【專題8.7拋物線方程與性質】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：拋物線的定義與標準方程】知識講解知識講解拋物線的定義1.平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。其中定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。拋物線的標準方程1.焦點在軸正半軸上的拋物線標準方程為，其焦點坐標為，準線方程為。2.焦點在軸負半軸上的拋物線標準方程為，焦點坐標為，準線方程為。3.焦點在軸正半軸上的拋物線標準方程為，焦點坐標為，準線方程為。4.焦點在軸負半軸上的拋物線標準方程為，焦點坐標為，準線方程為。例題精選例題精選【例題1】（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.【例題2】（2022·全國乙卷·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B【例題3】（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.相似練習相似練習【相似題1】（2025·湖北·二模）已知點為拋物線的焦點，點在的準線上，點在上，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設，則，可得，則，進而，即可求得.【詳解】如圖，過作于，由拋物線的定義知，又，則，設，則，因為，則，所以.由于軸，所以，則，則，所以，則.故選：D.

【相似題2】（2025·湖北黃岡·模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，與軸平行的直線與和分別交于兩點，且，則（

）A． B． C．12 D．8【答案】D【分析】由拋物線定義結合得到為等邊三角形，進而得到，設準線l與軸交點為，求出，再由銳角三角函數求出，即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，由拋物線定義可知，因為，所以為等邊三角形，故，，所以，設準線l與軸交點為，則，故，所以.

