選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布第五講二項分布問題情境：某飛碟運動員每次擊中靶的概率是0.8，連續射擊三次，中靶次數X的概率分布列是怎樣的？二、知識構建知識點一重伯努利試驗(次獨立重復試驗)1.重伯努利試驗的定義（1）我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.（2）將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.2.重伯努利試驗的特征（1）每次試驗是在同樣條件下進行的，有關事件的概率保持不變；（2）各次試驗中的事件是相互獨立的，結果互不影響；（3）每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生，這兩種結果是對立的3.重伯努利試驗的概率公式一般地，如果在一次試驗中事件發生的概率是,事件在次試驗中發生次，共有種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，在次試驗中發生，而在其余次試驗中不發生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗中，事件恰好發生次的概率為().知識點二二項分布1.二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為()，用表示事件發生的次數，則的分布列為，.如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．2.二項分布中的各量表示的意義：伯努利試驗的次數；：事件發生的次數：每次試驗中事件發生的概率，并稱為成功概率3.二項分布的均值與方差若隨機變量服從參數為,的二項分布，即,則,.三、類型歸納類型一n重伯努利試驗的判斷類型二n重伯努利試驗的概率問題類型三二項分布及其應用類型四二項分布的均值與方差類型五服從二項分布的概率最值問題類型應用【例1】（2122高二·全國·課后作業）重伯努利試驗應滿足的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果；③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【知識點】獨立重復試驗的概念【分析】由重伯努利試驗試驗的定義判斷即可．【詳解】解：只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗，故重伯努利試驗應滿足的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果；③各次試驗成功的概率是相同的；故選：C【跟蹤訓練1】（多選）下列試驗不是重伯努利試驗的是（

）．A．依次投擲四枚質地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了次C．口袋中裝有個白球，個紅球，個黑球，依次從中抽取個球D．小明做道難度不同的數學單選題【答案】ACD【詳解】A．由于試驗的條件不同（硬幣質地不同），因此不是重伯努利試驗．B．某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，因此是重伯努利試驗．C．每次抽取，每種顏色出現的可能性不相等，因此不是重伯努利試驗．D．道題難度不同，每道題做對的概率也不同，因此不是重伯努利試驗．故選：ACD．【例2】（2021高二·全國·課后作業）下列例子中隨機變量服從二項分布的個數為（

）①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數；②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數；③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數；④有一批產品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點】獨立重復試驗的概念【分析】根據二項分布的特征即可判斷.【詳解】①滿足獨立重復試驗的條件，是二項分布；②的取值是1，2，3…，，（），顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布；③雖然是有放回地摸球，但隨機變量的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義；④次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布．所以只有1個服從二項分布.故選：B．【跟蹤訓練21】（2024高二·全國·專題練習）（多選題）下列例子中隨機變量X服從二項分布的有（

