教學設計

課程基本信息學科高中數學年級高一年級學期春季課題圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積教學目標課程目標：1.通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；2.會求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關的組合體的表面積和體積；3.會用圓柱、圓錐、圓臺、球表面積與體積公式解決實際問題；4.了解轉化、化歸思想和數學極限思想，以運動變化的觀點挖掘柱體、錐體、臺體之間的內在聯系；5.了解“祖暅原理”，激發學生的愛國情懷，提高學生的文化素養．學科素養：直觀想象：了解圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖形狀；會用極限的思想“化曲為直”，簡化公式的理解；2.邏輯推理：能挖掘柱體、錐體、臺體的圖形與表面積及體積之間的內在聯系；3.數學運算：會求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關的組合體的表面積與體積，解決實際問題.教學重難點教學重點：1.圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；

2.了解轉化、化歸思想和數學極限思想，以運動變化的觀點挖掘柱體、錐體、臺體之間的內在聯系．

教學難點：1.能用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式求相關組合體的體積和表面積；

2.了解轉化、化歸思想和數學極限思想，以運動變化的觀點挖掘柱體、錐體、臺體之間的內在聯系．教學過程（一）復習回顧，引入新課梳理舊知通過前面的學習，我們已經知道，1.多面體中棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積．2.多面積的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和．引入新課那么旋轉體的表面積和體積是否可以用同樣的方法解決？這是本節課我們要學習的內容．合作探究，講解新課任務一圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題1與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個面的面積之和，但是它們的側面均不是平面圖形，該怎么求側面面積呢？【師生活動】在老師的引導下回顧多面體表面積的推導過程？我們能否利用轉化的思想把曲面圖形轉化為平面圖形來求面積呢？學生跟著老師的指引，發揮自己的空間想象能力，試圖把曲面圖形轉化為平面圖形．【設計意圖】回顧多面體表面積公式的求法，引導學生把立體圖形平面化．從而達到簡化問題的目的．問題11目前，我們只學過平面圖形的面積求法．那么，你能把這些空間曲面圖形轉化為平面圖形嗎？演示動畫：圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖首先我們來探究圓柱的表面積．問題2已知底面半徑為，高為的圓柱的表面積公式是多少？【師生活動】給出圓柱的展開圖，引導學生把圓柱的側面積轉化為長方形的面積公式來解答問題．【設計意圖】得出圓柱的表面積和體積公式【教學預設】圓柱的側面展開圖是長方形，則．于是，該圓柱的表面積是接著，我們用類似的方法探究圓錐的表面積．問題3底面半徑為，母線長為的圓錐的表面積是什么？【師生活動】給出圓錐的展開圖，引導學生把圓錐的側面積轉化為扇形的面積公式來解答問題．【設計意圖】得出圓錐的表面積和體積公式．問題31首先，我們來分析圓錐的側面展開圖是什么？（扇形）然后，可求得．于是其表面積為．問題4在問題3中，要求得圓錐的側面積，需要利用扇形的面積公式來求解．若一個扇形的半徑為，弧長為，那么該扇形的面積公式是，請問：你是怎么來記憶這個公式的呢？【師生活動】教師呈現扇形被分割的動畫，引導學生觀察扇形的底邊變化情況，當扇形被分割的越來越多時，底面直觀上會接近于一條直線．【設計意圖】用極限分割的思想把扇形的面積公式看作三角形面積公式來記憶，加深對扇形面積公式的印象，從而為下面學習圓臺的面積公式提供方便．【教學預設】演示動畫觀察等分后“小扇形”的底邊變化把扇形分成等分，當越大，每個分割成的“小扇形”的底邊越平，“小扇形”就越近似等腰三角形，其高越近似于扇形的半徑．設這個“小扇形”的面積為，底邊長為，通過極限分割的思想“化曲為直”將扇形近似的看作“等腰三角形”，由此可以更直觀地記憶扇形的面積公式．帶著這個研究我們繼續來學習圓臺的表面積公式．問題5上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為的圓臺的表面積公式是什么？【師生活動】給出圓臺的展開圖，引導學生用類似扇形面積公式的學習方法，用極限的思想化曲為直來得出圓臺的側面積公式．【設計意圖】得出圓臺的表面積和體積公式，并熟悉極限思想方法的應用．rr’r’【教學預設】圓臺的側面展開圖是扇環．