故選：D【相似題3】（2023·全國乙卷·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.【相似題4】（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則點的橫坐標為；的面積為．【答案】5【分析】根據焦半徑公式可求的橫坐標，求出縱坐標后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5；.【相似題5】（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數量積處理垂直關系是本題關鍵.【解題思路】1.求拋物線方程： 若已知拋物線的焦點位置和一些相關條件，可直接設出對應的標準方程，然后根據條件求出的值，進而得到拋物線方程。 若焦點位置不確定，則需要分情況討論。2.利用拋物線定義解題： 當涉及到拋物線上的點到焦點和準線的距離問題時，優先考慮利用拋物線的定義進行轉化，將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，或者反之，從而簡化問題。3.與其他知識綜合： 拋物線常與直線、圓等知識綜合考查。在解決這類問題時，通常是聯立方程，然后利用韋達定理等知識來求解。例如，聯立拋物線方程與直線方程，消去一個變量，得到一個一元二次方程，通過判別式判斷直線與拋物線的位置關系，利用韋達定理求出交點坐標之間的關系等。【題型2：求拋物線的軌跡方程】知識講解知識講解求軌跡方程的常用方法 定義法：若動點的軌跡滿足拋物線的定義，可直接根據定義寫出其軌跡方程。 待定系數法：已知拋物線的類型（如開口方向、對稱軸等），設出相應的標準方程，再根據已知條件求出方程中的參數。 直接法：設動點坐標為，根據已知條件列出動點所滿足的幾何等式，然后將其坐標化，化簡得到軌跡方程。 相關點法（代入法）：若動點依賴于另一個在已知曲線上的動點，可先找出$x,y$與的關系，再將代入已知曲線方程，從而得到動點的軌跡方程。例題精選例題精選【例題1】（2024·湖南衡陽·三模）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.【詳解】由題意知，點到點的距離和它到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以的方程為，故C正確.故選：C.【例題2】（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點為動點，以線段為直徑的圓與軸相切．動點的軌跡的方程為.【答案】【分析】設，求得以線段為直徑的圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件可得所求軌跡方程．【詳解】設，可得以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，由以線段為直徑的圓與軸相切，可得，整理得．故答案為：．【例題3】（2025·廣東佛山·一模）已知的頂點在軸上，，，且邊的中點在軸上，設的軌跡為曲線．(1)求的方程；【詳解】（1）設，，因為是的中點且在軸上，根據中點坐標公式，若為，則，所以，即，已知，且，根據兩點間距離公式，，，因為，所以，兩邊平方可得，展開式子：，化簡得，所以曲線的方程為.相似練習相似練習【相似題1】（2024·黑龍江大慶·三模）已知平面內一動圓過點，且在軸上截得弦長為2，動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；【詳解】（1）設動圓圓心，當時，由已知得，即；當時，點的軌跡為點，滿足.綜上可知，點的軌跡方程為.【相似題2】（2024·四川·模擬預測）已知與圓P：內切，且與直線：相切的動圓Q的圓心軌跡為曲線C，直線l與曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，延長AO，BO分別與直線：相交于點M，N．(1)求曲線C的方程；【詳解】（1）依題意，動圓在圓外，設動圓的半徑為，且，由圓與圓內切，得，由圓與直線相切，因此點到的距離等于點到直線的距離，即曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.【相似題3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知動點到點的距離與到直線的距離相等，記動點的軌跡為．(1)過點且斜率為的直線與交于兩點，求的值；【詳解】（1）因為動點到點的距離與到直線的距離相等，所以有，兩邊同時平方，化簡得，因為直線過點且斜率為，所以直線的方程為，代入中，化簡，得，解得，或，不妨令，于是；【解題思路】1.明確題目條件 仔細分析題目中給出的關于動點的幾何條件，例如動點到定點和定直線的距離關系、與其他已知點或曲線的位置關系等。 確定拋物線的焦點位置和開口方向，這有助于選擇合適的方程形式。2.選擇合適的方法 若滿足拋物線定義：當題目中明確指出動點到某一定點的距離等于它到某一定直線的距離時，直接根據拋物線定義確定的值和焦點位置，進而寫出軌跡方程。例如，已知動點到點的距離等于它到直線的距離，由拋物線定義可知，該拋物線焦點為，準線為，則，，且焦點在軸正半軸上，所以軌跡方程為。 已知拋物線類型：若題目告知拋物線的開口方向和對稱軸等信息，可設出相應的標準方程，再利用已知條件求出參數。例如，已知拋物線開口向下，對稱軸為軸，且過點，可設拋物線方程為，把點代入方程得，即，解得，所以軌跡方程為。 已知動點的幾何等式：若題目給出動點滿足的幾何等式，可采用直接法。設動點坐標為，將幾何等式轉化為坐標方程，然后化簡。例如，動點到點的距離比它到直線的距離小，則動點到點的距離等于它到直線的距離，根據兩點間距離公式，兩邊平方得，展開化簡得。 存在相關動點：若動點與另一個在已知曲線上的動點有關，可先找出$x,y$與的關系，再將代入已知曲線方程。例如，已知點，點在拋物線上運動，點滿足，設，，則，可得，即，把代入，得，化簡得。3.檢驗方程 檢查所求方程的定義域和值域是否符合實際情況，排除不符合題意的點。 驗證所求方程是否滿足題目中的所有條件。【題型3：拋物線的焦點弦長】知識講解知識講解焦半徑1.對于拋物線，設焦點為，其上一點，則焦半徑。2.對于拋物線，焦點，點，焦半徑。3.對于拋物線，焦點，點，焦半徑。4.對于拋物線，焦點，點，焦半徑。焦點弦1.弦長公式：若$AB$是拋物線的焦點弦，，，則；結合焦半徑可理解為。2.坐標乘積：對于拋物線的焦點弦$AB$，有，。3.圓與準線關系：以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。4.倒數和性質：設拋物線的焦點為，焦點弦$AB$，，，則。5.弦長與夾角關系：焦點弦$AB$與拋物線對稱軸的夾角為，則弦長。例題精選例題精選【例題1】（2025·北京順義·一模）已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與交于不同的兩點A，B，為坐標原點，直線與交于點M，若，則的面積等于（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據以及拋物線定義可得直線的斜率，則可求，以及坐標，即可得點到直線的距離，最后利用面積公式即可.【詳解】如圖，過點作，直線與軸分別交與點，設，則，因，則，得，則，則，故直線的斜率為，直線的方程為，與聯立得，解得，則直線：，，得故點到直線的距離為，故的面積為.故選：A【例題2】（2025·云南昆明·一模）已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于A，B兩點，點為線段的中點，若點的橫坐標為，，則（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據拋物線的定義求解即可.【詳解】根據拋物線定義，點到焦點的距離分別等于它們到準線的距離，設，則，由于為中點，所以，又因為，代入得，解得，故選：.【例題3】（2025·廣東·模擬預測）已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且從上到下與依次交于兩點，，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】根據題意，聯立直線與拋物線方程，即可得到的橫坐標，結合焦半徑公式代入計算，即可得到結果.【詳解】