）A．X表示重復拋擲一枚骰子n次中出現點數是3的倍數的次數B．某射手擊中目標的概率為0.9，X表示從開始射擊到擊中目標所需次數C．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出現次品的件數D．有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出現次品的件數【答案】AC【知識點】獨立重復試驗的概念、獨立重復試驗的概率問題【分析】根據二項分布的特征和定義即可判斷.【詳解】對于A，設事件E為“拋擲一枚骰子出現的點數是3的倍數”，則，則在n重伯努利試驗中事件E恰好發生了次的概率，符合二項分布的定義，即有．對于B，X的取值是1，2，3，…，n，，顯然不符合二項分布的定義，因此X不服從二項分布．選項C與D的區別是：C是“有放回”抽取，而D是“無放回”抽取，顯然D中n次試驗是不獨立的，因此X不服從二項分布，對于C，X顯然服從二項分布，且．故選：AC.【跟蹤訓練22】（2223高二下·河北唐山·階段練習）在100件產品中有5件次品，采用放回的方式從中任意抽取10件，設表示這10件產品中的次品數，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】獨立重復試驗的概念【分析】由二項分布的定義判斷.【詳解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是，相當于次獨立重復的伯努利實驗，所以服從二項分布.故選：B【例3】將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：（1）恰好出現5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現的頻率在0.4，0.6內的概率【分析】拋擲硬幣是n重伯努利試驗，“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等，正面朝上的次數服從二項分布.【詳解】設=“正面朝上”，則，用X表示事件發生的次數，則.①恰好出現5次正面朝上等價于=5，于是②正面朝上出現的頻率在[0.4,0.6]內等價于，于是(【跟蹤訓練31】（2425高二下·北京·階段練習）某人通過普通話二級測試的概率是，若他連續測試3次（各次測試互不影響），那么其中恰有一次通過的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】根據題意，由次獨立重復試驗的概率計算公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，他連續測試3次其中恰有一次通過的概率是.故選：D【跟蹤訓練32】（2425高三上·河北邢臺·期末）某籃球運動員投球的命中率是，他投球4次，恰好投進3個球的概率為.（用數值作答）【答案】【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】直接運用獨立重復試驗的概率公式進行計算求解即可.【詳解】投球4次，恰好投進3個球的概率為.故答案為：.【跟蹤訓練33】（2425高二下·全國·課后作業）一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次停止，設停止時共取了次球，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】根據二項分布的定義即可得到答案.【詳解】由題意知第12次取到紅球，前11次中恰有9次取到紅球，2次取到白球，由于每次取到紅球的概率為．由二項分布知識可知，故選：D．【例4】（2024高三·全國·專題練習）某射手射擊時擊中目標的概率為0.7，設4次射擊擊中目標的次數為隨機變量，則等于（

）A．0.9163 B．0.0081C．0.0756 D．0.9919【答案】D【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】根據題意可知服從二項分布，利用可得結果.【詳解】由題意得，，的取值為，∵.∴.故選：D.【跟蹤訓練41】（2425高二下·全國·單元測試）已知某射擊運動員每次擊中目標的概率是0.8，則該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（

）A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728【答案】B【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】利用二項分布概率公式計算易得.【詳解】設運動員射擊4次，擊中目標的次數為，則,于是，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為：．故選：B.【跟蹤訓練42】（2425高三下·湖南永州·開學考試）五一臨近，某火車站有三個安檢入口，每個安檢入口每天通過的旅客人數超過1100人的概率為0.2，假設三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天通過的旅客人數至少有兩個超過1100人的概率為．【答案】/0.104【知識點】獨立重復試驗的概率問題【分析】利用獨立重復試驗的概率公式，列式計算即可得解.【詳解】依題意，旅客人數超過1100人的概率不低于0.2，即，所以這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率為.故答案為：【例5】（2425高二·全國·課堂例題）已知隨機變量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】利用二項分布求分布列【分析】由二項分布的概率公式運算即可得解.【詳解】因為因為隨機變量服從二項分布，．故選：D【跟蹤訓練5】（2425高二·全國·課堂例題）已知，則．【答案】【知識點】利用二項分布求分布列【分析】根據二項分布的概率公式計算即可【詳解】因為隨機變量服從二項分布，所以．故答案為：【例6】高爾頓板示意圖，教材中圖7.42：用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列．【分析】小球下落過程中與小木釘碰撞是n重伯努利試驗，小球最后落入格子的號碼等于向右下落的次數，因此X服從二項分布?！