為矩形，則FG=BD=，EG=a，EM=，FM=，EF=，于是EM2+FM2=EF2，則EM⊥FM，S△EFM=EM·FM=，AC=，則V3=VA－EFM+VC－EFM=AC·S△EFM=2a3，則2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故A、B錯誤；C、D正確．故選CD．例10下圖改編自李約瑟所著的《中國科學技術史》，用于說明元代數學家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算．圖中的AB，AC，BD，CD都是以O為圓心的圓弧，CMNK是為計算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．記=∠AOB，=∠AOC，=∠BOD，=∠COD，則（）A．sin=sincosB．cos=coscosC．D．解：由已知可得MN⊥面OAB，CK⊥面OAB，KN⊥面OBD，CM⊥面OBD，∴OB⊥面MNK，即OB⊥面MNKC．設MN=CK=m，CM=KN=n，OC=1，∴，，表明A正確；ABCDOMNKABCDOMNK，，表明C正確；，D正確．故選ACD．說明：試題思路、條文多、亂，特別需要頭腦清楚，垂直關系明朗，正、余弦函數定義準確．題目實際上不難，很多個地方都是垂直的，關鍵在于求出線面垂直之后，再得到線線垂直，剩下的就只是根據正余弦函數的定義去推演而已．法二：觀察題目條件，首先是CMNK是為計算所做的矩形，這就給了我們幾個有用的條件MN⊥NK，又因為題目說了MN⊥OB，所以很容易就得到了結論MN⊥平面OBA．同理可得到KN⊥平面OBD．有了這些垂直條件之后，我們可以得到△AOB、△AOC、△BOD、△COD都是直角三角形，對應的垂直條件分別是KN⊥OB、CK⊥OA、MN⊥OB、CM⊥OD，有了這些條件之后，我們就可以逐個計算選項了．過程同法一．三、自主演練1．有一鋼架結構，其底面是邊長2個單位的正八邊形，上面為邊長2個單位的正方形，側面有四個正方形及四個正三角形（如圖）．從此鋼架上方作正射影，可得如圖所示的圖形．則此鋼架的高度為個單位．ABCABCO解：如圖．設A為上底正方形的一個頂點，O為A在下底的投影點，B﹑C為下底面上的兩個頂點；AO=a，BO=b，CO=c，則a2+b2=AB2=4，b2+c2=BC2=4，c2+a2=CA2=4，故a=．2．如圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形ABCD，其中B，D分別為棱的中點，且EA:AF=1:2．則cos∠DAB=．解：將圖形坐標化放在直角空間坐標系中，有A（1，0，），B（1，1，），D（0，0，），則=（0，1，），=（－1，0，），所以cos∠DAB=．3．下圖為一單位正立方體ABCDEFGH（即棱長1），則四面體ACFH的表面積為，體積為．解：如圖，四面體ACHF之四面均為邊長是的正三角形，所以表面積為4××2=2．于是，邊長為的正四面體ACHF中，CN=CM=，AN=，故正四面體ACHF體積為．解二：建空間坐標系，G（0，0，0），H（1，0，0），F（0，1，0），C（0，0，1），則A之坐標為（1，1，1），且過H、C、F三點的平面方程式為x+y+z=1．由點到平面距離知四面體的高d（A，平面）=，所以正四面體ACHF體積為．解三：切割正立方體．可看出正立方體除了正四面體ACHF之外，尚有四個全等的三角錐ACDH，ACBF，AHEF，CHGF，每個三角錐體積為，故正四面體ACHF體積為．4．如圖，ABCD－EFGH為一平行六面體，J為四邊形BCGF的中心，如果AJ=aAB+bAD+cAE，試問下列哪些選項是正確的？A．＜b＜B．a+b+c=2C．a=1D．a=2cE．a=b解：因J為四邊形BCGF的中心，所以自J作BC的垂線，垂足M必是BC的中點．連接AJ及AM，由向量的加法原理知AJ=AM+MJ=AB+BM+MJ=AB+AD+AE，所以a=1，b=，c=，故選A、B、C、D．5．在空間中，一平面與一正立方體相截，若在平面的兩側各有正立方體的4個頂點，則其截面的形狀可能是下列哪種圖形？A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形解：B、D，截面的形狀可能是四邊形或六邊形． 6．已知四面體D－ABC中，AC=BC=AD=BD=1，則D－ABC體積的最大值為（

）A．B．C．D．解：設M為CD的中點，連接AM，BM，設四面體A－BCD的高為h，則h≤AM．由于AC=BC=AD=BD=1，故△ACD≌△BCD，則∠ACD=∠BCD，設∠ACD=∠BCD=，∈（0，），則AM=BM=BCsin=sin，CD=2CM=2cos，所以VD－ABC=VA－BCD=S△BCD·h≤CD·BM·AM=cossin2，當且僅當平面ACD與平面BCD垂直且時取等號，選C．7．我國古代數學名著《九章算術》對立體幾何有著深入的研究，從其中的一些數學用語可見，譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指的是四個面都是直角三角形的三棱錐．現有一如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，則“陽馬”B－A1ACC1的體積最大為（

）A．B．2 C．D．4解：由題意知BC⊥平面A1ACC1，設BC=x，則有，VB－A1ACC1=BC·SA1ACC1=，0＜x＜2．考慮V2=是關于x2開口向下的二次函數，當x2=2時取得最大值，最大值為，∴VB－A1ACC1的最大值為，選C．8．在直角△ABC中，角C為直角，AB=10，AC=8，點E，F分別在邊AB，BC上移動，且EF=BE，沿EF將△BEF折起來得到四棱錐B－AEFC，則該棱錐的體積的最大值是（