由于，直線方程為，聯立方程，消去得，顯然，得，所以，即.故選：D.相似練習相似練習【相似題1】（2025·山東濟寧·一模）設為拋物線的焦點，過的直線交于兩點，若，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用拋物線的性質求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，過作垂直于準線于點，作于點，則，，同理可證，解得，所以，，故選：D．【相似題2】（2025·湖南·二模）已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點.若為坐標原點，則的面積為.【答案】【分析】先求得，由條件推得軸，由推出，得到這些的方程，與拋物線方程聯立，利用弦長公式求得，即得的面積.【詳解】依題意，得，則拋物線的方程為.由題意可知與拋物線的準線垂直，在中，，則，則直線的方程為.由消去并化簡整理得：易得，則，又原點到直線的距離為，故.故答案為：.【相似題3】（2025·天津·模擬預測）已知過拋物線C：的焦點F作斜率為正數的直線n交拋物線的準線l于點P，交拋物線于A，B（A在線段PF上），，則以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長為【答案】【分析】設，，聯立拋物線并應用韋達定理，結合得、，進而得到，應用拋物線定義求、中點為的橫坐標，最后應用幾何法求弦長即可.【詳解】由題意，可得如下示意圖，，令，，

聯立，則，顯然，則，，聯立，則，可得，結合，則，即，所以，可得，又，故圓的半徑為4，若中點為，則，所以以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長為.故答案為：【題型4：拋物線中的最值問題】知識講解知識講解拋物線的定義與性質：拋物線的定義為平面內到定點與定直線距離相等的點的軌跡。其標準方程有（焦點在軸正半軸）、（焦點在軸負半軸）、（焦點在軸正半軸）、（焦點在軸負半軸）幾種形式，不同形式下焦點坐標和準線方程各異。例如，焦點，準線。這些性質是解決拋物線最值問題的基礎，通過定義可將拋物線上點到焦點的距離轉化為到準線的距離，為求解最值創造條件。函數關系的建立：設拋物線上一點坐標為，根據拋物線方程將用表示（或用表示），再結合題目所求的最值量，構建出關于（或）的函數表達式。例如求拋物線上一點到某定點距離的最值，利用兩點間距離公式，將拋物線方程代入，消去一個變量，得到關于單一變量的函數。例題精選例題精選【例題1】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】點到直線的距離為，到準線的距離為，利用拋物線的定義得，當，和共線時，點到直線和準線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案.【詳解】由拋物線知，焦點，準線方程為，根據題意作圖如下；

點到直線的距離為，到準線的距離為，由拋物線的定義知：，所以點到直線和準線的距離之和為，且點到直線的距離為，所以的最小值為.故選：D【例題2】（2324高三上·四川南充·階段練習）若點在焦點為的拋物線上，且，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得點的坐標，求得關于直線的對稱點，根據三點共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點，準線，，則，不妨設，關于直線的對稱點為，由于，所以當三點共線時最小，所以的最小值為.故選：A

【例題3】（2023·全國·模擬預測）已知圓過點，且與直線相切，是圓心的軌跡上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據拋物線定義得點的軌跡方程，然后設出點的坐標，再利用點到直線的距離公式求出到直線的距離，從而求出的最小值.【詳解】由題意可知點到直線的距離等于點到點的距離，所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，且焦點到準線的距離，所以點的軌跡方程為．設，則點到直線的距離，所以的最小值為．故選：A．相似練習相似練習【相似題1】多選題（2024·浙江·一模）設是拋物線弧上的一動點，點是的焦點，，則（