驹斀狻吭O=“向右下落”，則=“向左下落”，且.因為小球最后落入格子的號碼X于事件發生的次數，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以.于是，的分布列為.【跟蹤訓練61】（2425高二下·全國·課前預習）某一中學生心理咨詢中心服務接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數的分布列.【答案】答案見解析【知識點】利用二項分布求分布列【分析】由條件確定的可能取值，再結合二項分布分布列結論求的分布列.【詳解】由題意可知的可能取值有，且，，，則，，，.的分布列為0123【跟蹤訓練62】（2425高二下·全國·課堂例題）已知某種藥物對某種疾病的治愈率為，現有甲、乙、丙、丁4個患有該病的患者服用了這種藥物，觀察其中有多少患者會被這種藥物治愈.(1)這能否看成獨立重復試驗？(2)求甲、乙、丙都被治愈而丁沒有被治愈的概率；(3)求恰有3個患者被治愈的概率；(4)設有X人被治愈，求X的分布列.【答案】(1)可以看成4次獨立重復試驗；(2)；(3)；(4)分布列見解析【知識點】利用二項分布求分布列、獨立重復試驗的概率問題、獨立重復試驗的概念、獨立事件的乘法公式【分析】（1）由獨立重復事件的概念即可判斷；（2）根據獨立事件概率公式求解即可．（3）根據獨立事件概率公式求解即可．（4）根據題意，判定為二項分布，根據概率公式求出概率，列出分布列．【詳解】（1）由題意可知：因為每名患者被治愈的概率不會互相影響，所以構成獨立重復實驗．可以看成4次獨立重復試驗；（2）由獨立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁沒有被治愈的概率：；（3）恰有3個患者被治愈的概率：；（4）根據題意可知則,,,,.則分布列為：【跟蹤訓練63】（2425高二·全國·課堂例題）在一次數學考試中，第22，23，24題為選做題，規定每位考生必須且只需在其中選做一題，設5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為，每位考生對每題的選擇是相互獨立的，各考生的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲，乙兩人選做同一題的概率；(2)設選做第23題的人數為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【知識點】獨立事件的乘法公式、利用二項分布求分布列【分析】（1）通過分析甲、乙兩人選做同一題的各種情況，利用相互獨立事件概率公式來計算概率；（2）根據二項分布的概率公式計算不同取值的概率，從而列出分布列.【詳解】（1）設“甲選第22題”，“甲選第23題”，“甲選第24題”，“乙選第22題”，“乙選第23題”，“乙選第24題”，則甲、乙兩人選做同一題的事件為，且與與與相互獨立，所以．（2）設可能的取值為0，1，2，3，4，5．因為，所以．所以的分布列為012345【例7】（2425高二·全國·課堂例題）設如果，那么，．【答案】/3.2/0.64【知識點】二項分布的均值、二項分布的方差【分析】由二項分布方差以及期望的公式求解即可.【詳解】．故答案為：；【跟蹤訓練71】（2025高三·全國·專題練習）已知隨機變量，若，，則．【答案】16【知識點】二項分布的均值、二項分布的方差【分析】根據二項分布的期望和方差公式可得.【詳解】因為，，所以．所以，．故答案為：16【跟蹤訓練72】（2425高二上·廣西梧州·期末）已知隨機變量，若，則.【答案】【知識點】獨立重復試驗的概率問題、二項分布的均值、二項分布的方差【分析】根據可得，求出，結合二項分布求出概率即可.【詳解】因為，所以，解得，所以.故答案為：【跟蹤訓練73】（2425高二上·江西上饒·期末）已知隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】二項分布的方差、二項分布的均值【分析】根據二項分布均值與方差的性質公式，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：C.【跟蹤訓練74】（2425高二上·江西九江·期末）若隨機變量，則（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】B【知識點】二項分布的均值、均值的性質【分析】根據二項分布求期望公式得到，從而由得到答案.【詳解】根據二項分布的知識，得，.故選：B．【例8】（2425高二下·北京·階段練習）將一枚質地均勻的硬幣拋擲2次，記X為“正面朝上”出現的次數，則隨機變量X的均值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【知識點】二項分布的均值【分析】先判斷出，然后利用均值的計算公式求解即可．【詳解】由題意可知，，所以．故選：C【跟蹤訓練81】（2425高二下·全國·課堂例題）某人每次射擊命中目標的概率均為0.5，現連續射擊10次，則擊中目標次數的數學期望為．【答案】5【知識點】二項分布的均值【分析】根據二項分布的期望公式計算即可.【詳解】依題意，，所以.故答案為：5【跟蹤訓練82】（2024高三上·山東濟南·專題練習）農科院專家李教授對新品種蔬菜種子進行發芽率試驗，每個試驗組5個坑，每個坑種1粒種子.經過大量試驗，每個試驗組沒有發芽的坑數的平均數為，則每粒種子發芽的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】二項分布的均值【分析】每個坑不發芽的概率為，設每組不發芽的坑數為，根據題意得出，利用二項分布進而求解即可.