扇環是由一個大扇形減去一個小扇形得到的，同樣的極限分割“化曲為直”rr’r’rr所以任務二圓柱、圓錐、圓臺的體積初中的時候，我們已經學習過圓柱、圓錐的體積公式，問題6圓柱的體積公式就是棱柱的體積公式，圓錐的的體積公式就是棱錐的體積公式，那么是否可以大膽猜想：棱臺的體積公式是不是就是圓臺的體積公式呢？即．接下去我們來證明這個猜想，先看一個視頻．動畫演示棱臺逼近圓臺【師生活動】教師出示棱臺逼近圓臺的視頻，請同學們觀察棱臺底面邊數逐漸增加時，棱臺可近似的看作什么幾何圖形．從而得出圓臺的體積公式就是圓臺的體積公式，教師進一步引導學生總結出柱體、錐體、臺體的體積公式．【設計意圖】從直觀上得出圓臺的體積公式，進一步體現極限思想的運用．【教學預設】從視頻中可以看到當正棱臺的底面邊數逐漸增加時，可以達到以直代曲的目的，棱臺可直觀的看作圓臺．故．那么，我們可以將它們統一成柱體、錐體、臺體，它們的體積公式為:(為底面積，為柱體高)；(為底面積，為錐體高)；(，分別為上下底面面積，為柱體高).問題61同學們，你還有什么別的方法來證明這個猜想嗎？【師生活動】因為圓臺的定義，很多同學會想到用大圓錐減小圓錐的方法，肯定有這個想法的同學，并引導他們證明．【設計意圖】進一步求證圓臺的體積公式，鼓勵同學對課堂產生不同的聲音．【閱讀拓展】請大家閱讀課本121頁的“探究與發現”．【師生活動】教師展示出祖暅定理，讓學生更加肯定圓臺的體積公式就是棱臺的體積公式．學生從動畫中可以觀察到只要兩幾何體的截面面積相等，幾何體的體積始終相等．【設計意圖】進一步證實猜想．引導學生增加學習的自信心，培養學生的愛國主義精神．【教學預設】其實早在5世紀末，偉大的數學家祖暅就提出了證明這一猜想的方法——祖暅原理．動畫演示祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，現在語言描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果解得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．祖暅提出的這一原理比其他國家的數學家早一千多年．可見我國數學研究的領先之處，事實上，中國在包括數學在內的許多領域，都比其他國家更為先進、更具創造性．問題7從上面的這些公式結構特征來看，你能發現：圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積公式之間有什么內在的聯系嗎？【師生活動】教師給出圓柱、圓臺、圓錐轉化過程的視頻，學生從動畫中觀察出圓柱和圓錐是圓臺的特殊情況，從而找到圓柱、圓錐、圓臺表面積公式和體積公式結構上之間的聯系．【設計意圖】了解圓柱、圓錐、圓臺的結構特征，從而找到圓柱、圓錐、圓臺表面積公式和體積公式之間的內在聯系，更加方便同學們記憶公式．動畫演示圓柱、圓錐、圓臺結構上的變化與聯系．歸納總結任務三球的表面積和體積對于球的表面積公式我們不進行研究，直接給出（為球半徑）,我們主要來研究球的體積公式．問題8接下來，我們推導半徑為的球的體積公式，你能利用球的表面積求體積公式嗎？為什么？【師生活動】回憶分割扇形求面積公式的方法，引導學生從分割球的表面入手，利用球的表面積公式推導球的體積公式，教師出示動態分割視頻，并引導學生注意觀察分割后小錐體的底面變化情況．【設計意圖】通過極限分割的思想推導出球的體積公式．【教學預設】在小學，我們學過圓的面積公式，大家還知道它是怎么推導的嗎？你能用球的表面積公式推導出球的體積公式嗎？動畫演示球體積分割師：較易發現，把球的表面分成個小網格，連接球心和每個小網格的頂點，整個球體就被分割成個“小錐體”．同樣的極限分割“化曲為直”，當越大，每個小網格越小時，每個“小錐體”的底面就越平，“小錐體”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑．設第一個“小錐體”的底面積為，依次設第個“小錐體”的底面積為，因此．學習完圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式，下面我們一起來做題鞏固：例題講解，鞏固新課問題9如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）【師生活動】教師展示題目，學生閱讀題目，找出題干，引導學生得出數學模型，即求球的表面積和圓柱的側面積．【設計意圖】鞏固表面積公式，體會這些公式在實際生產生活中的應用．【教學預設】一個浮標是由兩個半球和一個圓柱組成的組合體，表面積為，所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料．問題10如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．【師生活動】教師展示題目，學生閱讀題目，梳理清：圓柱底面半徑、高、球半徑三者之間的關系．【設計意圖】鞏固體積公式的應用．【教學預設】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑也為，高為.因為，所以．歸納總結，整合新課下面我們一起來總結本節課的內容：本節課主要運用極限思想達到化曲為直，以直代曲的目的，還運用了轉化化歸的數學思想方法，把復雜問題簡單化．具體研究了旋轉體