）A．B．若，則點的坐標為C．的最小值為D．滿足面積為的點有2個【答案】AB【分析】對于A，直接由拋物線方程即可判斷；對于B，直接由焦半徑先求得點橫坐標，代入拋物線方程驗算其縱坐標即可判斷；對于C，由B選項啟發，觀察圖象，令即可舉出反例；對于D，由點到直線距離公式將原問題轉換為方程的或的正根的個數和即可判斷.【詳解】對于A，拋物線弧的焦點為，故A正確；對于B，若，解得，所以，即點的坐標為，故B正確；對于C，取，則，因為，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D，直線的斜率為，所以它的方程為，點到它的距離為，注意到，若面積為，則，又，所以或，解得或，所以滿足面積為的點有3個，故D錯誤.故選：AB.【相似題2】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知拋物線的焦點為上的點到軸的距離為1，動點在上，動點在圓上，當取最小值時，的面積為.【答案】/0.875【分析】過點作準線的垂線，垂足為，得到，由，得到當四點共線且點在點之間時等號成立，即可求解.【詳解】由題可知，所以點在拋物線上，則，解得，所以拋物線，準線方程為，由題知圓的圓心為，半徑為1.過點作準線的垂線，垂足為，則，又，當三點共線且點在點之間時等號成立，所以，當四點共線且點在點之間時等號成立，所以的最小值為2，此時，則，所以，所以當取最小值時，.故答案為：【相似題3】（2425高二上·天津·階段練習）已知點是拋物線上一點，則點到直線的最短距離是【答案】【分析】設出點坐標，利用點到直線的距離公式來求得正確答案.【詳解】設，則到直線的距離為：，所以當時，距離取得最小值為.故答案為：【解題思路】利用拋物線定義轉化距離：若問題涉及拋物線上一點到焦點與到某條直線（常與準線相關）的距離和或差的最值，根據拋物線定義，將點到焦點的距離轉化為點到準線的距離。比如求上一點到焦點與到定點距離和的最小值，過點作準線的垂線，與拋物線交點即為所求點，此時最小值為點到準線的距離。因為根據定義等于到準線的距離，那么，當、、垂足三點共線時和最小。構建函數求最值：當無法直接利用定義求解時，按上述知識講解中構建函數的方法，得到關于一個變量的函數。若構建的是二次函數，可根據二次函數的性質求最值。對于二次函數，當時，函數在處取得最小值；當時，函數在處取得最大值。例如求上一點到直線距離的最小值，設拋物線上點坐標為，利用點到直線距離公式（這里直線，，，）得到關于的函數，再利用二次函數性質求解。結合幾何圖形性質：除了代數方法，還需關注幾何圖形的性質。例如，當求拋物線上一點與某線段構成三角形面積的最值時，若該線段長度固定，那么當拋物線上點到該線段所在直線距離最大（或最小）時，三角形面積取得最值。可通過平行于該線段且與拋物線相切的直線來確定這個距離最值的點。因為相切時，切點到已知線段所在直線距離在拋物線上所有點中是特殊值，可能是最值，再結合圖形判斷是最大還是最小。【題型5：直線與拋物線的綜合題型】知識講解知識講解1.直線與拋物線的位置關系判斷知識講解：直線與拋物線的位置關系有相離、相切、相交三種。將直線方程（當直線斜率存在時）與拋物線方程聯立，得到一個關于或的一元二次方程。對于由消去后得到的，其判別式。當時，直線與拋物線相交，有兩個不同交點；當時，直線與拋物線相切，有一個公共點；當時，直線與拋物線相離，沒有公共點。需要注意的是，當直線斜率不存在時，直線方程為，代入拋物線方程求解交點情況。2.弦長問題知識講解：若直線與拋物線相交于，兩點，弦長（為直線斜率）。其中，，可通過聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到。3.中點弦問題知識講解：已知直線與拋物線相交所得弦的中點坐標，求直線方程或拋物線方程相關參數。常用“點差法”，設直線與拋物線交點，，中點，將，兩點坐標代入拋物線方程，兩式相減，利用平方差公式變形，結合中點坐標公式，和直線斜率公式求解。4.焦點弦問題知識講解：過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的弦為焦點弦。對于拋物線，若焦點弦兩5.對稱問題知識講解：若拋物線上存在兩點關于某直線對稱，則這兩點所在直線與對稱軸垂直，且兩點中點在對稱軸上。設拋物線上兩點，關于直線對稱，那么直線$AB$的斜率與直線的斜率乘積為，同時$AB$中點在直線上。端點為，，則有，，弦長。例題精選例題精選【例題1】（2025·寧夏銀川·二模）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上，且.(1)求拋物線C的方程.(2)已知過點F的直線交拋物線C于兩點，的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據拋物線定義列式求出，得解；（2）法1，設直線的方程為，與拋物線聯立方程組，得，求得，根據三角形的面積列方程，求得，也即求得直線的方程，法2，前面同法1，由，求得，得解.【詳解】（1）依題意，點在拋物線上，且，所以，所以拋物線方程為.（2）法1：拋物線方程為，焦點坐標為，設直線的方程為，，由，消去并化簡整理得，，則，則，所以.原點到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為或，即或.法2：解得，所以直線的方程為或，即或.【例題2】（2025·廣東·一模）設拋物線的焦點為.已知到直線的距離為，過的直線交于兩點.(1)求的方程；(2)已知點，直線交于點.若，求的面積.【答案】(1)(2)16【分析】（1）利用點到直線的距離求出參數p的值，即得答案；（2）設出AB，AC的方程，聯立拋物線方程，可得根與系數的關系式，結合，可求出點A，B，C的坐標，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知，F點到的距離為，故（舍去）或，故的方程為.（2）由題意知直線AB的斜率必存在，設.聯立，有，，故，聯立，有，，故，故由有，則，故.注意到軸，故的面積為.【例題3】（2024·浙江溫州·一模）點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線交拋物線于，兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據焦半徑公式及點在拋物線上，列方程組，可求的值.（2）法1：設出直線的方程：，與拋物線方程聯立，得到，，再根據，得求的值.法2：設直線的方程：，與拋物線方程聯立，得到，，再根據，得得的關系，從而說明直線經過定點，再結合直線過拋物線的焦點，可得直線方程.法3：設，，則直線可寫成，根據及可求出的值，得直線的方程.法4：設，，根據直線與垂直，可分別設兩直線方程為，，分別與拋物線方程聯立，把、坐標用表示出來，再結合求的值，進而求出點坐標，結合直線過點，可求直線方程.法5：設，，設直線：與拋物線方程聯立，可得，再根據，結合直線過點，可求的值，得直線的方程.【詳解】（1）根據焦半徑公式可得，所以，又，所以，解得或（舍去），故所求拋物線方程為.（2）法1：，，設，，，，所以，，，（舍去），所以即.法2：設，，，，所以，，，，所以過定點，又因為過，所以；法3：，，設，，，，.，，所以.法4：設，，不妨設，，，，同理，，，，又因為過，所以.法5：設，，，，，，，.又因為過，所以，解得，，所以.相似練習相似練習【相似題1】（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F且互相垂直的兩條動直線分別與E交于點A，B和點C，D，當時，．(1)求E的方程；(2)設線段AB，CD的中點分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．【答案】(1)(2)，【分析】（1）設，聯立方程，利用韋達定理結合弦長公式可得，分析可知，，代入運算即可；（2）根據（1）結論可得：，，利用弦長公式運算求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，直線的斜率存在且不為0，此時直線AB、CD均與拋物線相交，