【詳解】由題意知，每組中各個坑是否發芽相互獨立，每個坑不發芽的概率為，設每組不發芽的坑數為，則，所以每組沒有發芽的坑數的平均數為，解得，所以每個種子的發芽率為.故選：C.【例9】（2425高二下·全國·課后作業）某學校舉行聯歡會，所有參演的節目都由甲、乙、丙三名專業老師投票決定是否獲獎．甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張．每個節目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響．若投票結果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節目最終獲一等獎；否則，該節目不能獲一等獎．(1)求某節目的投票結果是最終獲一等獎的概率；(2)求該節目投票結果中所含“獲獎”票和“待定”票票數之和的分布列及數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為2【知識點】獨立事件的乘法公式、利用二項分布求分布列、求離散型隨機變量的均值【分析】（1）設“某節目的投票結果是最終獲一等獎”，則事件包括：該節目可以獲2張“獲獎”票，或者獲3張“獲獎”票，利用二項分布的概率公式求解即可；（2）所含“獲獎”票和“待定”票票數之和的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，即可得到的分布列和數學期望.【詳解】（1）設“某節目的投票結果是最終獲一等獎”，則事件包括：該節目可以獲2張“獲獎”票，或者獲3張“獲獎”票．因為甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，所以．（2）所含“獲獎”票和“待定”票票數之和的可能取值為0，1，2，3，，，，，因此的分布列為0123所以的數學期望．（或由，得）.【跟蹤訓練91】（2425高二下·全國·課堂例題）國慶節前，某學校計劃選派部分優秀學生干部參加宣傳活動，報名參加的學生需進行測試，共設4道選擇題，規定必須答完所有題，且每答對一題得1分，答錯得0分，至少得3分才能成為宣傳員；甲、乙、丙三名同學報名參加測試，他們答對每道題的概率都為，且每個人答題相互不受影響．(1)求甲、乙、丙三名同學恰有兩名同學成為宣傳員的概率；(2)用隨機變量表示三名同學能夠成為宣傳員的人數，求的數學期望與方差．【答案】(1)(2)，【知識點】二項分布的均值、獨立重復試驗的概率問題【分析】（1）先求出每個同學成為宣傳員的概率，再根據獨立重復試驗的概率公式可求出結果；（2）根據二項分布的數學期望和方差公式可求出結果.【詳解】（1）每個同學成為宣傳員需得3分或4分，即答對3道或4道試題，所以每個同學成為宣傳員的概率為，因為每個人答題相互不受影響，所以三人是否成為宣傳員是相互獨立事件，又因為每個人成為宣傳員的概率均為，所以甲、乙、丙三名同學恰有兩名同學成為宣傳員的概率為．（2）因為每個人成為宣傳員的概率均為，故為獨立重復試驗，又隨機變量表示能夠成為宣傳員的人數，即3次獨立重復試驗中發生次的概率，所以隨機變量滿足二項分布，所以，．【跟蹤訓練92】（2425高三下·河北·開學考試）春節期間有一過關贏獎勵娛樂活動，參與者需先后進行四個關卡挑戰，每個關卡都必須參與.前三個關卡至少挑戰成功兩個才能夠進入第四關，否則直接淘汰，若四關都通過，則可以贏得獎勵.參與者甲前面三個關卡每個挑戰成功的概率均為，第四關挑戰成功的概率為，且各關挑戰成功與否相互獨立.(1)求參與者甲未能參與第四關的概率；(2)記參與者甲本次挑戰成功的關卡數為X，求X的分布列以及數學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【知識點】寫出簡單離散型隨機變量分布列、獨立事件的乘法公式、獨立重復試驗的概率問題、求離散型隨機變量的均值【分析】（1）根據題意，甲未能參與第四關包含兩種情況，前三個關卡挑戰成功0個和1個，利用二項分布，相互獨立事件概率乘法公式求解；（2）的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．【詳解】（1）參與者甲未能參與第四關的概率為：（2）記參與者甲本次挑戰成功的關卡數為X，則X的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，的分布列為：X01234P數學期望為【跟蹤訓練93】（2425高三下·上?！るA段練習）某公司為招聘新員工設計了一個面試方案:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成.規定：至少正確完成其中道題便可通過面試.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且兩位應聘者每題正確完成與否互不影響.(1)求甲正確完成面試題數的分布列及其期望；(2)求乙正確完成面試題數的分布列及其方差；(3)試問:甲和乙誰通過面試的可能性更大?并說明理由.【答案】(1)分布列見解析；(2)分布列見解析；(3)甲通過面試的可能性更大；理由見解析【知識點】利用二項分布求分布列、建立二項分布模型解決實際問題、離散型隨機變量的方差與標準差、超幾何分布的分布列【分析】（1）確定的可能取值，利用超幾何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可；（2）確定的可能取值，利用二項分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可；（3）確定甲、乙通過面試的概率，比較即可的結論.