期中高分突破必刷密卷03一：單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．已知復數z滿足，則z在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先根據復數的除法運算化簡再結合復數對應復平面的點判斷即可.【詳解】因為,所以對應點為,所以對應點在第一象限.故選：A.2．已知向量，的夾角為120°，，則（

）A． B． C．7 D．13【答案】A【分析】由計算可得結果.【詳解】由可得，所以.故選：A.3．如圖，在平行四邊形中，是的中點，與交于點，設，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】題意可得，即可得到，再根據平面向量線性運算計算即可.【詳解】依題意在平行四邊形中，，又是的中點，則，又與交于點，所以，則，所以，又，所以故選：A.4．已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則【答案】D【分析】對于A：求出坐標即可得模；對于B：通過求單位向量；對于C：通過投影向量的公式計算；對于D：通過計算是否成立來判斷.【詳解】對于A：，所以，A錯誤；對于B：方向上的單位向量為，B錯誤；對于C：，則向量在向量上的投影向量為，C錯誤；對于D：，所以，D正確.故選：D.5．正方形的邊長為2，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖（如圖），則原圖形的面積是（

）

A． B．4 C． D．【答案】D【分析】利用直觀圖還原原圖形，再求出面積即可.【詳解】

如圖所示，根據斜二測畫法可知原圖形為平行四邊形，其中所以原圖形的面積為.故選：D.6．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】研究圓錐與內切球的軸截面，由題可得內切球半徑，在軸截面中解直角三角形分別求出圓錐的高與底面半徑即可.【詳解】如圖所示，設內切球與相切于點，因為，所以，由內切球的表面積為，可得球的半徑，在直角中得，則圓錐的高為，在直角中得，即圓錐的底面半徑為3，所以該圓錐的體積．故選：A．7．折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓臺的底面半徑分別是和，且，圓臺的側面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓臺的底面半徑和高，再利用臺體的體積公式求體積.【詳解】如圖：，，，.根據圓臺的側面積公式：.所以圓臺的高：.所以圓臺的體積為：.故選：C8．如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓O上運動，且，M是圓O外一點，，則的最大值是（

）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據圓的幾何性質、向量運算以及向量絕對值三角不等式，求得答案.【詳解】連接，如下圖所示：因為，則為圓O的一條直徑，故O為的中點，所以，所以.當且僅當M、O、C共線且、同向時，等號成立，因此，的最大值為故選：C.二：多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在復數范圍內（是虛數單位），下列選項正確的是（

）A．關于x的方程的解為B．復數的虛部是5C．若復數z滿足，則D．已知a，，若是關于x的方程的一個根，則，【答案】BC【分析】選項A，求出方程的解即可；選項B，化簡復數，求解即可；選項C，直接求出模長即可；選項D，根據實系數一元二次方程根的情況，利用根與系數的關系求解即可．【詳解】對于A，方程可化為，所以或，所以和，選項A錯誤；對于B，復數，虛部是5，選項B正確；對于C，復數滿足，所以,故，即，所以，選項C正確；對于D，若是方程的一個根，則也是方程的根，所以，解得或，選項D錯誤．故選：BC．10．折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是和，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內切球的表面積為【答案】AC【分析】根據圓臺的側面展開圖，求得圓臺上下底面半徑、母線長，然后可求得圓臺的高、體積、表面積和內切球的半徑，從而確定正確答案.【詳解】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺的母線長，所以圓臺的高，A正確；圓臺的體積，B錯誤；圓臺的表面積，C正確；因為，即圓臺的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺的高即為內切球的直徑，所以內切球的半徑為，所以內切球的表面積為，D錯誤.故選：AC.11．已知點是內的一點，則以下說法正確的有（

）A．若，，分別表示，的面積，則B．若，則動點的軌跡一定通過的重心C．若，則點是的垂心D．若，，分別為，，的中點，且，，則的最大值為【答案】ABD【分析】A選項，作出輔助線，得到，從而得到所以，即可判斷；B選項，作出輔助線，得到，故點在中線上，故向量一定經過的重心；C選項，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上.D根據得到點的軌跡，將轉化為，然后求數量積，根據點的軌跡求最值.【詳解】對于A：如圖，分別為的中點，，則，故，所以，故，A正確；對于B：過點作⊥于點，取的中點，連接，則，，則，故點在中線上，故向量一定經過的重心，B正確；對于C：分別表示方向上的單位向量，故，，故⊥，由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，則點是的內心，C錯誤.D選項，設中點為，因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，結合上圖，，當為直徑時最大，最大為，故D正確.故選：ABD【點睛】結論點睛：為所在平面內的點，且，則點為的重心，點為所在平面內的點，且，則點為的垂心，點為所在平面內的點，且，則點為的外心，點為所在平面內的點，且，則點為的內心，三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為．【答案】54m【分析】根據題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.13．已知平面向量滿足，，與的夾角為，，則的最大值是.【答案】/【分析】由題意結合向量的加減可構造適當的圖形，利用正弦定理表示出，，，進而可表示出，結合三角變換即可求得答案；另解，可用極化恒等式求解,【詳解】由知，作，，，則，，，所以四點共圓，設圓心為，半徑為，設，，在中由正弦定理得，則，，，要使取最大值，則為銳角，所以，則，（為輔助角，），當且僅當時取等號，即的最大值是.另解：極化恒等式：同方法1構圖，取的中點，連接，由極化恒等式有，，由于，，所以，則，當且僅當三點共線時，取“=”.即的最大值是.故答案為：【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于要結合題意，構造出恰當的圖形，進行結合正弦定理表示出響亮的數量積，再集合三角恒等變換，求出答案.14．已知正方體的棱長為3，點是線段上靠近點的三等分點，是中點，則下列命題正確的有．①直線與所成角的正切值為