設，則，聯立方程，消去可得，則，可得，若，根據拋物線的對稱性不妨令直線的傾斜角為，即，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可知：，，，且，則，即，同理可得：，由題意可知：，則，因為，解得，則，，即，.【相似題2】（2025·遼寧·二模）已知拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，當直線l經過點F且時，．(1)求C的方程；(2)設O為坐標原點，點A在第一象限，點B在第四象限，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線焦點弦的性質列式求得，得解；（2）設直線與拋物線方程聯立得根與系數關系，由，結合，可得，求得，得恒過定點，由代入運算得解.【詳解】（1）由題，易知直線的斜率存在，設，，，聯立，消去整理得，，則，由拋物線定義得，，，又，，解得，所以拋物線的方程為.（2）設直線，，，，由，又，，解得，聯立，整理得，則，，所以，即，且，故直線恒過定點，又，所以，，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.【相似題3】（2025·全國·模擬預測）已知分別是橢圓的左、右焦點，拋物線的頂點在原點，焦點與的右焦點重合.過焦點的直線交拋物線于點，交橢圓于點.(1)求拋物線的標準方程；(2)若，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出焦點坐標，再用待定系數法求出拋物線的標準方程即可；（2）方法一：設出直線的方程為，與拋物線方程聯立，利用弦長公式求出，再聯立直線與橢圓方程，利用弦長求出，由求出，得到直線的方程；方法二：（2）先討論直線斜率不存在的情況，當直線的斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線與拋物線的方程，利用拋物線焦點弦的坐標公式求出，聯立直線與橢圓的方程，由兩點間的距離公式求出，由求出斜率的值，從而求得直線的方程.【詳解】（1）由橢圓的方程為，得，所以，設拋物線的方程為，則，則，所以拋物線的標準方程為.（2）方法一：由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯立消去整理得，可得，設，，則，，所以.聯立消去整理得，可得，設，，則，，所以.因為，所以，即，即，所以直線的方程為或.方法二：若直線垂直于軸，則方程為，代入橢圓方程，得，，代入拋物線的方程，得，，不滿足題意；當直線的斜率存在時，設方程為，設，，，，由得，可得，則，所以.由得，可得，則，因為點在橢圓上，所以，所以，所以，同理得，所以，因為，所以，即，解得，則，所以直線的方程為或.【題型6：拋物線與圓橢圓雙曲線綜合小題題型】例題精選例題精選【例題1】（2025·福建泉州·一模）已知拋物線的準線為，點在上，以為圓心的圓與和軸都相切，則該圓被軸截得的弦長等于（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據相切的到點然后代入拋物線方程得到，最后利用勾股定理求弦長.【詳解】拋物線的準線方程為，不妨取點在第一象限，設以為圓心的圓的半徑為，因為以為圓心的圓與和軸都相切，所以，將代入拋物線方程得，解得，則到軸的距離為1，該圓被軸截得的弦長為.故選：D.【例題2】（2025·天津和平·一模）已知直線經過拋物線的焦點，直線與圓相交于、兩點，且，則實數的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據直線過拋物線的焦點求出的值，利用勾股定理求出圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可得出關于的等式，解之即可.【詳解】易知拋物線的焦點為，且直線經過點，則，可得，所以，直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得，即，解得或.故選：C.【例題3】（2025·河南鄭州·二模）已知是拋物線的焦點，是的準線，點是上一點且位于第一象限，直線的斜率為正數，且與圓相切，過點作的垂線，垂足為，則的面積為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由題意寫出交點坐標和準線方程，由圓的方程求出圓心和半徑，作圖.結合切線的性質和求出直線的傾斜角，從而得到直線方程，聯立方程組求出點坐標，從而知道的面積.【詳解】由題意可知，，∵，∴，，如圖：設點為與圓的切點，則，，∴，則，，∴直線，聯立方程組，即，解得（舍去）或，∴，∴，∴.故選：C.相似練習相似練習【相似題1】（2024·天津·高考真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為．【答案】/【分析】先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即，故原點到直線的距離為，故答案為：【相似題2】（2023·福建福州·模擬預測）已知拋物線與圓，過拋物線的焦點作斜率為的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點（在軸的同一側），若，則的值是．【答案】8【分析】根據給定條件，寫出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理并結合圓的性質及向量等式求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，于是直線：，顯然，由消去y得：，設，則，又圓的圓心為，半徑為1，由，得，即，于是，整理得，又，解得，則，解得，所以的值是8.故答案為：8【相似題3】（2022·福建·模擬預測）已知拋物線與拋物線在第一象限內的交點為，若點在圓上，且直線與圓相切，則.【答案】/【分析】由于點在圓上，所以可得，而點也在兩拋物線上，代入拋物線方程可得，當與圓相切時，可得，然后前面的幾個式子結合可求得答案【詳解】因為，所以，因為，，所以，當與圓相切時，，所以，所以，所以.故答案為：課后針對訓練課后針對訓練一、單選題1．（2025·貴州畢節·二模）已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2025·江蘇宿遷·二模）已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2025·貴州安順·模擬預測）若拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．2 B．4 C． D．124．（2025·遼寧葫蘆島·一模）已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與點到該拋物線準線的距離之和的最小值為（