【詳解】（1）甲正確完成試題數的可能取值為，，，，，，所以甲正確完成面試題數的分布列為：.（2）乙正確完成面試題數的可能取值為：，，，，，，，所以乙正確完成面試題數的分布列為：所以，.（3）因為，，所以，所以甲通過面試的可能性大.【例10】（2425高二上·山東德州·階段練習）高三某班有的學生數學成績優秀，若從班中隨機找出名學生，那么其中數學成績優秀的學生數，則取最大值時的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】獨立重復試驗的概率問題、服從二項分布的隨機變量概率最大問題【分析】根據概率公式應用最大值列不等式組計算求出的值.【詳解】由已知，，，，，，，所以由得：解得，又因為，所以．故選:B．【跟蹤訓練101】（2425高二上·河南南陽·期末）某人在次射擊中擊中目標的次數為，且，已知，則當取最大值時，．【答案】7【知識點】組合數的計算、服從二項分布的隨機變量概率最大問題、二項分布的均值、二項分布的方差【分析】根據二項分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值.【詳解】依題意，得解得，故，所以．當最大時，即即整理得解得，而，因此．【跟蹤訓練102】（2425高二下·全國·課后作業）隨著生活水平的提高，家用小轎車進入千家萬戶，在給出行帶來方便的同時也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問題，安裝了紅綠燈．通過測試后發現，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當私家車遇到紅燈的方差達到最大時，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【知識點】二項分布的方差、二項分布的均值、利用二項分布求分布列、獨立重復試驗的概率問題【分析】（1）由獨立重復事假概率計算公式即可求解；（2）由題意確定私家車遇到紅燈的概率是，由二項分布即可求解.【詳解】（1）由題設，路口遇到紅燈私家車數量，則．（2）由題設，路口遇到紅燈私家車數量，一輛私家車遇到紅燈的方差為，當且僅當時方差達到最大，此時私家車遇到紅燈的概率是．由題可得，的可能取值為，則，，．所以其分布列為：012345．素養提升1.（2425高三上·湖北·期中）英國生物統計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經過5層釘板最終落到4號位置的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】組合數的計算、獨立重復試驗的概率問題【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項分布的性質計算概率即可.【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，故此時概率為：.故選：A2.（2425高二下·全國·課后作業）腿型連續跳躍機器人屬于一種關節式跳躍機器人，在電機及蓄能元件的耦合驅動下實現跳躍運動．已知某款跳躍機器人依據指針顯示的顏色種類來執行跳動，假設其指針共有兩種顏色，指針顯示紅色時，機器人只能向前跳動一個單位；顯示黃色時，機器人只能向右跳動一個單位，若將該機器人初始位置記為坐標原點，向右為x軸正方向，向前為y軸正方向，機器人跳動五次停止，則機器人向右跳動的次數不超過3次的概率為．【答案】【知識點】建立二項分布模型解決實際問題【分析】根據二項分布的概率公式計算，注意不超過3次含有0次，1次，2次，3次共4種情形．【詳解】依題意，記機器人向右跳動的次數為，則易知，所以機器人向右跳動的次數不超過3次的概率為．故答案為：．3.（2425高三上·天津西青·階段練習）已知一個不透明的袋中有大小、質地相同的個紅球、個白球和個黑球.若不放回地摸球，每次摸個球，摸取次，則恰有次摸到紅球的概率為；若有放回地摸球，每次摸個球，摸取次，則摸到紅球的次數的期望為.【答案】/【知識點】計數原理與概率綜合、二項分布的均值【分析】利用計算原理結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，，由二項分布的期望公式可求得的值.【詳解】一個不透明的袋中有大小、質地相同的個紅球、個白球和個黑球.若不放回地摸球，每次摸個球，摸取次，恰有次摸到紅球的概率為；若有放回地摸球，每次摸個球，每次摸到紅球的概率為，摸取次，則摸到紅球的次數，由二項分布的期望公式可得.故答案為：；.4.（2425高三上·天津和平·期末）某射擊俱樂部開展青少年射擊培訓，俱樂部共有6支氣槍，其中有2支氣槍未經試射校正，有4支氣槍已校正，若用校正過的氣槍射擊，射中10環的概率為0.8，用未校正過的氣槍射擊，射中10環的概率為0.4，某少年射手任取一支氣槍進行1次射擊，射中10環的概率是；若此少年射手任取一支氣槍進行4次射擊（每次射擊后將氣槍放回），每次射擊結果相互不影響，則4次射擊中恰有2次射中10環的概率為．【答案】【知識點】獨立重復試驗的概率問題、利用二項分布求分布列、利用全概率公式求概率【分析】①用全概率事件來求解即可；②用二項分布概率公式來求解即可.【詳解】①設事件表示使用已校正的氣槍，事件表示射中10環，則，故任取一支氣槍射中10環的概率是；②4次射擊中恰有2次射中10環的概率為：.故答案為：①；②.5.（2324高三上·北京西城·期中）某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規定：至少正確完成兩題便可通過，已知6道備選題中甲生有4題能