PAGEPAGE5課時作業16一、選擇題1．[2013·福建高考]雙曲線x2－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.1 D.eq\r(2)解析：本題主要考查雙曲線的性質和點到直線的距離公式．雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，頂點坐標為(±1,0)，故頂點到漸近線的距離為eq\f(\r(2),2)，故選B.答案：B2．[2014·甘肅省蘭州一中期末考試]以直線eq\r(3)x±y＝0為漸近線，一個焦點坐標為F(0,2)的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,3)－y2＝－1 B.x2－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D.x2－eq\f(y2,3)＝－1解析：本題主要考查雙曲線的簡潔幾何性質及其標準方程的求法．一個焦點坐標為(0,2)，說明雙曲線的焦點在y軸上．因為漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，所以可設雙曲線方程為y2－3x2＝λ(λ>0)，即eq\f(y2,λ)－eq\f(x2,\f(λ,3))＝1,22＝λ＋eq\f(λ,3)＝4，解得λ＝3，所以雙曲線方程為x2－eq\f(y2,3)＝－1，故選D.答案：D3．雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(3,4)x，則雙曲線的離心率是()A.eq\f(5,4) B．2C.eq\f(5,4)或eq\f(5,3) D.eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)解析：若雙曲線焦點在x軸上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(3,4).∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(9,16))＝eq\r(\f(25,16))＝eq\f(5,4).若雙曲線的焦點在y軸上，∴eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3).∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\r(\f(25,9))＝eq\f(5,3).答案：C4．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦點F(－c,0)，將x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).答案：B二、填空題5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為__________；漸近線方程為__________．解析：橢圓的焦點坐標為(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且滿意eq\f(c,a)＝2，故a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3).所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.答案：(4,0)，(－4,0)y＝±eq\r(3)x6．已知點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．解析：依據點(2,3)在雙曲線上，可以很簡潔建立一個關于a，b的等式，即eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1.考慮到焦距為4，可得到一個關于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以離心率e＝2.答案：27．設橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的肯定值等于8，則曲線C2的標準方程為________．解析：設橢圓C1的方程為eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＝26，,e＝\f(c1,a1)＝\f(5,13)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,c1＝5.))∴焦距為2c1＝10.又∵8<10，∴曲線C2是雙曲線．設其方程為eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，則a2＝4，c2＝5，∴beq\o\al(2,2)＝52－42＝32，∴曲線C2的方程為eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1三、解答題8．依據下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)一個頂點是(0,6)，且離心率是1.5；(2)與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同漸近線，且過點(－3，2eq\r(3))．解：(1)∵頂點為(0,6)，設所求雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，∴a＝6.又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.故所求的雙曲線方程為eq\f(y2,36)－eq\f(x2,45)＝1.(2)法一：雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的漸近線為y＝±eq\f(4,3)x，令x＝－3，y＝±4，因2eq\r(3)<4，故點(－3,2eq\r(3))在射線y＝－eq\f(4,3)x(x≤0)及x軸負半軸之間∴雙曲線焦點在x軸上．設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(－32,a2)－\f(2\r(3)2,b2)＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.))∴雙曲線方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.法二：設雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，∴eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝λ.∴λ＝eq\f(1,4)，∴雙曲線方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.9．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥eq\f(4,5)c，求雙曲線離心率e的取值范圍．解：設直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.由點到直線的距離公式，且a>1，得點(1,0)到直線l的距離d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，點(－1,0)到直線l的距離d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2)).∴s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c).由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)