②三棱柱外接球的半徑為③平面截正方體所得截面為等腰梯形

④點到平面的距離為【答案】①②④【分析】借助等角定理可得直線與所成角與直線與所成角相等，計算出可判斷①；由三棱柱外接球與正方體外接球相同，故計算正方體體對角線的一半可判斷②；借助平行線的性質可作出該截面，計算邊長可判斷③：借助等體積法計算可判斷④.【詳解】對于①：由，故直線與所成角與直線與所成角相等，連接，可得，又，平面，平面，所以，故，故①正確；對于②：三棱柱外接球與正方體外接球相同，故其外接球半徑為，故②正確；對于③：如圖：取中點，連接，過點作，交于點，則，所以平面截正方體所得截面為梯形，由，所以，所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故③錯誤；對于④：如圖：設點到平面的距離為，則，而，，所以，故④正確.故答案為：①②④.四、解答題：本題共5小題，共77分，（15題13分，1617題15分，1819題17分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．在直角中，，M是的中點.(1)若，，求的值；(2)若點P是內一點，且，，，求的最小值.【答案】(1)2(2)5【分析】（1）利用向量數量積的運算律代入計算即可求得結果；（2）根據已知模長以及數量積結果，將平方并代入計算利用基本不等式計算可得結果.【詳解】（1）如下圖所示：因為M是的中點，所以，由可得，因此；所以；（2）由點P是內一點，且，可設，所以；由可得，即；由可得，即；所以；當且僅當時，即時，等號成立；即的最小值為5.16．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)若，，求的面積；(2)若，求的周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將角化為邊，利用余弦定理可求出角A，再利用已知條件即可求出，的值，再利用三角形面積公式即可求解；（2）利用正弦定理可分別將邊，用角B，C來表示，進而利用兩角差的正弦公式、輔助角公式等即可求解范圍.【詳解】（1），，即，，，，解得，；（2）由（1）可知，正弦定理可得，為銳角三角形，∴，解得所以，所以，所以所以即的周長的取值范圍17．如圖所示，在四棱錐中，在底面中，，E在棱PD上且.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點N，使得平面平面？若存在，寫出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由線面平行判斷定理可以得證；（2）存在，點為上靠近的三等分點時，即時，分別證得平面和平面，由面面平行判定定理可證得結論.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）存在，且當點為上靠近點三等分點時，即時，平面平面.下面給出證明：因為，所以，，又因為點為上靠近點三等分點，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，因為E在棱PD上且，即，又因為，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又因為平面，平面，，所以平面平面.18．已知的內角的對邊為，且(1)求;(2)若的面積為①已知為的中點，且，求底邊上中線的長;②求內角的角平分線長的最大值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據正弦定理邊角互化，由余弦定理可得，由同角三角函數的基本關系求解即可.（2）①根據面積公式可得，結合以及向量的模長公式求解即可，②利用等面積法可得，進而根據半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，即，故，因為，所以，所以.（2）①由（1）知，因為的面積為，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以，即.②因為為角的角平分線，所以，由于，得到，由于，所以，由二倍角公式得，則，解得，又，所以，由于，當且僅當時，等號取得到，故，故.19．已知平面四邊形，，，，，現將沿邊折起，使得平面平面，點為線段的中點．(1)求證：平面；(2)若為的中點，求與平面所成角的余弦值．(3)在（2）的條件下，求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）根據面面垂直的性質可得平面，即可得，又由等邊三角形可得，即可求證，（2）根據平面可得為與平面所成角，即可利用三角形的邊角關系求解，（3）根據二面角的幾何法可得為二面角的平面角，利用三角形的邊角關系即可求解.【詳解】（1）因為，，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以．因為平面平面，平面平面，,平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面．（2）過點作，垂足為．如圖所示，由（1）知，平面，