）A． B．3 C． D．5．（2025·江蘇南通·一模）若拋物線的準線為直線，則截圓所得的弦長為（

）A． B． C． D．6．（2025·陜西漢中·二模）已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，則以線段為直徑的圓的面積為（

）A． B． C． D．7．（2025·陜西商洛·三模）已知為拋物線上一點，為的焦點，點到軸的距離為，則（

）A． B． C． D．8．（2025·湖北武漢·二模）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與該拋物線交于，兩點，若，若面積為，則（

）A．4 B．3 C． D．9．（2025·山東煙臺·一模）已知為拋物線上一點，若過點且與該拋物線相切的直線交軸于點，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．810．（2025·天津和平·一模）已知直線經過拋物線的焦點，直線與圓相交于、兩點，且，則實數的值等于（

）A． B． C．或 D．或二、填空題11．（2025·廣東茂名·二模）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點，若，則．12．（2025·海南海口·模擬預測）設點是拋物線的焦點，過拋物線上一點作其準線的垂線，垂足為，已知直線交軸于點，且的面積為8，則該拋物線的方程為.13．（2025·浙江溫州·二模）已知是拋物線在第一象限上的點，是拋物線的焦點，（為坐標原點）則拋物線在處切線的斜率是．三、解答題14．（2023·陜西漢中·模擬預測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．參考答案題號12345678910答案ADBCACBACC1．A【分析】根據雙曲線和拋物線的定義求解.【詳解】因為，所以所以拋物線的焦點坐標為，所以雙曲線的一個焦點為，所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選：A.2．D【分析】利用拋物線的性質得到橢圓的基本量，再求解離心率即可.【詳解】由題意得的焦點為，則，而，得到，即方程為，得到離心率，故D正確.故選：D3．B【分析】根據拋物線標準方程得到焦點坐標，利用點到直線的距離公式可