）A． B． C． D．解：由題意的CB=6，對EF的任何位置，當面BEF⊥面AEFC，即面EFB′⊥面AEFC時，點B到底面AEFC的距離最大．如圖，過B作BD⊥EF于D，過E作EG⊥BF于G，則BD′⊥面AEFC．在△ABC中，，設EF=BE=2x；在△BEF中，，所以，，有，得，即，則，所以，令，解得正的，得當時，該棱錐的體積最大，為．故選B．9．如圖，△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=，D為BC的中點，將△ABC沿AD折疊成三棱錐A－BCD，則該棱錐體積最大值為（

）A．B．C．D．解：由已知可得BD=DC=AD=1，AD⊥BC，所以，在折疊成的三棱錐A－BCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，三棱錐A－BCD的體積為≤，當且僅當sin∠BDC=1時等號成立，所以該棱錐體積最大值為，選B．10．已知△ABC是邊長為4的正三角形，M，N分別為BA，BC邊上的一點（不含端點），現將△BMN折起，記二面角B－MN－A的平面角為，若，則四棱錐B－MNCA體積的最大值為（

）A． B．C．D．解：因為△ABC是邊長為4的正三角形，所以，過點B作BH⊥MN于點H，故△BMN的MN上的高為BH=h．設∠MBH=，則∠NBH=60－，故，，則S△BMN=BM·BN·sin60=，所以四邊形MNCA的面積為．又二面角B－MN－A的平面角，故四棱錐B－MNCA的高為，故，其中，因為，故，故，故，當且僅當時，等號成立，所以，其中，即，所以，當且僅當2h2=12－h2，即h=2時，等號成立．綜上，四棱錐B－MNCA體積的最大值為，選A．11．三棱錐A－BCD中，點A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，點D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，AD=1，則此三棱錐體積的最大值為（

）A．B．C．D．解：如圖，點D在平面ABC內的射影G是△ABC的重心，連接AG延長交BC于M，連接BG延長交AC于N，則M、N分別為BC和AC的中點．因為AH⊥平面BCD，BC在平面BCD內，所以AH⊥BC．又H為△BCD的垂心，則DH⊥BC，所以BC⊥平面DAH，BC⊥AD．因為DG⊥平面ABC，所以DG⊥BC，進而BC⊥平面DAG．由AG在平面DAG內，得BC⊥AG，所以BC⊥AM．因為M為BC的中點，所以AB=AC．得BD⊥AC，AC⊥平面DBG，所以AC⊥BN．結合N為AC的中點，所以△ABC為等邊三角形，設其邊長為x，則，又AD=1，所以，則，令，由得，則．令，令，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，得，所以，即此三棱錐的體積的最大值為，選C．12．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，M是線段A1E上的一點．下列說法正確的有（

）A．平面BCC1B1中一定存在直線與平面ACM平行B．直線DB1，可以與平面ACM垂直C．存在一點M使得，∠AMC為D．直線AD與平面ACM所成的角為，平面ADD1A1與平面ACM所成的銳二面角為，則≤解：對于A：∵平面BCC1B1與平面ACM相交，則根據線面判定定理可知：平面BCC1B1中與兩平面交線平行的直線與平面ACM平行，A正確．對于B：如圖1，連接BD，B1D1，則BD⊥AC．∵BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥AC，AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥B1D．同理，可證AD1⊥B1D，∴B1D⊥平面ACD1，B錯誤．對于C：因為．所以存在點M，使得，C正確．對于D：如圖2，連接A1C1，過M作PQ∥A1C1，與A1D1，C1D1交點的分別為P，Q，連接AP，CQ，可證PQ∥AC，則平面ACM∩平面AA1D1D=AP．設點D在平面ACN的投影為H，過H作HG⊥AP，垂足為G，連接AH，DG，則可得=∠DAH，=∠DGH．∵，，且AD＞DG，∴sin≤sin，即≤，D正確．故選ACD．13．如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB=BD，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C－ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角B．棱CD上總恰有一點N，使得MN∥平面ABCC．當三棱錐C﹣ABD的體積最大時，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C－AD－B的平面角解：對A，取BD中點E，連接CE，ME．如圖，因△BCD是正三角形，有CE⊥BD，而M是AD的中點，有ME∥AB，而AB⊥BD，則ME⊥BD，CE∩ME=E，CE，ME?平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM?平面CME，所以CM⊥BD，A不正確．對B，取CD的中點N，連MN，因M是AD的中點，則MN∥AC，AC?平面ABC，MN平面ABC，所以MN∥平面ABC，B正確．對C，因S△ABD=AB·DB=2，要三棱錐C－ABD的體積最大，當且僅當點C到平面ABD距離最大，由選項A知，點C到直線BD的距離CE=，∠CEM是二面角A－BD－C的平面角，當∠CEM=90°時，CE⊥平面ABD，即當C到平面ABD距離最大為CE=時，三棱錐C－ABD的體積最大，此時CE⊥ME，有CE⊥AB，而AB⊥BD，CE∩BD=E，CE，BD?平面BCD，則有AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AB⊥BC，C正確．對D，若∠CMB是二面角C－AD－B的平面角，則AD⊥CM．因為M為AD中點，故CA=CD，這不一定成立，故D錯誤．故選BC．14．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中對幾何學的研究比西方早一千多年，在該書中，將底面為