高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省滁州市九校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章一第七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)為2，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】．故選:A．2.已知隨機(jī)變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】由分布列的性質(zhì)，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合分布列的性質(zhì)，所以.故選：C.3.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】因，由可推得，，則，，，故數(shù)列是周期為3的數(shù)列，從而數(shù)列的前9項(xiàng)和為.故選:.4.已知隨機(jī)變量，則（）（注：若，則.）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋矗裕?故選：C.5.在遞增的等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（）A.4 B.12 C.24 D.12或24【答案】B【解析】的兩個(gè)根為，，設(shè)數(shù)列的公比為，由已知，由于，是方程的兩根，且等比數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，，所以，所以，所以，，．故選：B．6.函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.在區(qū)間上不單調(diào) B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.有兩個(gè)零點(diǎn) D.在上有最大值【答案】C【解析】定義域?yàn)椋髮?dǎo)即，令，解得．顯然在和上，故在和上單調(diào)遞增；在上，故在上單調(diào)遞減．所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，且，，草圖如下.所以ABD正確，C錯誤．故選：C．7.某機(jī)構(gòu)擬對其所管轄的6個(gè)部門中的4個(gè)部門的負(fù)責(zé)人進(jìn)行調(diào)整，被調(diào)整的4人將到其余部門任負(fù)責(zé)人（不在原部門），每個(gè)部門只有一個(gè)負(fù)責(zé)人，調(diào)整方案的種數(shù)為（）A.360種 B.270種 C.200種 D.135種【答案】D【解析】先從6人中選出不作調(diào)整的兩個(gè)，有種，再把余下的4部門負(fù)責(zé)人調(diào)整到其他部門，假設(shè)4個(gè)部門為A，B，C，D，對應(yīng)的4位原負(fù)責(zé)人分別為a，b，c，d，則a可以調(diào)整到B，C，D中的任一部門，有3種情況，假設(shè)a分到B部門，則b也有3種情況，剩下的兩人有1種情況，故有種情況，所以調(diào)整方案共有種．故選：D．8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于同余的問題.用表示整數(shù)被整除，設(shè)且，若，則稱與對模同余，記為.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由二項(xiàng)式定理，得，因?yàn)槟軌虮?整除，被7除余3，則，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若的展開式中第4項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)【答案】CD【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以；所以，由于展開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相等，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．故選：CD．10.2024年3月，中華人民共和國全國人民代表大會與中國人民政治協(xié)商會議在北京召開（以下簡稱“兩會”），兩會結(jié)束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（）A.若A與B相鄰，則有48種不同站法B.若C與D不相鄰，則有24種不同站法C.若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D.若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法【答案】ACD【解析】若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不最左邊，D不在最中間，當(dāng)A排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，當(dāng)A不排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】令，所以，因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，則，，故AC錯誤，BD正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是______.【答案】【解析】由知，，所以，故所求切線方程為，即.故答案：13.一個(gè)袋子中共有6個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)為X，則的方差為______．【答案】【解析】由題意，X滿足超幾何分布，且X的取值為0，1，2，則，，，，，所以．故答案為：14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為恒成立，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________;數(shù)列的前n項(xiàng)和等于_________.【答案】①②【解析】當(dāng)時(shí)，，又,所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以,又,所以,所以當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)上式成立，故；,故數(shù)列的前n項(xiàng)和．故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的二項(xiàng)展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為46．（1）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和：（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．解：（1）因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為46，所以，即，，解得或（舍）．令，則，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為．（2）由（1）知二項(xiàng)式為，所以二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．16.在等差數(shù)列中，是和的等比中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d,由，得,因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以,化簡，得,解得,或（舍），所以．（2）由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．17.某公司為監(jiān)督檢查下屬的甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線出庫的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，甲生產(chǎn)線的合格品占八成、優(yōu)等品占兩成，乙生產(chǎn)線的合格品占九成、優(yōu)等品占一成（合格品與優(yōu)等品間無包含關(guān)系）．（1）用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，記這2件產(chǎn)品中來自甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品個(gè)數(shù)有個(gè)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）消費(fèi)者對該公司產(chǎn)品的滿意率為，隨機(jī)調(diào)研5位購買過該產(chǎn)品的消費(fèi)者，記對該公司產(chǎn)品滿意的人數(shù)有人，求至少有3人滿意的概率及的數(shù)學(xué)期望與方差．解：（1），，，，故所抽取的6件產(chǎn)品中有4件產(chǎn)品中來自甲生產(chǎn)線，2件產(chǎn)品中來自乙生產(chǎn)線，則的所有可能取值為、、，，，，則其分布列為：則；（2）由題意可得，則，，.18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域（）；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，令，得或(舍去)，當(dāng)時(shí)，，，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，所以當(dāng)，，，又因?yàn)椋驗(yàn)椋藭r(shí)，，故在上的值域?yàn)?（2），，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.19.我們學(xué)過二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設(shè)一組獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗(yàn)次數(shù)，則服從負(fù)二項(xiàng)分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結(jié)構(gòu)，落實(shí)積極應(yīng)對人口老齡化國家戰(zhàn)略，保持中國的人口資源優(yōu)勢，我國自2021年5月31日起實(shí)施三胎政策.政策實(shí)施以來，某市